DINAMICA ESTRUCTURAL. SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD Vibración Forzada

Transcripción

1 DINAMICA ESTRUCTURAL SISTEMAS DE UN GRADO DE LIBERTAD Vibración Forzada

2 Sistema sometido a cargas armónicas: Donde la carga p(t) tiene una forma senosoidal con amplitud P o y una frecuencia angular w Consideramos primero el caso no amortiguado.

3 Vibración armónica no amortiguada. La solución general esta dada por una solución complementaria y una particular. La solución particular depende, de la forma de la carga dinámica, entonces se asume que el movimiento es armónico y se encuentra en fase con la carga aplicada. a) Para hallar la constante C se debe primero derivar la ecuación anterior dos veces. p 2 t C sin t b) Remplazamos a y b en: resultando

4 Vibración armónica no amortiguada. sin t Dividiendo entre, y note que 2 k / m Se puede obtener C. Donde: es la razón entre la frecuencia de aplicación de la carga y la frecuencia de vibración libre La solución complementaria viene dada por la que se hallo en la forma de vibración libre.

5 Vibración armónica no amortiguada La solución general viene expresada finalmente como: Para hallar los valores de A y B depende de las condiciones (t=0) las cuales se pueden suponer como., se puede demostrar fácilmente que. A (o) B (0) Po 1 k 1 2 Entonces la respuesta para un movimiento armónico no amortiguado se convierte en:

6 Vibración armónica no amortiguada Desplazamiento que podría producir una carga aplicada estáticamente. Factor de amplificación, representa el efecto de amplificación por una carga aplicada armónicamente. Componente de respuesta en la frecuencia de la carga aplicada. Respuesta permanente (steady state response). Componente de respuesta en la componente de vibración libre, controlada por las condiciones iniciales. Respuesta transitoria (transient response) Para el caso amortiguado la componente transitoria tiende a anularse, en el caso hipotético no amortiguado se mantiene indefinidamente.

7 Vibración armónica no amortiguada Razón de respuesta. Para medir la influencia de la carga dinámica. La razón de la respuesta del desplazamiento dinámico al desplazamiento producido por una carga estatica P o Resultando:

8 Vibración armónica no amortiguada Razón de respuesta. 3 w1 2 2 w 3 w1 w 2 3 Rp( t) Rs( t) R( t) 1 0 Rp( t) Rs( t) ( sin( w1t) ) R( t) Rp( t) Rs( t) sin( wt) La carga aplicada a veces se encuentra en fase a veces no, con el movimiento libre. La velocidad inicial es 0. t

9 Vibración armónica no amortiguada Resonancia: Cuando: La solución particular queda definida como. ( t) Ct cos( t) p Remplazando la ecuación anterior y la segunda derivada de esta en: Resulta: C Po 2k La solución general Po ( t) Acos( t) Bsin( t) t cos( t) 2k Solucionando la ecuación para las condiciones iniciales A (o) B (0) Quedando finalmente Po 2k A 0 Po ( t) ( t cos( t) sin( t)) 2k B Po 2k

10 Vibración armónica no amortiguada Resonancia Razón de respuesta. 1 R( t) ( t cos( t) sin( t)) 2 donde 2 T w La razón de crecimiento de la amplitud para un ciclo es igual. R( t) P 0 k t

11 Vibración armónica amortiguada Retornamos a la ecuación de movimiento incluyendo el amortiguamiento viscoso, dividiendo por la masa y notando que: La solución complementaria para un sistema amortiguado esta dada por: La solución particular esta dada por: La solución particular se encuentra acompañada por senos y cósenos, debido que generalmente el sistema amortiguado no se encuentra en fase con la carga aplicada. Derivando una vez y dos veces y sustituyendo en la ecuación de movimiento, además separamos los cósenos y senos, resulta.

12 Vibración armónica amortiguada Para la hallar las constantes G es necesario que para todo tiempo las expresiones entre corchetes sean iguales a cero. Se divide entre las frecuencias natural estas expresiones, de esta forman resultan las siguientes ecuaciones. La solución de estas dos ecuaciones es:

13 Vibración armónica amortiguada Combinando la solución particular con la complementaria: Componente transitorio Componente permanente Los valores de A y B pueden ser evaluados con las condiciones iniciales, sin embargo, la respuesta transitoria es amortiguada rápidamente y usualmente es de poco interés.

14 Vibración armónica amortiguada Una alternativa diferente de representar la solución particular del sistema amortiguado, es la siguiente, Amplificación dinámica. La razón entre la amplitud de la respuesta permanente y la deformación estática.

15 D Vibración armónica amortiguada 2 Amplificación dinámica D( 1) D( 0.7) D( 0.4) 2 D( 0.2) D( 0.0)

16 Vibración armónica amortiguada Resonancia Es notable que la resonancia sucede aproximadamente cuando, la relación de frecuencias es igual a 1. 1 Entonces la amplificación dinámica queda: a) Pero realmente la solución exacta es cuando sucede el pico, en la amplificación dinámica, para encontrar este pico hay que derivar e igualar a cero. Resulta d D d simplify ( 2) ( 1) =

17 Vibración armónica amortiguada Resonancia Remplazando, la relación de frecuentas pico en el factor de amplificación dinámica resulta: b) El error entre la ecuación a y b es del orden del 2%, para bajos amortiguamientos Podemos entonces asumir 1 en la respuesta general de movimiento armónico. Asumiendo las condiciones iniciales:

18 Vibración armónica amortiguada Resonancia Finalmente la respuesta para la resonancia para un movimiento armónico amortiguado queda. Razón de respuesta w 1 wd w Rd( t w) 0 wd wd 1 Rd t wd 1 2 sin( wdt) 1 2 cos ( wdt) ( wt) e cos ( wt) t

19 Vibración armónica amortiguada Resonancia Razón de crecimiento para el movimiento amortiguado armónico en la resonancia para un ciclo de carga (t = Tn). V Po 2 k V( ) 1 2 sin 2 1 simplify float Po k cos 2 1 V( 0.05) e 2 cos 2 simplify float Po k V( 0.02) simplify Po V( 0.3) float 5 k simplify float Po k 4 Rd sin 2 1 cos 2 1 e 2 cos 2 3 Rd( )

20 Respuesta de un generador de vibraciones El generador de vibraciones fue desarrollada para proveer una fuente de excitación armónica apropiada para un test a una estructura real. Una prueba con un generador de vibraciones puede proveer una base para evaluar la frecuencia natural de la estructura y el amortiguamiento con datos experimentales. El generador de vibraciones tiene la forma de dos cestas planas rotando en direcciones opuestas, alrededor del eje vertical, colocando varios pesos en la cesta La magnitud del peso de rotación puede ser alterada.

21 Respuesta de un generador de vibraciones Posición inicial Posición y fuerza en el tiempo Se tienen dos masas contra rotando, como masas puntuales con una excentricidad e. Las componentes en x de la fuerza inercial de las masas rotando son canceladas y las componentes en y se combinan para producir la fuerza. Apernando el generador de vibraciones a la estructura, esta fuerza puede ser trasmitida. La amplitud de esta fuerza armónica es proporcional al cuadrado de la frecuencia de excitación, Por consiguiente es difícil generar fuerza para bajas frecuencias e impractico para obtener la respuesta estática de la estructura.

22 Respuesta de un generador de vibraciones Asumiendo que la masa excéntrica m e es pequeña comparada con la masa m de la estructura. La ecuación que gobierna el movimiento de un sistema de un solo grado de libertad excitado por un generador de vibraciones es la siguiente. Recordemos que la amplitud de desplazamiento permanente y de aceleración permanente de un sistema SDF es definida como.

23 Respuesta de un generador de vibraciones Derivando la ecuación anterior se obtiene la ecuación de respuesta de velocidad permanente. Donde R v es relacionado a R d. Derivando nuevamente. Donde R a es relacionada a R d

24 Respuesta de un generador de vibraciones Aplicando las ecuaciones anteriores las máximas amplitudes de desplazamiento permanente y de aceleración permanente del generador de vibraciones queda como. Amplificación dinámica para la aceleración. 4 1 D Si la frecuencia w es mayor que Frecuencia natural, la aceleración Incrementa rápidamente debido que la amplitud de la fuerza excitación es proporcional a w 2

25 Frecuencia natural y amortiguamiento de un test armónico La medida del amortiguamiento provee un dato importante de las propiedades de la estructura que no puede ser computado en el diseño de la estructura. La medida del valor de la frecuencia natural refleja las propiedades actuales de una estructura, que puede ser comparada con las propiedades de rigidez y de masa que se consideraron en la idealización matemática de la estructura. Test de resonancia- curva de respuesta de frecuencia El generador de vibraciones es operado a una frecuencia seleccionada, la respuesta de la estructura es observada hasta que la parte transitoria desaparece y la amplitud de la aceleración permanente es medida. La frecuencia del generador de vibraciones es ajustada a un nuevo valor y las medidas son repetidas. Las frecuencias deben ser variadas sobre un rango que incluyan las frecuencias del sistema.

26 Test de resonancia- curva de respuesta de frecuencia Una importante propiedad de la curva de respuesta en frecuencia, para R d es la que Se muestra en la siguiente figura, donde se define como el ancho de banda. Si W a y W b son frecuencias a lado y lado de la frecuencia de resonancia en el cual la amplitud es 1/ 2 la amplitud de resonancia, para pequeños amortiguamientos.

27 Fuerza de trasmisión Considerando el sistema masa resorte sujeto a una fuerza armónica. La fuerza trasmitida a la base es. Usando estas ecuaciones

28 Fuerza de trasmisión De las ecuaciones anteriores resulta El máximo valor de f t (t) en el tiempo Utilizando y Sustituyendo Rd, en la relación de máxima trasmisión de fuerza con respecto a la fuerza de amplitud Po. Esta relación es conocida como el coeficiente de trasmisibilidad.

29 Fuerza de trasmisión -A medida decrece el amortiguamiento aumenta la fuerza trasmitida a la base del sistema para relaciones de frecuencias cercanas a la resonancia. -Para relaciones de frecuencias (B) > 2 La fuerza trasmitida a la base es menor que la fuerza aplicada.

30 Respuesta al movimiento armónico del terreno Se determina la respuesta de un sistema de un solo grado de libertad, a un movimiento armónico del terreno. Para esta excitación la ecuación que gobierna el movimiento es dada por: Donde la fuerza entrante esta dada por: Igual que la ecuación de movimiento con vibración forzada. Pero donde la fuerza Po es remplazada por:

31 Respuesta al movimiento armónico del terreno Recurriendo a la solución de la ecuación de movimiento con vibración forzada, queda: La aceleración de la masa esta dado por:

32 Respuesta al movimiento armónico del terreno Recordando, que la solución particular, parte permanente del movimiento de vibración forzado esta dada por: Donde: Po es remplazada por: Obtenemos un relativo desplazamiento dado por:

33 Respuesta al movimiento armónico del terreno Derivando dos veces la ecuación anterior y sustituyendo junto con Obtenemos: Donde: Finalmente la amplitud de aceleración esta dado por:

34 Respuesta al movimiento armónico del terreno El resultado después de sustituir C1 y D1 y realizar algunas simplificaciones nos ofrece la transmisibilidad del sistema, dada por. Se define como el porcentaje de aceleración trasmitida a la masa. Es notable que La trasmisibilidad por la excitación del terreno es la misma que la generada por una fuerza. Para desplazamiento es igual. -Si la frecuencia de excitación es mucho menor que la frecuencia natural de la estructura las aceleraciones en la masa y la del terreno serán casi iguales. -Si la frecuencia de excitación es mucho mayor que la frecuencia natural de la estructura, la aceleración trasmitida a la masa tiende a cero.