TEMA 4 SISTEMAS DE 2 GRADOS DE LIBERTAD. Sistemas de 2 Grados de Libertad

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1 TEMA 4 SISTEMAS DE GRADOS DE LIBERTAD Sistemas de Grados de Libertad ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

2 TEMA 4 SISTEMAS DE GRADOS DE LIBERTAD ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

3 TEMA 4 SISTEMAS DE GRADOS DE LIBERTAD 4. Introducción Hasta el momento, se han estudiado los sistemas con gdl viéndose que: Si un sistema no amortiguado es sacado de su posición de equilibrio y dejado en libertad, comienza a oscilar armónicamente con una frecuencia característica del sistema llamada frecuencia natural. El fenómeno de la resonancia se presenta al excitar el sistema con una fuerza armónica de frecuencia igual a la frecuencia natural. Los sistemas con gdl presentan importantes diferencias respecto a los sistemas con gdl; de hecho, su comportamiento es cualitativamente muy similar al de un sistema con N gdl. Sin embargo, si bien los conceptos matemáticos y físicos que aparecen en los sistemas con gdl son idénticos a los de sistemas con N gdl, tienen la ventaja de que sus ecuaciones algebraicas son todavía relativamente manejables y los ejemplos accesibles. Permiten, por ello, una formulación analítica sencilla y no dependiente del álgebra matricial. Figura 3 Sistemas mecánicos con gdl Se verá como si un sistema con gdl sin amortiguamiento es desplazado de su posición de equilibro y dejado en libertad, no siempre realiza un movimiento armónico y ni tan siquiera periódico, sino sólo para determinadas formas (tantas como gdl) de perturbar el equilibrio. Sólo para dos tipos ( gdl) de perturbaciones el movimiento subsiguiente es armónico y, en general, con distinta frecuencia para cada tipo de perturbación. Un sistema con gdl tendrá, por lo tanto, dos frecuencias naturales y, sometido a una excitación armónica, llegará a la condición de resonancia para dos frecuencias de excitación diferentes. El estudio del comportamiento dinámico de este tipo de sistemas facilitará la introducción de conceptos como respuesta síncrona, frecuencias y modos naturales de vibración y análisis modal. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

4 TEMA 4 SISTEMAS DE GRADOS DE LIBERTAD 4. Ecuaciones del movimiento: Formulación matricial Sea el sistema discreto con gdl de la Figura 4.a. En este caso tan sencillo, las ecuaciones diferenciales del movimiento pueden obtenerse aplicando a cada una de las masas el Principio de D Alembert y estableciendo el equilibrio de fuerzas en la dirección del movimiento. Figura 4 Sistema con dos grados de libertad Así, teniendo en cuenta que la fuerza en el resorte y amortiguador centrales dependen de la posición y velocidad relativas entre ambas masas, estableciendo el equilibrio de fuerzas en dirección x (Fig.4.b) resulta: ( x x ) + c ( x x ) + F () t 0 m x x c x + ( x x ) c ( x x ) + F () t 0 m x 3x c x 3 ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

5 TEMA 4 SISTEMAS DE GRADOS DE LIBERTAD Ecuaciones diferenciales, que no son independientes y constituyen un sistema ya que ambas incógnitas x (t) y x (t) aparecen en las dos, y pueden expresarse matricialmente: m x c c + m x c c c + c 3 x x x x F (t) F (t) o, de forma más abreviada, con notación matricial: [ M ]{} x + [ C]{} x + [ K]{} x { F(t) } Las matrices [M], [C] y [K], llamadas respectivamente matriz de inercia, matriz de amortiguamiento y matriz de rigidez, son simétricas, como se puede observar. Se observa, además, en este ejemplo que la matriz [M] es diagonal. Esta es una característica de los sistemas de parámetros discretos que no se presenta en muchas otras ocasiones. Si en la expresión las tres matrices [M], [C] y [K] fueran diagonales, las dos ecuaciones serían independientes o estarían desacopladas, siendo en tal caso resolubles cada una de ellas por las técnicas desarrolladas para los sistemas con gdl. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

6 TEMA 4 SISTEMAS DE GRADOS DE LIBERTAD 4.3 Vibraciones libres no amortiguadas. Modos de vibración La resolución del problema de vibraciones libres no amortiguadas permitirá la determinación de los parámetros modales característicos del sistema de dos grados de libertad: sus dos frecuencias naturales y sus dos modos naturales de vibración. Suponiendo que no hay fuerzas exteriores aplicadas al sistema y que los términos disipativos de energía son nulos, el sistema de ecuaciones del movimiento se reduce a ( + + 3): m 0 0 x + m x x x 0 0 La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales puede abordarse por distintos procedimientos. Estando interesados en la posibilidad de que el sistema realice un movimiento armónico síncrono, se supondrán, análogamente a como se hacía con sistemas de gdl, soluciones de la forma: x (t) e iω t, x (t) e iω t Sustituyendo estos valores y sus derivadas segundas se obtendrán dos ecuaciones: ( m ω + ) 0 + ( m ω + ) 0 lo que constituye un sistema de ecuaciones en y. Para que dicho sistema tenga solución distinta de la idénticamente nula, se tendrá que cumplir que el determinante del sistema sea nulo. Desarrollando el determinante y ordenando, se obtiene una ecuación bicuadrática cuyas raices son: ( + m ) ( m m ) m + 4mm ω ± m m m m ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

7 TEMA 4 SISTEMAS DE GRADOS DE LIBERTAD Si ω y ω son las dos soluciones de la ecuación, sólo podrá tener lugar movimiento armónico en estas dos frecuencias ω y ω que son las frecuencias naturales del sistema. El sistema de dos ecuaciones en y puede ponerse, a su vez, en la forma: ω m ω m Sustituyendo en cualquiera de estas expresiones los valores de ω y ω se determina la relación existente entre las amplitudes de los movimientos de las dos masas. Los movimientos síncronos que cumplen esta relación de amplitudes son armónicos, y reciben el nombre de modo natural de vibración. Hay dos modos naturales, (, ) y (, ), uno para cada frecuencia, ω, ω. Al desplazar el sistema de su posición de equilibrio según un modo natural y soltarlo, comenzará a oscilar libre y armónicamente a la frecuencia del modo. Se puede demostrar que, ambos modos son ortogonales entre sí respecto a las matrices de inercia y rigidez; es decir: m 0 {, } 0 {, } 0 0 m Como las dos amplitudes de un modo no están determinadas más que en la relación existente entre ellas, es una práctica habitual el normalizar los modos de forma que: j j j m 0 {, } j 0 m j, ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

8 TEMA 4 SISTEMAS DE GRADOS DE LIBERTAD 4.4 Coordenadas naturales. Introducción al Análisis Modal Además de las coordenadas x (t) y x (t) empleadas para definir el movimiento del sistema (Fig. 5), un cambio de coordenadas interesante es: o bien, matricialmente: () t y () t + y () t x () t y () t + y () t x x x y y {} x [ ] {} y donde se ha llamado matriz [] a la matriz cuyas columnas son los modos naturales de vibración - matriz de modos -. Introduciendo esta transformación de coordenadas en la ecuación matricial de movimiento del sistema y premultiplicando por [] T : T T [ ] [ M] [ ] { y } + [ ] [ K] [ ] {} y {} 0 Teniendo en cuenta las ortogonalidades y ortonormalidad resulta: 0 0 ω y + y 0 0 y ω y Figura 5 Sistema de gdl 0 0 o bien, teniendo en cuenta que las matrices presentes son diagonales: () t + ω y () t 0 () t + ω y () t 0 y y ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

9 TEMA 4 SISTEMAS DE GRADOS DE LIBERTAD Estas dos ecuaciones son independientes, y puede cada una de ellas resolverse con los métodos estudiados para los sistemas con gdl. A las coordenadas y (t) e y (t), definidas con este cambio de variable se les denomina coordenadas naturales, y en ellas las ecuaciones del movimiento están desacopladas. El método seguido a la hora de desacoplar las ecuaciones del sistema constituye la técnica de análisis modal. Cabría ahora, por tanto, pensar en la posibilidad de estudiar las vibraciones libres con amortiguamiento. Pero surge entonces una nueva dificultad por el hecho de que, en general, esta transformación de coordenadas, que diagonaliza las matrices de rigidez e inercia, no hace lo mismo con la matriz de amortiguamiento. Este caso no se estudiará ahora, pero se puede considerar incluido en el que se realizará posteriormente para sistemas de N gdl. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

10 TEMA 4 SISTEMAS DE GRADOS DE LIBERTAD 4.5 Vibraciones forzadas. Condiciones de resonancia Se estudia el caso en que no existe amortiguamiento, y se prescindirá también de la componente de la respuesta debida a las condiciones iniciales (sin amortiguamiento, esta componente no desaparecerá nunca, pero como ya se han estudiado las vibraciones libres, se prescindirá de ellas en virtud del Principio de Superposición). Supóngase actuando sobre el sistema una excitación armónica síncrona de modo que las ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema respondan a la expresión: m 0 0 x m + x x f e x f ω ω e i t i t Suponiendo soluciones en la forma x () t e, x () t iωt, sustituyendo estos valores y sus derivadas segundas en la ecuación anterior y reordenando, se obtiene el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: ( m ω + ) f + ( mω + ) f Aplicando la regla de Cramer para resolver este sistema de ecuaciones se obtienen los valores de las amplitudes de los movimientos armónicos que se están buscando: que pueden expresarse: f ( m ω ) + f ( m ω ) ( m ω ) f ( mω ) + f ( m ω ) ( m ω ) ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

11 f m m ( m ω ) + f ( ω ω ) ( ω ω ) f m m ( mω ) + f ( ω ω ) ( ω ω ) TEMA 4 SISTEMAS DE GRADOS DE LIBERTAD amplitudes que se hacen infinitas cuando la frecuencia de excitación ω coincide con cualquiera de las dos frecuencias naturales. Por lo tanto, un sistema de gdl tiene dos condiciones de resonancia. En el ejemplo representado en la Figura 6, pueden apreciarse las amplitudes de los movimientos de las dos masas para diferentes valores de la frecuencia de excitación, observándose claramente la presencia de dos resonancias alrededor de las frecuencias de 8 y Hz, aproximadamente. Figura 6 Doble resonancia Considérese ahora el caso en el que hay amortiguamiento viscoso lineal. En el caso más general, las ecuaciones de equilibrio serán m m x c c x x f iωt e m m x c c + + x x f Haciendo como antes y suponiendo soluciones de la forma Se obtendrá x iωt iωt () t e, x () t e ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES

12 donde, DEPARTAMENTO DE Z Z ( ω) Z( ω) ( ω) Z ( ω) ij TEMA 4 SISTEMAS DE GRADOS DE LIBERTAD f f ( ω) ω mij + iωcij ij Z + son las llamadas impedancias mecánicas. Despejando por la regla de Cramer y de la expresión matricial del sistema de ecuaciones y teniendo en cuenta que la matriz de impedancias es simétrica ( ) Z( ω) f Z( ω) ( ω) Z ( ω) Z ( ω) f ω Z ( ) Z( ω) f Z( ω) ( ω) Z ( ω) Z ( ω) f ω Z expresiones que se suelen escribir en la forma H H donde los términos ( ω) ij ( ω) H( ω) ( ω) H ( ω) f f {} []{} H F H representan algo análogo al papel que la función de transferencia desempeñaba en los sistemas con gdl. Así, a la matriz [H] se la denomina matriz de transferencia. Mediante la ecuación anterior se puede estudiar la respuesta estacionaria de cualquier sistema ante unas fuerzas armónicas síncronas de amplitudes conocidas. ELEMENTOS DE MÁQUINAS Y VIBRACIONES