PRÁCTICA N 2 ESTUDIO TEMPORAL Y FRECUENCIAL DE SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN

Transcripción

1 UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL FRANCISCO DE MIRANDA COMPLEJO ACADÉMICO EL SABINO PROGRAMA DE INGENIERÍA QUÍMICA DPTO DE MECÁNICA Y TECNOLOGÍA DE LA PRODUCCIÓN DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS PRÁCTICA N 2 ESTUDIO TEMPORAL Y FRECUENCIAL DE SISTEMAS DINÁMICOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN PROFESOR: PUNTO FIJO; Noviembre de 2014

2 INTRODUCCIÓN En la práctica anterior se han descrito comandos básicos en MATLAB para el análisis y control de sistemas. En la presente práctica, se emplearan dichos comandos para estudiar más profundamente y de forma práctica, mediante simulación, la respuesta temporal de sistemas. A la hora de diseñar sistemas de control automático, una aproximación consiste en estudiar la respuesta del sistema ante entradas características, denominadas entradas de test o prueba; en general, el objetivo será el diseño de un sistema de control de modo que optimice la respuesta del sistema controlado ante este tipo de entradas. Para ello, también habrá que determinar criterios que permitan comparar las respuestas de los sistemas ante entradas y controladores distintos. En esta práctica nos centraremos en la respuesta ante entradas en escalón, rampa e impulso, y la relación entre los resultados y los modelos considerados. También se mostrará como el análisis de la respuesta temporal puede emplearse para el diseño de un controlador.

3 OBJETIVO GENERAL Estudiar la respuesta temporal y frecuencial de sistemas dinámicos de primer y segundo orden OBJETIVOS ESPECIFICOS Analizar la respuesta temporal frente a diferentes perturbaciones. Obtener los parámetros de respuesta transitorias frente a perturbaciones tipo escalón unitario. Comprender los diferentes tipos de obtención utilizando la herramienta Matlab y Simulink para visualizar la respuesta gráfica de diferentes procesos. BASES TEÓRICAS ANÁLISIS DE LA RESPUESTA TEMPORAL A partir de la representación matemática de un sistema se puede realizar un análisis teórico de la respuesta temporal del mismo ante diferentes tipos de perturbaciones. El estudio de dicha respuesta temporal es de vital importancia para el posterior análisis de su comportamiento y el posible diseño de un sistema de control, se realizará el estudio detallado de la respuesta temporal de un sistema, el cual se fundamentará en el conocimiento previo que se tiene del mismo, o lo que es lo mismo en el modelo del sistema, tal como se mencionó anteriormente. En principio, se define la respuesta temporal de un sistema como el comportamiento en el tiempo que tiene el mismo ante alguna variación en sus entradas. En la Fig. 1.1 se puede apreciar la respuesta temporal de un sistema, ante una entrada particular, la cual está compuesta por una respuesta transitoria y una permanente.

4 SEÑALES DE ENTRADAS En el análisis de un sistema de control es necesario conocer su comportamiento ante diferentes tipos de entradas o perturbaciones, por lo que se estudiarán, en esta sección, una serie de señales que comúnmente ocurren en la vida real, tales como el impulso, el escalón, Y la rampa. El impulso es una entrada cuya duración en el tiempo es instantánea, en tanto que el escalón es una entrada cuya magnitud es aplicada en forma constante a lo largo del tiempo. La rampa es una entrada cuya amplitud varía linealmente a lo largo del tiempo. En la Tabla 1.1 se muestra la expresión matemática de cada una de ellas y su transformada de Laplace, en tanto que en la Fig. 1.2 se muestra la representación gráfica de dichas entradas.

5 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS Tal como se mencionó previamente los sistemas tienen características particulares que los diferencian y permiten su clasificación. Dicha clasificación se realizará según su orden y según su tipo, siendo el orden del sistema coincidente con el número de variables de estado que se necesitan para describirlo y con el grado del denominador de su función de transferencia, en tanto que, el tipo de un sistema coincide con el número de soluciones en el origen que presenta el denominador de su función de transferencia, o lo que será llamada en adelante la ecuación característica del sistema. En forma general una función de transferencia puede escribirse tal como se muestra en la Ec. 1.2, donde las soluciones del numerador se conocerán como los ceros del sistema y las soluciones del denominador como los polos o raíces de la ecuación característica, tal como se mencionó con anterioridad. A partir de allí, s T representa un polo de multiplicidad T en el origen, el cual coincide con el tipo del sistema. A continuación se muestra el estudio detallado de la respuesta transitoria para sistemas de primer y segundo orden, en tanto que, para sistemas de orden superior, la respuesta transitoria se aproximará a la respuesta de sistemas de órdenes inferiores según criterios a establecerse. Así mismo, se irá destacando la influencia que tiene el tipo del sistema en su respuesta.

6 ACTIVIDAD Nº 1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS DE PRIMER UTILIZANDO SCRIPT DE MATLAB ANTE DIFERENTES PERTURBACIONES SISTEMAS DE PRIMER ORDEN La representación en forma de función de transferencia viene dada por: Que en notación Matlab se introduce: La respuesta a un escalón unitario de entrada se obtiene con la función step. La respuesta a una rampa unitaria de entrada para nuestro sistema de primer orden se puede simular mediante: La respuesta impulsional se puede obtener del mismo modo, pero usando en este caso la función impulse, que tiene una sintaxis similar al comando step.

7 Si se dibujan estas funciones con el vector de tiempos definido anteriormente, y se superponen con las graficas vistas anteriormente, puede apreciarse que coinciden perfectamente: OBTENER CADA GRÁFICA Y GUARDARLA EN DOCUMENTO DE WORD DE LA SIGUIENTE MANERA EN EL ESCRITORIO: P2DYCNOMBREYAPELLIDOACT1 EJEMPLO: P2DYCCARLOSPÉREZACT1 ACTIVIDAD Nº 2 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE SISTEMAS DE SEGUNDO ORDEN UTILIZANDO SCRIPT DE MATLAB La representación normal de un sistema de segundo orden en forma de función de transferencia viene dada por: Donde: K = Ganancia estática del sistema. Se va a suponer en el análisis siguiente, sin pérdida de generalidad, que K = 1. δ: = Coeficiente de amortiguamiento. Wn = Frecuencia natural no amortiguada del sistema. Del polinomio característico se tiene que las dos raíces son

8 Pudiendo distinguirse los siguientes casos: Caso 1: Si δ > 1 2 raíces reales distintas en SPI (sobreamortiguado). Caso 2: Si δ = 1 2 raíces reales iguales en SPI (límite sobre-sub), sistema críticamente amortiguado. Caso 3: Si 0 < δ < 1 raíces complejas conjugadas en SPI (subamortiguado) Caso 4: Si δ = 0 Respuesta oscilatoria. Sistema críticamente estable. Raíces en eje imaginario. Caso 5: Si δ < 0 Sistema inestable, raíces en SPD. Se va a analizar el comportamiento para el conjunto de valores de δ en la respuesta a un escalón unitario. Se supone wn = 1. Dado que el caso 3 se vería con más detalle, dado su mayor interés, se presentara en último lugar. Primer caso: 2 raíces reales distintas: Segundo caso: 2 raíces reales iguales (críticamente amortiguado). El sistema, en este caso el lo más rápido posible, antes de hacerse subamortiguado. Cuarto caso: Sistema en punto crítico de oscilación

9 Quinto caso: Sistema inestable Tercer caso: Dos raíces complejas conjugadas OBTENER CADA GRÁFICA Y GUARDARLA EN DOCUMENTO DE WORD DE LA SIGUIENTE MANERA EN EL ESCRITORIO: P2DYCNOMBREYAPELLIDOACT2 EJEMPLO: P2DYCCARLOSPÉREZACT2 ACTIVIDAD Nº 3 OBTENCIÓN DE PARÁMETROS DE RESPUESTA TRANSITORIAS PARA CASO Nº 3 Se puede también analizar para este tercer caso de dos raíces complejas el efecto de modificar el factor de amortiguamiento. Se muestra para valores

10 ACTIVIDAD Nº 4 PARAMETROS DE RESPUESTA TRANSITORIA REALICE POR SCRIPT EL SIGUIENTE CASO, EN EL MISMO SE OBTENDRÁ UNA GRÁFICA CON LA QUE REALIZARÁ NUEVAMENTE LOS CLACULOS Y COMPARE EL RESULTADO OBTENIDO DE FORMA EMPIRICA Y FORMA GRÁFICA. VALORES OBTENIDOR POR LA GRÁFICA MP= TP= Tr= Td= Ts= VALORES OBTENIDOS POR LAS FORMULAS MP= TP= Tr= Td= Ts= CONCEPTOS CLAROS QUE DEBE TENER EL ESTUDIANTE PARA LA PRÁCTICA: - FUNCIONES DE PERTURBACIÓN DE LOS PROCESOS. - SISTEMAS A LAZO ABIERTO Y CERRADO. - OBTENCION DE LAS RAICES DEL DENOMINADOR DE LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Y SU RESPECTIVA DEVOLUCIÓN AL DOMINIO DEL TIEMPO CON LA UTILIZACION DE LA TABLA DE TRANSFORMADA DE LAPLACE.