Tema 9: Movimiento oscilatorio*
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- María Soledad Soler Páez
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1 ema 9: Movimiento oscilatorio* Física I Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica (GIERM) Primer Curso *Prof.Dr. Joaquín Bernal Méndez/Prof.Dra. Ana M. Marco Ramírez Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 1
2 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas: resonancia Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9
3 Movimiento oscilatorio Movimiento periódico Ejemplos: Barcas sobre el agua Bandera al viento Péndulo de un reloj Moléculas en un sólido V e I en circuitos de corriente alterna En general, cualquier objeto desplazado ligeramente de su posición de equilibrio Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 3
4 Movimiento oscilatorio Forma más básica de movimiento oscilatorio: movimiento armónico simple (MAS) Por qué estudiar el MAS? Ejemplo sencillo de movimiento oscilatorio Aproximación válida en muchos casos de movimiento oscilatorio Componente básico de la ecuación del desplazamiento de movimientos oscilatorios más complejos Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 4
5 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas: resonancia Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 5
6 Representación matemática del MAS: dinámica del MAS Cuerpo unido a un muelle F kx x0 0 F x k : constante del muelle Signo: fuerza restauradora Segunda ley de Newton: F ma kx a kx m Condición de MAS para la aceleración Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 6
7 Representación matemática del MAS Segunda ley de Newton: F ma kx Solución: Comprobación: d x m Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 dx kx 0 dt x 0 con: dt x( t) Acos( t ) dx A sen( t ) dt dx A cos( t ) x dt 7 k m
8 Representación matemática del MAS Significado físico de las constantes: x( t) Acos( t ) A Amplitud (m) Frecuencia angular (rad/s) Constante de fase (rad) Determinación de A y : x(0) Acos( ) Dos ecuaciones v(0) A sen( ) con dos incógnitas Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 8
9 Representación matemática del MAS: Ejemplo t 0 x x(0) Acos( ) A0 v(0) A sen( ) 0 A 0 A 0 A 0 x Solución: A A 0 0 x( t) A cos( t) 0 t A 0 Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 9
10 Representación matemática del MAS: Resumen Fuerza que provoca un MAS: F kx Ecuación diferencial del MAS dx x 0 dt Ecuación del MAS x( t) Acos( t ) Ley de Hooke Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 10
11 Representación del MAS: periodo y frecuencia Periodo (): iempo necesario para cumplir un ciclo completo x( t) x( t ) x( t ) Acos( t ) x t Unidades: segundos (s) Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 11
12 Representación del MAS: periodo y frecuencia Frecuencia ( f ): Número de oscilaciones por unidad de tiempo (ciclos por segundo) Para el resorte: k m 1-1 Unidades: s Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 f f 1 1 m k k m 1 Hz La frecuencia no depende de la amplitud Instrumentos musicales: la nota no depende de la fuerza con que se pulse la cuerda o la tecla del piano.
13 Representación del MAS: aplicaciones El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependa de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de oscilación El astronauta Alan L. Bean midiendo su masa durante el segundo viaje del Skylab (1973) Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 13
14 Representación del MAS: aplicaciones El hecho de que la frecuencia de las oscilaciones del resorte no dependan de la amplitud tiene interesantes aplicaciones: Medida de masas a partir de periodo de oscilación Instrumentos musicales: la frecuencia del sonido no depende de la fuerza con que se pulse la cuerda del instrumento o la tecla de un piano. Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 14
15 Representación del MAS: velocidad y aceleración Posición: Velocidad: x( t) Acos( t ) v( t) dx A sen( t ) dt k v A A (para el resorte) m max Aceleración: ( ) dx cos( ) ( ) El signo indica el sentido El signo indica el sentido a t A t x t dt k amax A A (para el resorte) m Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 15
16 Representación del MAS: velocidad y aceleración A -A A -A A x vt () at () x( t) Acos( t) Suponemos =0 v( t) A sen( t) Desfase / con x(t) a t A t ( ) cos( ) Desfase / con v(t) Desfase con x(t) A cos( t ) A cos( t ) -A Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 16
17 Representación del MAS: velocidad y aceleración A x 3 t 0 x v 0 a A -A A vt () 3 t 4 x x v A a 0 -A A at () x -A Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 3 t 17 x v 0 a A
18 Representación del MAS: velocidad y aceleración A x 3 t x v 0 a A -A A vt () 3 t 3 4 x x v A a 0 -A A at () x -A Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 3 t 18 x v 0 a A
19 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas: resonancia Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 19
20 Energía del MAS Si no hay rozamiento: energía mecánica constante Energía cinética: E K U Energía potencial: Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 K 1 mv 0 cte U ( x) U (0) Wmuelle Fdx U ( x) x 1 kx x 0 Kx dx 0 1 kx
21 Energía del MAS Energía mecánica: 1 1 E mv kx con: x( t) Acos( t ) v( t) A sen( t ) 1 1 sen ( ) cos ( ) E ma t ka t Usando: m k (para un resorte) 1 1 E ka (sen ( t ) cos ( t )) ka 1 Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 1
22 Energía del MAS E 1 ka No depende de la masa! La energía se trasvasa continuamente de cinética a potencial y viceversa 1 x A E Umax ka 1 1 x 0 E Kmax mvmax ka Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 K E 1 ka
23 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas: resonancia Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 4
24 Sistemas oscilantes: muelle vertical Supongamos muelle vertical Definimos eje y hacia abajo Fuerza del muelle F kyu y y Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 5
25 Sistemas oscilantes: muelle vertical Añadimos una masa m Aparece una fuerza adicional, el peso: P mgu y Se puede hallar el alargamiento del muelle ( y 0 ): Condición de equilibrio: mg ky 0 F P 0 y 0 mg k Puede usarse para medir k Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 6
26 Sistemas oscilantes: muelle vertical Hacemos oscilar el sistema: mg ky ma y y y 0 mg y y y0 y k mg ky ky d y d y ma m m dt dt d y m ky dt Definimos: Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 7
27 Sistemas oscilantes: muelle vertical d y dt k y m Ecuación diferencial de un MAS Solución: y Acos( t ) k m ; m k El único efecto de m es desplazar la posición de equilibrio Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 8
28 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas: resonancia Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 9
29 Sistemas oscilantes: péndulo simple Objeto de masa m Suspendido de una cuerda ligera (m c <<m) de longitud L Extremo superior fijo Si lo desplazamos del equilibrio y lo soltamos: oscilaciones Es un M.A.S.? Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 30
30 Sistemas oscilantes: péndulo simple Segunda Ley de Newton: mg sen ma ds mg sen m usando: s L dt d gsen L dt Si sen d dt g L Ecuación diferencial de un MAS Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 31
31 Sistemas oscilantes: péndulo simple d dt Solución: Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 g L cos( t ) 0 con: 3 Periodo del péndulo simple: L g no depende de m! no depende de 0! g L
32 Péndulo simple: aplicaciones El hecho de que el periodo de oscilación de un péndulo simple no dependa de la masa ni de la amplitud (para amplitudes pequeñas) resulta llamativo y tiene interesantes aplicaciones: écnica sencilla para calcular la aceleración de la gravedad. Medida del tiempo: péndulo de un reloj Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 33
33 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas: resonancia Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 34
34 Oscilaciones amortiguadas (I) Las oscilaciones en sistemas oscilantes reales no son permanentes: rozamiento Este efecto puede incluirse en los cálculos: Fuerza resistiva: R bv b constante con: v velocidad Amortiguamiento lineal (muy habitual) Segunda Ley de Newton: dx kx bv ma kx b m dt d x dt k Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 35
35 Oscilaciones amortiguadas (II) Ecuación: d x dx 0 m b kx dt dt Solución: b t m x( t) Ae cos( t ) 0 ; k b b m m m Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 0 El sistema oscila con frecuencia menor que si no hubiera rozamiento (b=0) 0 36 k m Frecuencia natural (corresponde a b=0)
36 Oscilaciones amortiguadas (III) b t m ( ) cos( ) x t Ae t La amplitud decrece exponencialmente decrece más rápido cuanto mayor es b Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 37
37 Oscilaciones amortiguadas (IV) La solución propuesta es válida para b 0 m Si b m 0 : el sistema no oscila Críticamente amortiguado Sobreamortiguado b m Sistema subamortiguado ( b m 0 ) ( b m ) 0 Cuanto mayor sea b más tarda en alcanzar el equilibrio 0 Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 38
38 Índice Introducción: movimiento oscilatorio Representación matemática del MAS Dinámica del MAS Periodo y frecuencia Velocidad y aceleración Energía del MAS Sistemas oscilantes: Muelle vertical Péndulo simple Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones forzadas: resonancia Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 39
39 Oscilaciones forzadas En un sistema amortiguado la energía decrece con el tiempo Para mantener las oscilaciones es preciso suministrar energía de forma continua Esto precisa la acción de una fuerza externa F F cos( ) 0 et Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 40
40 Oscilaciones forzadas: resonancia Movimiento del oscilador forzado: Estado inicial transitorio Estado estacionario: Oscila con e y A( e ) Energía es constante (suministrada=disipada) Resonancia: ocurre cuando e 0 El sistema oscila con amplitud y energía máximas Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 41
41 Resonancia: ejemplo Puente de acoma Narrows El 7 de noviembre de 1940, se derrumbó el puente colgante de acoma Narrows (Washington, USA) debido a las vibraciones provocadas por el viento. El puente llevaba abierto al tráfico unos pocos meses. Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 4
42 Resonancia: ejemplo Puente de acoma Narrows Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 43
43 Resonancia: ejemplo Bahía de Fundy La bahía de Fundy se conoce por registrar la máxima diferencia en el nivel del agua entre la marea alta y la bajamar (alrededor de 17 metros). Se cree que el nombre Fundy data del siglo XVI, cuando exploradores portugueses llamaron a la bahía "Rio Fundo (río profundo). El folklore popular afirma que las mareas son causadas por una ballena gigante que chapotea en el agua. Los oceanógrafos atribuyen el fenómeno a la resonancia, como resultado de la coincidencia entre el tiempo que necesita una gran ola para penetrar hasta el fondo de la bahía y regresar y el tiempo entre mareas altas (1.4 horas). Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 44
44 Resonancia: ejemplo Bahía de Fundy Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 45
45 Resumen del tema El MAS tiene lugar cuando una partícula está sometida a una fuerza restauradora de valor proporcional al desplazamiento desde el equilibrio. La posición de una partícula que experimenta un MAS varia con el tiempo de forma sinusoidal La energía total de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento. Las oscilaciones amortiguadas tienen lugar en un sistema en que hay una fuerza resistiva que se opone al movimiento del cuerpo oscilante. Para compensar la disminución de energía con el tiempo en un oscilador amortiguado debe emplearse una fuerza externa: oscilaciones forzadas. Cuando la frecuencia de la fuerza externa es similar a la frecuencia natural del oscilador no amortiguado la amplitud de las oscilaciones es máxima: resonancia Física I. Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica 015/16 ema 9 46
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amax=aω 2 ; β=10logi/io; ω=2πf;t=1/f; κ=1/λ; τ=ln2/λ; P=1/f (m);e p= gdr; N=Noe λt ; 1/f =1/s +1/s; Fc=mv 2 /r; y(x,t)=asen(ωt±kx); W=qΔV; F=qvxB;
E=hf;p=mv;F=dp/dt;I=Q/t;Ec=mv 2 /2; TEMA 5: VIBRACIONES Y ONDAS F=KQq/r 2 ;L=rxp;x=Asen(ωt+φo);v=λf c 2 =1/εoµo;A=πr 2 ;T 2 =4π 2 /GMr 3 ;F=ma; L=dM/dtiopasdfghjklzxcvbvv=dr/dt; M=rxF;sspmoqqqqqqqqqqqp=h/λ;
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