Osciladores lineales

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1 GUIA 6 Osciladores lineales El propósito de este capítulo es estudiar algunas características de las soluciones de la ecuación diferencial lineal m d2 x dt + c dx 2 dt + k x = f(t), en el caso en que m,c y k son constantes positivas y f(t) es una cierta función del tiempo. Esta ecuación puede tomarse como modelo matemático para un oscilador lineal en una dimensión. 1. Osciladores mecánicos Un sistema (físico, biológico, social, o un mecanismo artificial) exhibe comportamiento oscilante o vibratorio cuando: El estado del sistema varía alrededor de un estado medio de equilibrio. El sistema posee partes que tienen masa o una propiedad análoga a la de la inercia, por la cual el sistema permanece en reposo a menos que obre sobre él una fuerza externa. El sistema posee un mecanismo elástico con una propiedad de rigidez que ejerce fuerzas restauradoras tales que, si el sistema es desplazado del estado medio de equilibrio, ellas tienden a devolverlo al equilibrio. Las fuerzas restauradoras no sólo devuelven al sistema hacia el equilibrio, sino que tienden a llevarlo más allá del equilibrio en dirección opuesta y así sucesivamente. Esto hace que el sistema oscile. En nuestra discusión supondremos que la fuerza restauradora, f r = f r (x), sólo depende del desplazamiento x respecto al equilibrio. Supondremos que a mayor desplazamiento mayor magnitud de la fuerza y que además < 0 si x > 0, f r (x) = 0 si x = 0, > 0 si x < 0. Junto a las fuerzas restauradoras también pueden actuar sobre el sistema fuerzas de fricción o de amortiguamiento que finalmente llevan al sistema hacia el reposo. Estas fuerzas normalmente las ejerce el medio en el que oscila el sistema (agua o aire por ejemplo) o mecanismos como los amortiguadores de un coche. Supondremos que la fuerza de amortiguación resultante f a depende de la velocidad v = dx y que a mayor rapidez mayor fricción. Además dt f a actúa en dirección opuesta al movimiento, es decir, < 0 si v > 0, f a (v) = 0 si v = 0, > 0 si v < 0. 1

2 También consideraremos fuerzas externas de excitación f ex (t), que se deben normalmente a mecanismos externos no específicados (la salida de un circuito amplificador sobre el diafragma de un altoparlante, los vientos sobre una estructura, las sacudidas de una máquina, etc.). Estas fuerzas describen influencias que son independientes de los mecanismos internos del sistema. Pueden ser deseables como fuentes de energía para sostener oscilaciones, o indeseables como causa de resonancia. La segunda ley de Newton aplicada al movimiento de un cuerpo de masa m que se encuentra sujeto a la influencia de las fuerzas f r, f a y f ex conduce a la ecuación m d2 x dt 2 = f r(x) + f a ( dx dt ) + f ex (t). (1) El modelo (1) presenta dificultades considerables debido a que la naturaleza de la dependencia de la fuerza restauradora respecto a la posición y de la fricción respecto a la velocidad puede ser complicada. En un primer intento podemos abordar el problema aproximando estas fuerzas por sus linealizaciones respectivas. En efecto, si g es una función diferenciable tenemos g(s) g(0) + s g (0). En otras palabras, cerca de (0,g(0)) podemos aproximar la función g mediante la recta que es tangente a la gráfica de g en (0,g(0)). En el caso de la fuerzas restauradora f r y de amortiguación f a se tiene f r (0) = 0 y f a (0) = 0. De modo que f r (x) xf r(0) y f a (v) v f a(0). Escribiendo k = f r(0) y c = f a(0) tenemos f r (x) = k x f a (v) = c v (ley de Hooke), (ley de amortiguación viscosa), donde c y k representan constantes positivas. La aproximación lineal del modelo (1) está dada por la ecuación m d2 x + c dx + k x = f dt 2 dt ex(t), o equivalentemente por d 2 x dt + c dx 2 m dt + k m x = 1 m f ex(t). (2) Ejemplo 1. Un péndulo consiste de una masa m suspendida de una cuerda o una varilla de masa despreciable y longitud l, que se halla fija en uno de sus extremos. Si la masa es desvíada de su posición de equilibrio (en el punto más bajo), tenderá a moverse bajo la acción de la gravedad de un lado hacia otro, sobre una circunferencia de radio l situada en un plano vertical (ver Figura 1). Si se deprecian fuerzas distintas a la de la gravedad (tales como la fricción y las fuerzas impulsoras externas), la única fuerza no compensada es la componente tangencial de la gravedad f t = m g sen θ, que se opone al aumento de la desviación angular θ = θ(t) respecto de la vertical. Si v = v(t) denota la velocidad del centro de masa en el tiempo t, entonces, de acuerdo a la segunda ley de Newton, se tiene que v satisface la ecuación m dv = m g sen θ. dt 2

3 θ l f v θ mg Figura 1: Fuerzas que actúan en un péndulo. Puesto que v(t) = l θ (t), se obtiene la ecuación del péndulo libre d 2 θ g dt + 2 ω2 sen θ = 0, ω = l. Si se consideran( ahora el efecto de la fricción del aire, que proporciona una fuerza amortiguadora f a = f dθ a dt) dependiente de la velocidad y el efecto de fuerzas externas fex (t) dependientes del tiempo, la ecuación del movimiento toma la forma d 2 θ dt = 2 ω2 sen θ + 1 ( ) dθ m l f a + 1 dt m l f ex(t). Si ocurren oscilaciones pequeñas, es decir si θ(t) y θ (t) permanecen cerca de 0, entonces es razonable usar las aproximaciones senθ θ y f a (θ ) c θ. Se llega de este modo al conocido modelo lineal d 2 θ dt + c dθ 2 m l dt + ω2 θ = m l f ex(t). Ejemplo 2. Un sistema masa resorte amortiguador fuerza externa consiste de un resorte de masa despreciable que cuelga suspendido de un soporte rígido, una masa puntual m que se encuentra sujeta al extremo libre del resorte y un mecanismo amortiguador (ver Figura 2). La masa se mueve a lo largo de un eje coordenado vertical cuya dirección positiva es la que apunta hacia abajo y cuyo origen coincide con la posición de equilibrio de la masa. La función x = x(t) que describe la posición de la masa en el tiempo t coincide entonces con su desplazamiento respecto a la posición de equilibrio. Supondremos que la fuerza elástica, ejercida por el resorte, y la fuerza de amortiguación, ejercida por el medio, están dadas por sus respectivas aproximaciones lineales. En ese caso cuando la masa se encuentre en la coordenada x la suma de su peso más la fuerza elástica será igual a k x, donde k es la 3

4 fr f am x=0 m f r f am x m f ex Figura 2: Sistema masa-resorte-amortiguador. constante elástica del resorte. La fuerza de amortiguación por su parte es igual a f a (v) = c v, donde v = dx y c es la constante de fricción. También en este caso la segunda ley de Newton dt proporciona la ecuación de movimiento del cuerpo d 2 x dt + c dx 2 m dt + k m x = 1 m f ex(t). En general, el movimiento de un oscilador mecánico está descrito por una ecuación lineal de segundo orden d 2 x dx + 2α dt2 dt + ω2 x = f(t), (3) en donde las constantes α y ω así como el término f(t) dependen del modelo específico. Por ejemplo, en el modelo de péndulo se tiene ω = g y 2α = c mientras que en el modelo l m l masa resorte amortiguador tenemos ω = 2. Oscilaciones libres k y 2α = c. m m En ausencia de fuerzas externas (f(t) 0) se dice que las oscilaciones son libres. En tal caso tenemos la ecuación de movimiento 2.1. Oscilaciones libres no amortiguadas d 2 x dx + 2α dt2 dt + ω2 x = 0. (4) Consderaremos primero el caso en el cual no hay amortiguación, es decir, α = 0. La ecuación (4) se reduce a la ecuación del oscilador armónico d 2 x dt 2 + ω2 x = 0. La solución general de esta ecuación está dada por x(t) = c 1 cosω t + c 2 sen ω t = A cos (ωt φ). 4

5 A T φ A Figura 3: Movimiento armónico, principales constantes En la representación x(t) = A cos (ω t φ) las constantes A y φ están dadas por A = c c 2 2, cos φ = c 1 A, sen φ = c 2 A. Debe notarse que todas las soluciones son periódicas con período T = 2π. Las constantes que aparecen en la solución de la ecuación del movimiento armónico tienen nombres e ω interpretaciones especiales. La constante A se llama amplitud y está caracterizada por el hecho de que los desplazamientos x = x(t) satisfacen A x(t) A. A la constante φ se le conoce como ángulo de fase. La constante ω se llama frecuencia angular. T = 2π es el período del movimiento, esto es, el tiempo necesario para completar una ω oscilación. La frecuencia natural de la oscilación es el número f = 1 = ω que corresponde al T 2π número de oscilaciones que efectúa el oscilador por unidad de tiempo. Observación. Es importante destacar que las constantes antes mencionadas no son independientes entre sí. De hecho unas se pueden calcular en términos de otras. Las oscilaciones correspondientes al movimiento no amortiguado persisten en el tiempo con igual amplitud. En realidad toda oscilación libre cesa al pasar el tiempo. Una explicación obvia es que el oscilador armónico es un modelo simplificado que no toma en cuenta ciertas influencias que en la práctica siempre se presentan, tales como la fricción. 5

6 2.2. Oscilaciones libres amortiguadas Si se toman en cuenta los efectos de la amortiguación (c 0) se obtiene la ecuación (4), que resulta ser una ecuación homogénea con coeficientes constantes. La ecuación característica asociada está dada por que tiene como discriminante λ 2 + 2α λ + ω 2 = 0, =4α 2 ω 2. El comportamiento del sistema varía en forma significativa de acuerdo al signo del discriminante. Distinguiremos las siguientes posibilidades. Caso 1. (Oscilación amortiguada) < 0. Aquí la ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas λ y λ donde La solución general en este caso es λ = α + i ω a, ω a = ω 2 α 2 T a Figura 4: Oscilaciones amortiguadas Figura 5: Movimiento sobre-amortiguado x(t) = e α t (c 1 cos ω a t + c 2 sen ω a t) = Ae α t cos (ω a t φ). La constante α se conoce como constante de amortiguación. El factor e α t es llamado factor de amortiguación. En analogía con el movimiento armónico simple se definen los siguientes términos: Frecuencia angular amortiguada: ω a = ω 2 α 2. Período amortiguado: T a = 2π ω a. Frecuencia de oscilación amortiguada: f a = 1 T a. Caso 2. (Sistema críticamente amortiguado) = 0 : La ecuación característica tiene raíces reales repetidas λ 1 = λ 2 = α. El desplazamiento del cuerpo en el tiempo t está dado por x(t) = c 1 e α t + c 2 t e α t, < t <, donde c 1 y c 2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales. Nótese que las soluciones no son periódicas y que el cuerpo tiende al equilibrio a medida que el tiempo transcurre. 6

7 Caso 3. (Sistema sobreamortiguado) > 0. En este caso se tienen dos raíces reales negativas distintas λ 1,λ 2, digamos λ 2 < λ 1 < 0 : La solución general está dada por λ 1,λ 2 = α ± α 2 ω 2. x(t) = c 1 e λ 1 t + c 2 e λ 2t, < t < Una observación cuidadosa de la solución general mostrará que en un sistema sobreamortiguado no se presentan oscilaciones. De la discusión de los casos 1, 2 y 3 se concluye: Teorema 1. Para un oscilador libre se tiene que Las soluciones periódicas se presentan sólo en el caso en el que no hay amortiguación (c = 0). Todo oscilador amortiguado es asintóticamente estable, es decir, independientemente de la velocidad y la posición iniciales lím t 0 x(t) = 0 y lím t 0 x(t) = 0. Si el sistema es o bien sobreamortiguado o bien cr ticamente amortiguado no se presentan oscilaciones alrededor del equilibrio. 3. Oscilaciones forzadas En esta sección estudiaremos el movimiento oscilatorio bajo el supuesto de que existan fuerzas externas de excitación que afectan al sistema. Fuentes comunes de fuerzas de excitación externa son los movimientos vibratorios del oscilador como un todo (como las sacudidas de una máquina, los desbalances de maquinarias rotatorias, los vientos sobre las estructuras, etc). Limitaremos nuestro estudio a las llamadas fuerzas armónicas de excitación f(t) = F 0 cos ω e t. Entender el comportamiento de un sistema sometido a excitaciones armónicas es esencial para entender cómo responde el sistema a fuerzas de excitación más generales. La ecuación (3) toma la forma d 2 x dx + 2α dt2 dt + ω2 x = F 0 cos ω e t, (5) donde F 0 es una constante. Si α 0, es decir, en presencia de fuerzas amortiguadoras, entonces (3) tiene una solución particular de la forma x p (t) = b 1 cos ω e t + b 2 sen ω e t = A p cos (ω e t φ e ). Empleando el método de los coeficientes indeterminados se calculan los valores b 1 = (ω 2 ω 2 e)f 0 (ω 2 ω 2 e) 2 + (2αω e ) 2, b 2 = 7 (2α ω e )F 0 (ω 2 ω 2 e) 2 + (2αω e ) 2.

8 Figura 6: Movimiento transitorio y permanente. Figura 7: Movimiento forzado. Adicionalmente puede verse que A p = La solución general tiene la forma F 0 (ω2 ω 2 e) 2 + (2αω e ) 2 x(t) = x p (t) + x H (t), donde x H (t) representa la solución general de la ecuación homogénea asociada, que corresponde al oscilador libre Como se sabe todas las soluciones de la ecuación del movimiento de un oscilador libre amortiguado son asintóticamente estables, por ello x H (t) satisface lím x H(t) = 0, t lím t x H(t) = 0. Se dice que x H (t) es un término transitorio ( respuesta a condiciones iniciales ), su presencia tiende a desaparecer con el tiempo, mientras que la solución particular x P (t) corresponde al régimen permanente del movimiento ( respuesta a la excitación externa ). Teorema 2. Para un oscilador amortiguado forzado Existe una solución particular periódica x p (t)cuya frecuencia es igual a la de la excitación externa. Los desplazamientos x = x(t) satisfacen lím (x(t) x p(t) ) = 0, y lím( x (t) x t t p(t) ) = 0. de modo que el régimen permanente es estable Oscilador no amortiguado con forzamiento armónico externo Sin amortiguamiento (α = 0) la ecuación (5) se reduca a d 2 x dt 2 + ω2 x = F 0 cos(ω e t). Trataremos separadamente dos casos importantes. 8

9 Figura 8: Resonancia. Caso ω ω e. La frecuencia externa de excitación ω e es distinta a la frecuencia natural del oscilador libre ω. La respuesta a la excitación externa (solución particular) está dada por x p (t) = F 0 ω 2 ω 2 e cos ω e t. Esta solución puede obtenerse de la fórmula para la solución particular del oscilador amortiguado con forzamiento armónico externo obtenida antes, si se toma α = 0. La solución general viene entonces dada por x(t) = x p (t) + x H (t), donde la función x p (t) tiene la misma frecuencia que la fuerza externa de excitación, ω e, y la frecuencia de x H (t) es igual a la frecuencia natural de excitación, ω. Caso ω = ω e. Este caso se conoce como resonancia no amortiguada. Se presenta cuando la frecuencia externa de excitación es igual a la frecuencia natural del oscilador libre. Existe una solución particular x p = x p (t), que representa un movimiento oscilatorio no periódico tal que la amplitud de las oscilaciones aumenta linealmente con t: La solución general x p (t) = F 0 2ω t sen(ω e t), < t <. x(t) = x p (t) + x H (t), es dominada al pasar el tiempo por la respuesta x p (t) a la excitación externa. Ejercicios 1. Una masa de 1 kg alarga un resorte en m. Si la masa se desplaza 1 4 m respecto de la posición de equilibrio y se suelta desde allí, y si se desprecia la resistencia del aire, halle la amplitud, el período y la frecuencia de vibración del movimiento. (Aquí g 9,8 m/s 2 ). 2. El movimiento de un cuerpo está descrito por la ecuación diferencial z +6πz +25π 2 z = 0. El sistema de unidades usado es el MKS. 9

10 a) Halle la frecuencia y el período naturales del oscilador armónico asociado. b) Halle la frecuencia y el período amortiguados. c) Si z(0) = 0,10m y z (0) = 1 m/s, halle el tiempo necesario para que la amplitud de la oscilación se reduzca a 0,001 m. 3. El mecanismo de un cañón de un tanque se puede modelar mediante un sistema masa resorte amortiguador. Supóngase que la masa es la del cañon, igual a 100 kg, el coeficiente de amortización es c = 200λ y la constante del resorte es k = 100λ 2, en unidades apropiadas en el sistema MKS, donde λ es una constante. Supóngase que el movimiento del cañon respecto de la posición de equilibrio, después de un disparo en el tiempo t = 0, está descrito por el problema de valor inicial. 100x + 200λx λ 2 x = 0, x(0) = 0, x (0) = 100 m/s. a) Halle λ para que el sistema esté amortiguado críticamente. b) Cuál ha de ser λ para que la cantidad x 2 (t) + (x (t)) 2 se reduzca a 0,01 m en 1 segundo? 4. Un reloj tiene un péndulo de un metro de longitud. El reloj suena cada vez que el péndulo llega al extremo derecho de su vaivén. Despreciando la fricción y la resistencia del aire, y suponiendo oscilaciones pequeñas, cuántas veces suena el reloj en un minuto? 5. Una boya cilíndrica de 0,2 m de radio y 1 m de altura, y cuya masa es de 100 kg flota en el agua manteniendo su eje vertical. Si se hunde de forma que la cara superior del cilindro coincida con la superficie del agua y luego se suelta, y se desprecia la resistencia del agua, cuáles serán su período natural de oscilación y su posición en cada instante? (La fuerza arquimediana de flotación ejercida sobre la boya es igual al peso del agua desplazada por ella. La densidad del agua es, aproximadamente, 1000 kg/m 3 ). 6. Una placa delgada de área 2A (en m 2 ) y masa M (en kg) está suspendida de un resorte con constante de rigidez k (Newton) y es puesta es oscilación en un fluido viscoso. a) Suponiendo que el fluido ejerce una fuerza de fricción viscosa f R sobre las caras de la placa proporcional a la velocidad v, dada por f R = µ(2a)v, donde µ es una constante característica de la viscosidad del fluido, halle una ecuación diferencial para el movimiento de la placa. b) Para qué valor µ de µ el sistema está amortiguado críticamente? c) Si T n es el período natural de oscilación del sistema libre no amortiguado en el aire y T a es el período amortiguado cuando la placa está sumergida en un fluido con coeficiente µ, 0 < µ < µ, halle una expresión para el valor de µ en términos de M,A,T n y T a. 10

11 7. Una masa de 1 kg está atada a un resorte con constante k = 64 Newton. En el instante t = 0, cuando la masa se halla en reposo en la posición de equilibrio, se aplica una fuerza F(t) = 1t (en Newt) hasta el instante t 2 1 = 7π s cuando se desconecta la 16 fuerza. Despreciando efectos de amortiguación, plantee una ecuación diferencial que determine la posición de la masa en el tiempo aún después de que la fuerza externa ha sido desconectada. Resuelva esta ecuación. 8. Un modelo sencillo de las vibraciones verticales de un carro que viaja por una carretera ondulada consiste en una masa M (masa total del carro), un resorte de constante k (sistema de suspensión) y un amortiguador lineal de constante c (sistema de absorción de choques). Al viajar, la carrocería (la masa) se desplaza la distancia x desde la posición de equilibrio y el soporte sube o baja la distancia y = y(s). El desplazamiento relativo es x y. Así, el resorte ejerce la fuerza k(x y) y el amortiguador la fuerza c(x y ). La ecuación del movimiento vertical del vehículo es M x = k (x y) c (x y ). Es decir Mx + c x + kx = ky + c y. Supóngase que la curva del camino es y = a sen 2π s con a = 0,1m y L = 10 m y que L el vehículo se mueve con velocidad horizontal constante v. Entonces y(t) = a sen 2πvt L y la ecuación de las vibraciones del carro será M x + c x + k x = k a sen 2πvt L + c2πv L a cos2πvt L. Supóngase que M = 1000 kg y k = 4000 N/m. a) Si el amortiguador se desconecta (es decir, c = 0), halle la frecuencia angular natural ω de oscilación del carro y determina la velocidad v a la cual ocurre resonancia. b) Si c = new/m, halle la respuesta x = x(t) del carro a las ondulaciones del camino cuando el carro parte del reposo con x(0) = 0, x (0) = 0 y v = 20m/s. 9. Un modelo simplificado de un edificio consiste en considerarlo como un cuerpo rígido que contiene toda la masa M de la estructura y que está soportado por columnas de masa despreciable que ejercen una fuerza elástica k u opuesta a los desplazamientos laterales u de M. Se supone que la estructura posee amortiguación viscosa con constante de amortiguación c. El peso del edificio es W = 100 ton y el edificio es puesto en vibración desplazándolo 5 cm de la posición de equilibrio y soltándolo desde allí en el tiempo t = 0. Si el desplazamiento máximo en el (primer) vaivén de retorno es de 3,5 cm y ocurre en un tiempo t = 0,64 s, determine: a) La rigidez lateral k, b) la constante de amortiguación c. 11

12 Respuestas 1. A = 1 4, T = π 4 y f = 4 π. 2. (a) T = 2 5 y f = 5 2 (b) T a = 1 2 y f a = 2 (c) t = 0, (a) Para cualquier valor de λ el sistema esta críticamente amortiguado, (b) λ = 8, veces. 5. T = π y x(t) = cos 2 π t. 6. (a) Mx + 2Aµx + kx = 0. (b)si µ = Mk A (c)µ = 2πM 1 1. A Tn 2 Ta 2 el sistema esta amortiguado críticamente 8. (a) si c = 0 entonces ω = 2 y la resonancia ocurre si v = 3,2 (b) x(t) = 486 cos 2t sen 2t + 514,1 cos (12,5t + 19,05) 12