Bases Físicas del Medio Ambiente. Oscilaciones

Transcripción

1 Bases Físicas del Medio Ambiente Oscilaciones

2 Programa V. OSCILACIONES. (3h) Introducción. Movimiento armónico simple. Energía del oscilador armónico. Aplicaciones del movimiento armónico. Péndulos. Movimiento en las proimidades del equilibrio. Oscilaciones amortiguadas. Oscilaciones forzadas. Resonancia. Superposición de M.A.S.

4 Esta lección Física Se trata de reconocer la utilidad de la matemática Trigonometría Cálculo Para describir unas aplicaciones interesantes de la mecánica clásica Luego, un poco de física

5 Definiciones: Movimientos Periódicos Periódico: movimiento que se repite así mismo Periodo: el tiempo necesario para que se produzca la repetición Ejemplos de movimientos periódicos Rotación de la Tierra alrededor del Sol, período = 1 año Oscilación de un péndulo Movimiento de las manecillas de un reloj Masa colgada de un muelle Movimiento armónico simple (MAS) Forma más sencilla de oscilación En una dimensión,

6 El MAS es la proyección del movimiento uniformo circular observador Importancia de la trigonometría

7 Movimiento armónico simple (MAS) Posición () frente a tiempo (t) Definición del periodo, T Definición de la amplitud, A T A T A

8 Frecuencia y Periodo f = 1/T T = 1/f T periodo, en segundos (s) f = frecuencia en Hertzios (Hz) prefijos métricos : centi- (c), milli- (m), micro- (m) kilo- (k), mega- (M)

9 Fase y desfase (en tiempo) Fase en qué parte de su ciclo se encuentra en un momento dado Grados: arbitrarios Radianes: relacionan un arco con el ángulo (y el radio) π/ π 3π/ π θ=1 Desfase en qué parte de su ciclo se encuentra, comparado con otro señal

10 Descripción matemática MAS = Acos t ( ω +δ ) A = amplitud ωt + δ = fase δ = fase inicial (t=) o constante de fase ω =??

11 Comportamiento Descripción matemática Aumento de π en la fase: ( ωt + δ ) = Acos( ω + δ π ) = Acos t + El periodo (T) corresponde a π: cómo? ( t + T ) + δ = ωt + δ + π ω ωt + ωt + δ = ωt + δ + π T = π ω

12 Periodo, Frecuencia, y Frecuencia Angular = Acos t ( ω + δ ) Periodo Frecuencia T π = ω 1 f = T Frecuencia Angular ω π ω = πf tiempo para cumplir un ciclo = número de ciclos por unidad de tiempo número de radianes por unidad de tiempo

13 Otras observaciones Para t=. = Acos t = Acos La posición inicial depende en A δ La velocidad ( ω + δ ) d dt ( δ ) π A sin = Aω cos wt + δ v = = ω ( wt +δ )

14 Una derivada más = Acos t La aceleración ( ω +δ ) dv dt d dt a = = = ω Acos( wt +δ ) = ω

15 Fase y desfase A (t) Hay un desfase de 9º (π/) entre (t) y v(t) Hay un desfase de 9º (π/) entre v(t) y a(t) Hay un desfase de 18º (π) entre (t) y a(t) wa T 1.5 v(t) w A a(t)

16 Estamos llegando a la física (trigonometría: no para divertirnos) = Acos t La aceleración ( ω +δ ) dv dt d dt a = = = ω Acos( wt +δ ) (Volvemos a la física; F=ma) = ω F = mω Fuerza proporcional al desplazamiento de sentido contrario

17 Características de un MAS F = mω La fuerza es proporcional al (negativo del) desplazamiento T (en consecuencia f y ω) es independiente de A Los valores inicial y v determinan la amplitud (A), mientras La fuerza (del muelle, ejm.) determina las características temporales (T, f, ω) Muelle débil Muelle fuerte A Equilibrio

18 Resumen de las variables más sencillas que caracterizan un MAS = Acos t ( ω +δ ) A Amplitud (metros) ω t + φ Fase ([radianes]) φ Cte. De Fase ([radianes]) ω Frecuencia Angular ([rad]/s, s-1) T Periodo (s) f Frecuencia (Hz, [oscillations]/s)

19 Ejemplo clásico de MAS Masa conectada a un muelle Ley de Hooke: F = k Compara con el MAS: F = mω Estas epresiones son idénticas si: k ω = m Equilibrio = F X =

20 Energía Potencial de un MAS Cargando la muelle La fuerza del muelle es F = mω El trabajo hecho por la muelle es W ( ) = Fd = mω d = La muelle recibe (y almacena) energía Energía potencial elástica (U) U = 1 ( ) mω 1 Equilibrio mω = F X =

21 Energía Total (E) de un MAS: Potencial (U) y Cinética (K) Energía potencial (U) U = 1 ω ( ) m U ( ) ( ) = Acos ω t +δ 1 = mω A cos ( ωt + δ ) Energía cinética (K) 1 K ( ) = mv K( ) ( ω δ ) v = Aω sin t + 1 = mω A sin t + ( ω δ ) sin ( θ ) + cos ( θ ) = 1 E = U ( ) + K( ) = 1 mω A constante, f(t)

23 Aplicaciones del MAS: El Péndulo Simple Consideramos el péndulo de masa (m) En la dirección radial, hay balance de fuerzas La tensión (T) centrípeta Componente centrífugo de g En la dirección tangencial, aceleración (fuerza neta) F = -mg sen θ L θ T mg sen θ m mg cos θ mg

24 El Péndulo Simple Es MAS? No eactamente MAS: fuerza proporcional al desplazamiento Eaminamos, si es el caso Desplazamiento (arco), = L θ Proporcional al ángulo, θ Fuerza, F = -mg sen θ No es MAS F = mω Proporcional a sen θ Pero, para θ pequeño, sen θ θ Para θ pequeño, F mgθ F = mg L L θ T mg sen θ m mg cos θ mg

25 Periodo del Péndulo Simple MAS F Péndulo (θ pequeño) Parámetros = mω F = mg L Frecuencia Angular Periodo T = w = π = π w L g g L L θ T mg sen θ m Frecuencia f = 1 T = 1 π g L mg cos θ mg

26 Descripción Angular MAS F Ecuación del movimiento g d = mω = m = ma = m L dt d + g = dt Recordar que = L θ Como L es cte.: Comúnmente d d θ = L dt dt d θ g + θ = dt L L θ T mg sen θ m Son aproimadamente iguales mg cos θ mg

27 Un ejemplo más: masa colgada de muelle vertical Muelle sin carga Equilibrio inicial, y Nuevo equilibrio y =y -mg/k Muelle con masa Cambio de variable: Nuevo equilibrio en y=y Muelle con masa Es casi igual al caso horizontal k(y+y ) = mg(y+y ) Y desplazamiento Porque casi : el papel de la gravedad Energía potencial gravitacional Influye en determinar y (desplaza el sistema entero hacía abajo) No influye directamente en la velocidad máima (ni ω, ni T,ni f ) y Deberes: demostrarlo energéticamente

29 Oscilaciones amortiguadas En la realidad, la oscilación (muelle, péndulo) no sigue para siempre La fricción convierte la energía en calor Pérdida de energía Pérdida ~ amortiguamiento Amortiguamiento fuerte Amortiguamiento moderado Amortiguamiento ligero Entonces porque hablamos del MAS? Simplicidad Utilidad La fricción no cambia mucho ni ω, ni T,ni f

30 Oscilador amortiguado Una aproimación sencilla para rozamiento/amortiguamiento es Proporcional a la velocidad r = bv Opone el movimiento (trabajo negativo) b=cte, determina el grado de amortiguamiento Entonces, con amortiguamiento, el MAS se convierte 1 m r F ma = mω bv d d m + b + mω = dt dt d d + γ + ω = dt dt { } Ecuación del movimiento γ = b m

31 Oscilador amortiguado Ecuación del movimiento: d dt d + γ + ω dt = Solución particular Amortiguamiento pequeño γ < ω Cómo? Hacía falta adivinar la solución ( ω t + α ) No lo crees? Confirmar que resuelve la ecuación diferencial = Ae γt ω = ω γ cos = k m b 4m

32 Oscilador amortiguado Ecuación del movimiento: d dt d + γ + ω dt = Qué pasa si γ > ω Entonces, ω no es real Fricción muy fuerte Llega a la posición de equilibrio con poca inercia No lo sobrepasa (o quizás un poco) Aplicaciones para diseño de instrumentos

33 Retos de la instrumentación Señal/Respuesta Los instrumentos tiene problemas de Calibración Respuesta dinámica Incapaces de medir cambios instantáneos

34 Instrumentos de orden dos Los instrumentos tiene problemas de Calibración Respuesta dinámica Incapaces de medir cambios instantáneos Tienen inercia Falta de amortiguamiento oscilaciones» Sin amortiguamiento» Amortiguamiento demasiado débil Demasiado amortiguamiento respuesta lenta» Sobreamortiguamiento Críticamente amortiguamiento ρ = Sin Amortiguamiento Amortiguamiento Débil ρ =.3 Óptimo ρ = 1 ρ = 3 Sobreamortiguado

35 Amortiguamiento y energía Pérdida de energía : trabajo negativo Potencia de la fuerza de fricción dw Fd r P = = Fv r = = bv dt dt Otra manera de ver cómo se disipa energía y potencia Recordándonos que la energía total es( 1 1 E = mv + k ) Y la ecuación del movimiento es dv dv m = bv k bv = m + k dt dt Perdida de potencia : de dv d = mv + k dv = m + k = bv dt dt dt dt v de dt = bv Potencia cedida, como flujo de calor al medio

36 Oscilaciones Forzadas Un sistema suele vibrar a una frecuencia natural Ejm. Muelle: ω Cambio de notación 1 k f = = π π m Ahora, consideramos la acción de una fuerza eterna (F et ) Si actúa en el sentido del movimiento aumenta la energía mecánica Si lo hace en sentido contrario, absorbe energía (trabajo negativo) Para F et cte. (ejm., atracción gravitacional) A veces opone y veces aumenta la oscilación Trabajo neto realizado en un ciclo = Sólo varía la posición de equilibrio del sistema Una fuerza importante es la que varía sinusoidalmente F et = F cos ( ωt) frecuencia angular de la fuerza eterna

37 *Despreciamos un término transitorio, de poca duración Oscilaciones Forzadas La suma de fuerzas es: F mω bv + d = F cos( ωt) = ma = m dt d d m + b + mω = F cos( ωt) dt dt Cuya solución (simplificada*) es t = A sen ω t + con ( ) ( ) ϕ A = m ( ) ω ω + b ω / m F ϕ = tan 1 ω ω ω ( b / m)

38 Oscilación Armónica Forzada () t = A sen( ω t + ) ϕ La amplitud A depende mucho de la diferencia de frecuencias (natural y aplicada) ω = ω Con, tenemos resonancia F et y velocidad están en fase La amplitud queda limitada por el amortiguamiento (si acaso) A ϕ = m = tan ( ) ω ω + b ω / m 1 ω ω F ω ( b / m)

39 Porqué resonancia?: Eaminar la potencia () ( ) t = A sen ω t + ϕ = d v = A cos ω t + ϕ dt Potencia, d P = Fv = F dt ( ) ( ω t + ϕ ) A ωsen ( ω + ) = F t cos ϕ resonancia -F et y velocidad en fase

41 Importancia de la resonancia Tacoma Narrows Bridge (Washington, EEUU) 7 noviembre 194 Resonancia entre Las ráfagas de viento (Una de las) frecuencia(s) natural(es) del puente Consecuencias para la ingeniería Para sobredimensionar las edificaciones No basta pensar solo en la fuerza del viento La amplitud de la oscilación armónica forzada (Colapsó) Otros ejemplos: Empujar un niño en un columpio Coche en una cárcava balancear

42 Superposición de MAS Dos MAS en la misma dirección 1 = A1 cos ω 1t + δ1 = A cos ω t + δ El desplazamiento total es: Dos casos Si ω 1 = ω = ω Entonces es un MAS = Acos( ω t +δ ) (Demostrar: ID trig.) Si ω 1 ω No es un MAS ( ) ( ) ( ω t + δ ) + A ( ω + δ ) = t 1 + = A1 cos 1 1 cos

43 Otras combinaciones de dos movimientos armónicos simples Considerar una partícula con dos MAS en direcciones ortogonales = A cos ω t + δ y = A y cos t ( ) Si las frecuencias son distintas, el movimiento es muy complejo, y requiere un estudio especial Para frecuencias iguales: ω ω = ω ( ω + δ ) y y = y

44 Combinaciones de dos MAS Dos MAS en direcciones ortogonales y La constante de fase δ adquiere importancia Si δ = δ y = δ Entonces ( ω + δ ) = A cos t = A y cos ( ω yt + δ y ) Ay y = Ay cos( ω t +δ ) = k A ω ω = ω = y = A y Ay Si δ y - δ = π/, podemos considerar dos casos A =A y el movimiento es un círculo A A y el movimiento es un elipse Si δ y - δ π/ π, también es un elipse y Ay Ay A y Ay A

45 Conceptos/Ecuaciones a Dominar Oscilación MAS Amplitud, A; Periodo, Frecuencia Angular, ω; Fase, ωt + δ Fase inicial ( cte ), δ; Frecuencia, Fuerza y desplazamiento Velocidad Aceleración = Acos t Energía potencial Energía cinética MAS aproimado; péndulo ( ω +δ ) π T = ω 1 f = T F = mω v = Aω sin( wt +δ ) a = ω 1 U ( ) = mω mg F = L Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia. Superposición de M.A.S. 1 K ( ) = mv

46