Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)

Transcripción

1 Anexo: Movimiento Armónico Simple (M.A.S.) 1.- Oscilaciones armónicas Los movimientos periódicos que se producen siempre sobre la misma trayectoria los vamos a denominar movimientos oscilatorios o vibratorios. Ejemplos de estos movimientos son un péndulo o un muelle. Los movimientos periódicos los vamos a caracterizar por las siguientes magnitudes periódicas: Periodo (T): tiempo que tarda el movimiento en realizar una oscilación completa Frecuencia (υ): número de oscilaciones por unidad de tiempo. La relación entre periodo y frecuencia es: T = 1 ν (1) Los movimientos oscilatorios se producen debido a que alteramos el equilibrio estable de un sistema. En estos casos, el propio sistema tenderá a recuperar su posición de equilibrio, realizando un movimiento oscilatorio. Piensa en un péndulo. Se encontrará en su punto de equilibrio estable cuando está perpendicular al suelo. En cuanto varía dicho equilibrio (se le empuja), el péndulo tenderá a recuperar su equilibrio, debido a la acción de la fuerza de la gravedad. A esta fuerza la denominaremos restauradora, pues tiende a devolver (restaurar) el péndulo a su posición de equilibrio. Al pasar por el punto de equilibrio, la fuerza restauradora le hará sobrepasarlo. Y vuelta a empezar. Hasta que el rozamiento con el aire haga que se pare. En este caso se ha producido una oscilación. Cuando la fuerza restauradora es proporcional a la separación del cuerpo del punto de equilibrio tendremos un movimiento armónico simple (M.A.S.) Matemáticamente esta fuerza se expresa como 1 F = k x (2) El signo negativo indica que la fuerza es restauradora (se opone al movimiento), x es la posición con respecto al punto de equilibrio y k es la constante de proporcionalidad. Un oscilador armónico es cualquier partícula que describe un M.A.S. 1 Nótese que esta fuerza es igual a la fuerza que obtenemos en la ley de Hooke Diego Palacios Gómez. IES Nuestra Señora de la Victoria. Departamento de Física y Química 1

2 2.- Cinemática del M.A.S Posición del M.A.S. En general, la ecuación de un movimiento armónico simple puede escribirse como: x= A cos(ω t+δ) (3) donde x (elongación) es la posición en la que en cada momento se encuentra la partícula. A (amplitud) es la elongación máxima ω (frecuencia o velocidad angular) es el ángulo girado por unidad de tiempo. ω=2π ν= 2π (4) T ω t + δ (fase del movimiento). Puede observarse que cuando termina una oscilación completa (es decir, la fase aumenta en 2π), la posición vuelve a ser la misma, dado que: cos(ω t+δ)=cos(ω t +δ+2 π) (5) δ (desfase o fase inicial) es la fase cuando el tiempo vale cero y nos indica qué diferencia hay entre nuestro movimiento y un movimiento que en el instante inicial se encuentre en el punto de equilibrio. t=0 x 0 = A cos δ cosδ= x 0 A (6) La ecuación de cada M.A.S. va a depender de cuál sea la posición y el sentido inicial del movimiento. Vamos a estudiar los casos en los que la oscilación comienza en los extremos o en la posición de equilibrio. Para ello estudiaremos cómo es el movimiento en algunos tiempos importantes. Cuando es múltiplo entero de T/4 (la cuarta parte del periodo, que es el tiempo que tarda en recorrer la distancia que va desde el punto de equilibrio a cualquier extremo o viceversa), es decir: t = 0; t = T/4; t = T/2; t = 3T/4; t = T Dado que comenzaremos en un extremo o en el punto de equilibrio (y cada t = T/4 recorreremos una distancia A), las posiciones en estos tiempos serán, siempre x = A, x = 0 ó x = -A El movimiento parte desde el extremo derecho (hacia el punto de equilibrio) Elaborando la tabla de valores y representándola, podemos ver que la ecuación del movimiento es: x= A cos ω t (7a) o bien, en función del seno x= A sen(ω t+ π 2 ) (7b) Diego Palacios Gómez. IES Nuestra Señora de la Victoria. Departamento de Física y Química 2

3 El movimiento parte desde el extremo izquierdo (hacia el punto de equilibrio) Elaborando la tabla de valores y representándola, podemos ver que la ecuación del movimiento es: x= A cosω t= A cos(ω t+π) (8a) o bien, en función del seno x= A sen(ω t π 2 ) (8b) El movimiento parte desde el punto de equilibrio hacia la derecha (elongaciones positivas) Elaborando la tabla de valores y representándola, podemos ver que la ecuación del movimiento es: x= A cos(ω t π 2 ) (9a) o bien, en función del seno x= A senω t (9b) El movimiento parte desde el punto de equilibrio hacia la izquierda (elongaciones negativas) Elaborando la tabla de valores y representándola, podemos ver que la ecuación del movimiento es: x= A cos(ω t+ π 2 ) (10a) o bien, en función del seno x= A sen ω t=a sen(ω t +π) (10b) Velocidad del M.A.S. Consideremos la fórmula general del M.A.S. dada por (3) x= A cos(ω t+δ) Para calcular la velocidad nos basta con derivar con respecto al tiempo: v= dx dt = A ω sen(ω t+δ) (11) Observamos que la velocidad de un M.A.S. también varía de manera armónica. Diego Palacios Gómez. IES Nuestra Señora de la Victoria. Departamento de Física y Química 3

4 Vamos a jugar un poco con la expresión (11). Intentaremos poner el seno de la fase en función del coseno. Pare ello usaremos la relación fundamental de la trigonometría: sen 2 (ω t+δ)+cos 2 (ω t +δ)=1 sen(ω t+δ)=± 1 cos 2 (ω t +δ) (12) Si introducimos este valor en la expresión (11) tendremos que: v= A ω sen(ω t+δ)= A ω 1 cos 2 (ω t +δ) = = ±ω A 2 A 2 cos 2 (ω t +δ)=±ω A 2 x 2 (13) Nótese que tengo dos posibles soluciones de velocidad (v) para una misma elongación (x). Una corresponde a la ida (el movimiento va a la derecha, hacia elongaciones positivas) Y la otra a la vuelta (el movimiento va a la izquierda, hacia elongaciones negativas) Aceleración del M.A.S. Dado que la aceleración es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, y usando (11): a= dv dt A ω sen(ω t +δ) =d = A ω 2 cos(ω t +δ)= ω 2 x (14) dt Nuevamente concluimos, como con la velocidad, que la aceleración de un M.A.S. también varía de forma armónica Conclusiones Vamos a sacar algunas conclusiones. Estudiemos qué pasa con la velocidad y la aceleración el los extremos y el punto de equilibrio. Velocidad ( v=±ω A 2 x 2 ) Aceleración ( a= ω 2 x ) x = -A v=0 a=+ω 2 A x = 0 v=±ω A 2 a=0 x = +A v=0 a= ω 2 A Es decir: En el punto de equilibrio la velocidad es máxima, mientras que la aceleración será nula. La velocidad puede tener dos signos, dependiendo del sentido que lleve el movimiento: será positivo si va hacia valores de la elongación positivo (hacia la derecha), y será negativo se va hacia valores de la elongación negativos (hacia la izquierda) En los extremos, en cambio, la velocidad será nula mientras que la aceleración será máxima. Y tendrá signo diferente a la velocidad, lo que nos indica que la fuerza es restauradora. Diego Palacios Gómez. IES Nuestra Señora de la Victoria. Departamento de Física y Química 4

5 2.5.- Representación gráfica de la posición, velocidad y aceleración Vamos a representar la posición, la velocidad y la aceleración, de un M.A.S. para sacar algunas conclusiones. Tomaremos las expresiones de estas magnitudes suponiendo que no existe desfase (δ = 0) y expresando la frecuencia angular en función del período, como vimos en la expresión (4). Volveremos a evaluar nuestra función en tiempos múltiplos de T/4. t = 0 t = T/4 t = T/2 t = 3T/4 t = T x= A cos(ω t +δ) x = A x = 0 x = -A x = 0 x = A v= A ω sen(ω t+δ) v = 0 v = - ω A v = 0 v = ω A v = 0 a= A ω 2 cos(ω t+δ) a = - ω 2 A a = 0 a = ω 2 A a = 0 a = - ω 2 A Como puede observarse: Las tres magnitudes varían de manera armónica. Dado que las tres funciones son cosenos: La posición toma todos los valores comprendidos en el intervalo [-A, A]. La velocidad varía entre [-ω A, ω A]. Y el intervalo en de la aceleración es [-ω 2 A, ω 2 A]. Cada intervalo de t = T/4, la posición varía un valor A, la velocidad un valor ω A y la aceleración ω 2 A π Entre la posición y la velocidad existe un desfase de 2 Entre la posición y la aceleración existe un desfase de π 3.- DINÁMICA DEL M.A.S. Vamos a suponer un oscilador consistente en un cuerpo unido a un muelle horizontal. Cuando apartamos el cuerpo del equilibrio una fuerza restauradora de valor F = k x tenderá a devolverlo a su sitio. Vamos a plantear la ecuación que nos sale y que deberemos resolver 2. Sabemos, por la segunda ley de Newton que la suma de todas las fuerzas que actúan en un sistema será igual a la masa por la aceleración y que la aceleración es la segunda derivada de la posición. F =m a=m d²x (15) dt² 2 La ecuación que obtenemos es una ecuación diferencial. Este tipo de ecuaciones tiene la incógnita derivándose, por lo que su resolución no suele ser fácil. Lógicamente escapa de cualquier objetivo de un curso de Bachillerato. Sin embargo, me parece oportuno ponerla para que los alumnos vayáis comprobando que las herramientas matemáticas de las que se sirve la física van mucho más allá de las simples ecuaciones, relaciones trigonométricas, vectores... Diego Palacios Gómez. IES Nuestra Señora de la Victoria. Departamento de Física y Química 5

6 Como la única fuerza que actúa sobre mi sistema es la restauradora (suponemos que no existe rozamiento), obtendremos que: m d²x dt² = k x m d²x dt² +k x=0 d²x dt² + k m x=0 (16) Hasta ahora hemos supuesto que la ecuación de la solución era del tipo x= A cos(ω t+δ). Hacemos la segunda derivada de esta expresión y obtenemos: d²x dt² = A ω ² cos(ω t+δ) (17) Por lo que la expresión (16) queda, sustituyendo el resultado obtenido en (17): A ω ² cos(ω t+δ)+ k m A cos(ω t+δ)=0 (18) Si sacamos factor común A cos(ω t+δ) en la expresión (18): A cos(ω t+δ) [ ω ²+ k m ]=0 (19) Esta ecuación se cumplirá siempre que: A = 0, lo que indica que no hay movimiento. Este resultado no nos es válido. cos(ω t+δ)=0 ω t +δ= (2n+1)π, lo que ocurre solamente para algunos valores de t. 2 Tampoco nos es válido este resultado. ω ²+ k m =0 ω ²= k m (20), condición que sí que se le puede exigir a mi sistema. Por lo tanto, mi ecuación diferencial tiene como solución x= A cos(ω t +δ) con ω ²= k m, donde k es la constante elástica del muelle y m es la masa del cuerpo unido al mismo. Dado que existe una relación entre la frecuencia y el periodo, dada por (4), podemos concluir que: ω ²= k m T =2 π m k (21) Esta expresión nos relaciona el periodo de oscilación del muelle, con su constante restauradora y la masa de la partícula asociada a él. 4.- Consideraciones energéticas del M.A.S. El trabajo para llevar un cuerpo desde el punto x hasta la posición de equilibrio, será pues: W = x 0 F dx= x 0 ( k x) dx= 1 2 k [ x² ] x 0 = 1 2 k x² (22) Diego Palacios Gómez. IES Nuestra Señora de la Victoria. Departamento de Física y Química 6

7 Pero, como las fuerzas restauradoras son del tipo de la ley de Hooke, sabemos que serán conservativas. En estos casos W = - ΔE P W = Δ E P =E P ( x) E P (0) (23) En el punto de equilibrio, la energía potencial será nula. Por lo que, igualando (22) y (23) E P (x)= 1 2 k x² =1 2 k A² cos² (ω t+δ) (24) Por lo tanto, la energía potencial de un oscilador armónico varía periódicamente desde un valor mínimo en el punto de equilibrio ( E Pmin =0 ) hasta un valor máximo en los extremos ( E Pmax = 1 2 k A² ) La energía mecánica total será: E=E p +E c = 1 2 k x² m v² (25) Dado que sabemos de (13) que v=±ω A 2 x 2, si sustituimos este valor en (25) E=E p +E c = 1 2 k x² m (ω A² x² )²= 1 2 k x² m ω ² (A² x² ) (26) Además, llegamos a la conclusión de que para que la ecuación diferencial se cumpliese tenía que darse la condición (21), es decir, ω ²= k m ω ²=k, que sustituyendo en (26) m E= 1 2 k x² k ( A² x² )= 1 2 k A² (27) La energía mecánica de un oscilador que realiza un M.A.S. permanece constante, y es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud del movimiento y a la constante recuperadora de la fuerza. En los extremos la energía potencial es máxima y la cinética nula; mientras en el punto de equilibrio es al revés; la energía potencial nula y la cinética máxima. Diego Palacios Gómez. IES Nuestra Señora de la Victoria. Departamento de Física y Química 7

8 5.- Un ejemplo de M.A.S. El péndulo simple Todo cuerpo capaz de oscilar alrededor de un eje horizontal, que no pase por su centro de gravedad, constituye un péndulo. Supongamos un cuerpo de masa m, suspendido de un punto fijo O mediante un hilo de masa despreciable. En reposo, el hilo se encontrará en posición vertical y el cuerpo ocupará la posición A de la figura, punto en el cual la fuerza peso, P = m g, se anula con la tensión del hilo, T Si desviamos el cuerpo un ángulo α respecto a su posición de equilibrio A y lo llevamos a la posición B, el peso P se descompone en una componente normal (F n ) a la trayectoria que describirá la masa en su movimiento y en una componente tangencial (F t ) a dicha trayectoria. La componente normal se anula con la tensión del hilo, mientras que la componente tangencial tiende a devolver el cuerpo a su posición de equilibrio A. Esta fuerza siempre es opuesta a la desviación respecto del equilibrio, por ello viene afectada de un signo negativo, y es la que da origen al movimiento del péndulo. De la figura anterior se deduce F t = m g senα (28) Combinando esta ecuación con la 2ª ley de Newton, se tiene F t = m g sen α=m a (29) Por trigonometría llegamos a que senα= x L (30) donde L es la longitud del péndulo y x es la desviación a la que lo hemos sometido Sustituyendo (30) en (29) obtenemos: F =m a= m g x m g = L L x= k x (25) siendo k = m g L (31) Vemos que (25) es la expresión de una fuerza restauradora que da origen a un M.A.S. Podremos aplicarle todas las fórmulas que hemos encontrado para el M.A.S. En concreto, la expresión (21) T =2π m k =2π m m g =2π L g (32) L Esta expresión nos indica que el periodo de oscilación de un péndulo depende tan sólo de la longitud del mismo y del valor de la aceleración de la gravedad. Es independiente, por ejemplo, del ángulo de desviación (α) respecto a su posición de equilibrio. Si en esta expresión despejamos el valor de la aceleración de la gravedad obtenemos que: g= 4π ² L (28) T² Concluimos que podemos calcular el valor de la aceleración de la gravedad a partir de la medición del periodo de un péndulo simple y la longitud del mismo. Diego Palacios Gómez. IES Nuestra Señora de la Victoria. Departamento de Física y Química 8