Física I Apuntes de Clase 9, Turno H Prof. Pedro Mendoza Zélis

Transcripción

1 Física I Apuntes de Clase 9, 18 Turno H Prof. Pedro Mendoza Zélis

2 Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

3 Es interesante analizar un tipo de movimiento que es el que ocurre cuando un objeto es apartado de la posición de equilibrio estable y se produce un movimiento oscilatorio alrededor de ésta, limitado por dos posiciones extremas. En la naturaleza existen varios ejemplos conocidos como la oscilación de un péndulo, la vibración de una cuerda, el balanceo de un barco o el movimiento de una masa sujeta a un resorte, entre otros. Todos estos movimientos periódicos se producen debido a la existencia de una fuerza que tiende a restaurar al objeto en cuestión a la posición de equilibrio estable ya mencionada. La descripción matemática de la posición del objeto en función del tiempo no siempre es simple. En esta clase vamos a estudiar el tipo más sencillo de movimiento oscilatorio que se puede describir con una función trigonométrica simple.

4 Péndulo simple Resorte

5 Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) Una partícula que se mueve a lo largo del eje X describe un M.A.S. cuando existe una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento, es decir, que actúa en sentido contrario. En general, esta condición se cumple casi siempre cuando es pequeña la separación del equilibrio.

6 Qué tipo de fuerza restauradora es la responsable de generar un M.A.S? -A O x -kx +A X En el caso de un resorte, Ley de Hooke: F x - k x (I) Combinando la ec. (I) con la da Ley de Newton nos queda: d x F x ma d x k x kx m a x m La aceleración es proporcional al desplazamiento y tiene sentido contrario. Si un sistema presenta esta característica, se puede concluir que el mismo presenta un M.A.S.

7 d x d x F x kx m m + kx d x( t) k + x( t) m (II) Ecuación diferencial de do orden

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9 d x d x F x kx m m + kx d x( t) k + x( t) m (II) Ecuación diferencial de do orden Esta es una ecuación cuya solución es una función del tiempo y debe cumplir con ciertas condiciones: 1) Debe ser periódica ya que debe poder describir un movimiento periódico provocado por una fuerza restauradora. ) la solución x (t) tiene que ser tal que la derivada da tiene que coincidir con x (t) pero con signo cambiado, para todo valor de tiempo t. Entonces proponemos: x ( t) Acos ( t + )

10 Derivemos y veamos qué nos queda al reemplazar las expresiones en la ecuación (II): Entonces: A cos( t + ) + k m k m Frecuencia angular 6 Acos( t + ) x ( t) Acos ( t con A 4 m 7. 1 s + ) X [m] tiempo [s]

11 x ( t) Acos ( t + ) A se denomina amplitud del movimiento. k es la frecuencia angular. ( t + m ) es la fase. es la fase inicial (condiciones iniciales para t ). 1) Como los valores máximo y mínimo de la función coseno son +1 y -1, el movimiento se realiza en una región del eje X comprendida entre +A y -A, respectivamente. ) La función coseno es periódica y se repite cada p, por tanto, el movimiento se repite cuando el argumento de la función coseno se incrementa en p, es decir, cuando transcurre un tiempo T tal que [ (t + T)+ ] ( t + ) +p Entonces: t + T + t + + p 1 Frecuencia:, p f f Hertz T 1 s T p / período

12 x ( t) Acos ( t + ) Curva negra A m w 6.8 rad/s rad Curva roja todo igual cambiando: A 1m 1.57 rad w rad/s

13 Como la posición en un M.A.S. viene dada por la ecuación: x ( t) Acos ( t + ), la velocidad queda expresada como: d x( t) v ( t) A sen ( t + ), y la aceleración queda expresada como: d v( t) a ( t) A cos ( t + ) x Se puede observar que la aceleración está dirigida en sentido contrario a la posición x: si x>, a< y si x<, a>. Además, se observa que la aceleración vale cuando el objeto está en la posición de equilibrio (x ) y toma su máximo valor con signo contrario cuando se encuentra en la máxima elongación (x max ). -X a a +X

14 6 4 X [m] - x ( t) Acos ( t + ) tiempo [s] 4 3 V [m/s] v ( t) A sen ( t + ) La velocidad está desfasada en 9º tiempo [s] 3 a [m/s ] tiempo [s] a ( t) A cos ( t + ) x La aceleración está en contrafase respecto a x (t)

15 Qué ocurre con la energía en un M.A.S? Si la única fuerza que actúa es la restauradora k x, ya vimos que es conservativa, entonces: E W E mec E mec E mec f Emec, i NC, f mec, i, Ec, f + Ep, el, f Ec, i + Ep, el, i cte 1 1 E mec mv + kx cte E mec 1 1 m ( A sen ( t + )) + k A cos ( t + ) cte v x 1 E mec k A cte Para todo tiempo t

16 Energía cinética, potencial y total Energía cinética, potencial y total 5 4 Etotal 1 k A E c, E p, E total 3 Ec Ep E total E c 1 m v tiempo [s] Ep 1 k x

17 Cómo son las energías cinética y potencial en función de la posición? Energía potencial y cinética Energía potencial y cinética E total E cinética E potencial x [m]

18 +y El péndulo simple L F F x T ( )sin m T ( )cos mg d x d y m T m g cos() y +x m g sen() mg sen x L En el caso de ángulos pequeños, cos 1 T mg d x m + gx y d y d x g + x L

19 Si comparamos esta expresión con d x( t) + x( t) concluimos que: g L para el caso de un péndulo simple La solución de la ecuación (III) es: x Acos ( t + ) Donde A es el desplazamiento angular máximo y El período de un péndulo simple es: T p T p L p Midiendo el período de un péndulo g simple podríamos determinar g g L

20 El péndulo simple (en coordenada angular) L T s d s, a t L m g sen s mg En el caso de ángulos pequeños, m g cos sen F t m g sen g sen d L d s m d ( L) g L d g d g L d g L d g + L (III)

21 Oscilaciones amortiguadas En todos los movimientos oscilantes reales se disipa energía mecánica debido a algún tipo de fuerza de fricción o rozamiento. Esto hace que la amplitud del sistema vaya disminuyendo a medida que transcurre el tiempo. Amplitud [m] Este tipo de movimiento se denomina amortiguado La ecuación de movimiento es: dx kx b d x m tiempo [s]

22 F d b v La término representa la fuerza dinámica, proporcional a la velocidad, ejercida sobre el oscilador en sentido contrario al movimiento. La solución es del tipo: x b t m A e cos ( ' t + ) donde A es la amplitud original, ' 1 b m y k m es la frecuencia cuando no hay amortiguamiento

23 Oscilaciones forzadas Es posible compensar la pérdida de energía de un oscilador amortiguado, aplicando una fuerza externa que realice un trabajo positivo sobre el sistema. Esto ocurre cuando la fuerza actúa en el sentido de movimiento del objeto, como por ej. cuando damos pequeños empujoncitos en instantes adecuados a los niños que se hamacan. Esta dependencia temporal puede expresarse como: F ext ( t ) F cos( ' t ) La ecuación de movimiento del objeto es entonces: m d x + b dx + kx F cos( ' t )

24 y ( ) + m b m b arc ' ' / ' cos ) ' cos( ) ( t A t x La solución es: donde: ( ) + m b m F A ' ' / resonancia!!!! ' es la frecuencia de la fuerza externa es la frecuencia propia del sistema

25 Resonancia: se llama resonancia al caso en el que la frecuencia externa ( ) coincide con la frecuencia propia del objeto ( ). Para esta condición la amplitud alcanza su máximo valor. Ejemplos de resonancia: 1) Los terremotos son fuerzas oscilatorias que, aplicadas a edificios pueden llegar a destruirlos parcial o totalmente. Actualmente los edificios se construyen de manera que la frecuencia propia ( ) no coincida con los valores comprendidos en el rango -15 Hz, que es la frecuencia típica de los terremotos. ) Un puente colgante de Inglaterra colapsó cuando unas tropas marchaban sobre él en forma acompasada: la vibración de resonancia inducida por los soldados aumentó la amplitud de oscilación lo suficiente como para romper el puente (183). Hoy día se sabe que hay que romper fila al atravesar un puente!!

26 3) Puente de Tacoma, Estados Unidos (194) Los fuertes vientos produjeron vórtices con fuerzas impulsoras periódicas de una frecuencia ( ) similar a la propia del puente ( ) provocando la ondulación observada y luego el colapso del mismo.

27 3) Puente de Tacoma, Estados Unidos (194) Los fuertes vientos produjeron vórtices con fuerzas impulsoras periódicas de una frecuencia ( ) similar a la propia del puente ( ) provocando la ondulación observada y luego el colapso del mismo.