1. Una onda sonora armónica tiene una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 100

Transcripción

1 ONDAS 1. Una onda sonora armónica tiene una frecuencia de 1 Hz y una amplitud de 100 Å. a) Calcular la longitud de onda; b) Escribir la ecuación de onda correspondiente. (1 Å = m; v sonido = 340 m/s) (junio 2000) a) Como v= λ f, entonces λ= v/f = 340 m. b) Calculamos ω= 2πf = 2π s -1, k= 2π/λ = π/170 m -1 y tomamos la fase inicial nula. Tomamos como ecuación de la onda armónica propagándose hacia +, y = A sen(ωt -kx) y, en este caso, y = 10-8 sen(2πt πx/170) (S.I.). 2. Dos corchos que flotan en la superficie del agua de un estanque son alcanzados por una onda que se produce en dicha superficie, tal que los sucesivos frentes de onda son rectas paralelas entre sí que avanzan perpendicularmente a la recta que une ambos corchos. Se observa que los corchos realizan 8 oscilaciones en 10 segundos, y que oscilan en oposición de fase. Sabiendo que la distancia entre los corchos es 80 cm y que ésta es la menor distancia entre puntos que oscilan en oposición de fase, calcular la velocidad de propagación de la onda en el agua. (Septiembre 2002) Al oscilar en oposición de fase, los dos puntos están separados por media longitud de onda, que será, entonces, λ = 1'6 m. La frecuencia será f= 8 oscilaciones / 10 s = 0'8 Hz, así que de v = λf tenemos v= 1'6 0'8 m/s = 1'28 m/s. 3. Dada la onda descrita por la ecuación y= 0'20 sen[π(20x +100t)] escrita en unidades del sistema internacional, calcular: a) La amplitud, longitud de onda, periodo, frecuencia angular, frecuencia lineal, velocidad y sentido de propagación de la onda. b) La velocidad transversal de un punto situado a 0'30 m del origen cuando t= 5' s. Interpretar físicamente el resultado. (junio 2003) Ecuación de una onda armónica que se propaga hacia - : y= A sen(ωt+kx). Entonces la amplitud vale A= 0'20 m, la frecuencia angular ω= 100π s -1 y entonces de ω= 2πf tenemos que f= 50 Hz, y el periodo es T = 1/f = 0'02 s. El número de ondas k= 20π m -1 y la longitud de onda λ= 2π/k = 0'1 m. La velocidad de propagación es v= ω/k =5 m/s. La velocidad de oscilación de los puntos alcanzados por la onda es v y = dy =20 cos 100 t 20 x m/s dt

2 Entonces v y (x= 0'3 m, t= 0'005 s)= 0 m/s, es decir, el punto está instantáneamente en reposo (en un extremo de su trayectoria de oscilación). 4. Sea una cuerda tensa muy larga. Hacemos que uno de los extremos (O) realice un movimiento armónico simple en una dirección perpendicular a la cuerda, de amplitud A= 0'3 m y frecuencia f=2 Hz, de forma que la perturbación se propaga a lo largo de la cuerda con una velocidad de 5 m/s. Sabiendo que en el instante inicial la elongación del punto O es nula: a) Escribir la ecuación de onda; b) Hallar la elongación y velocidad transversal de un punto P situado a 10 m de 0,4 segundos después de iniciado el movimiento. Interpretar el resultado. (septiembre 2003) a) Tomamos como ecuación la de una onda avanzando hacia + : y(x,t)= A sen(ωt -kx +φ 0 ). De v= λf, tenemos que λ= 5/2 m= 2'5 m. Entonces k= 2π/λ=4π/5 m -1. Como ω= 2πf, entonces ω= 4π s -1. Según el enunciado, y(0,0)= A sen φ 0 =0, entonces φ 0 vale 0 ó π. El enunciado no permite decidir cuál de los dos valores es el correcto, así que tomaremos φ 0 =0. Entonces la ecuación de onda es: y(x,t)= 0'3 sen(4πt -4π/5 x) (S.I.). b) y(10 m,0'4 s)= -0'285 m. Como la velocidad de oscilación es v y = dy/dt, nos queda v y = 1'2π cos(4πt -4π/5 x), así que v y (10 m, 0'4 s)= 1'16 m/s. 5. La distancia entre los extremos de una cuerda de una guitarra es 66 cm. Si la frecuencia fundamental del sonido que emite cuando se pulsa es 440 Hz, calcular: a) La longitud de onda de la onda estacionaria generada en la cuerda. b) La velocidad de propagación de la onda en la cuerda. (junio 2004) La frecuencia fundamental en una cuerda sujeta por los dos extremos es f= v/2l, donde v es la velocidad de propagación de la onda incidente y L es la longitud de la cuerda. Entonces v= 2Lf= 580'8 m/s. De v= λf, obtenemos λ= v/f= 1'32 m. El último resultado lo podemos comprobar fácilmente, ya que para la frecuencia fundamental, λ= 2L. 6. Dos altavoces separados una distancia de 3'00 m están emitiendo sendas ondas acústicas idénticas y en fase. Consideremos una recta paralela a la que une los altavoces y que está a 8'00 m de la misma. Un oyente recorre dicha recta encontrando puntos en los que la intensidad del sonido es máxima y otros en los que es mínima. En concreto, en O encuentra un máximo y en P, situado a 0'350 m de O, encuentra el primer mínimo. Calcular la frecuencia de ondas emitidas. (v sonido = 340 m/s) (septiembre 2005)

3 La amplitud resultante será A r =2A cos k x 2, y para que sea nula cos k x 2 =0. De aquí, deducimos (para el primer nodo): k x 2 = 2. Entonces =2 x y f = v = v 2 x. Como x 1 = 1' m y x 2 = 1' m, entonces f= 1319 Hz. 7. Sea una cuerda tensa muy larga en la que sometemos a uno de sus extremos a un movimiento armónico simple en la dirección perpendicular a la cuerda, con una amplitud de 2 cm y una frecuencia de 5 Hz. Sabiendo que la velocidad de propagación de la onda por la cuerda es de 600 m/s, escribir su ecuación de onda. (junio 2006) y x,t =2 sen 10 t± 60 x 0 cm. (El signo depende del sentido de propagación de la onda). 8. La ecuación de una onda transversal que se propaga en una cuerda es y= 0'2 sen (400t-20x) estando x e y expresados en cm y t en segundos. Hallar: a) La amplitud, periodo, frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación. b) Posición y velocidad del punto situado en x=2 en el instante t=1. (junio 2007) A= 0'2 m; f= π/200 Hz; T= 200/π s; λ= π/10 m, v= 20 m/s. y(2 m, 1 s)= 0'0265 m; v y = -79'3 m/s. 9. Dibujar dos ondas transversales del mismo periodo y: a) De la misma amplitud pero una de

4 doble longitud de onda que la otra. b) De la misma longitud de onda, en fase, pero con las amplitudes en relación A l = 2A 2. c) De la misma amplitud y longitud de onda pero desfasadas π rad. Cuál es en este caso la amplitud de la onda superposición de las dos ondas? Razonar la respuesta. (junio 08) a) b) c) La onda resultante es nula, al estar las ondas incidentes en inversión de fase. 10. Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación: y(x,t) = 0,4sen(100πt - 0,5π x+ π/2) expresada en el S. l. de unidades. Calcular:

5 a) La longitud de onda y la velocidad de propagación. b) La velocidad de vibración de una partícula de la cuerda situada en x = 2m en el instante t = 0,5s c) La diferencia de fase de dos puntos de la cuerda separados 50cm. d) El instante en que un punto situado a 1 m del origen alcanza por primera vez velocidad nula. (junio 2008) a) λ= 2π/k = 2π/0'5π m= 4 m. v= ω/k = 100π / 0'5π m/s = 200 m/s. b) v y (x,t)= 40π cos(100πt -0'5πx +π/2). v y (2 m, 0'5 s)= 0 m/s. c) ΔΦ= k Δx=0'5π 2 = π. Están en inversión de fase. d) v y (1 m,t)= 40π cos(100πt -0'5π +π/2) = 40π cos(100πt)=0 100πt = ±π/2 + 2πk, con k número entero. El paso por primera vez (y tiempo positivo) da t= 1/200 s. 11. Una onda armónica sinusoidal se propaga en el sentido positivo del eje OX con una frecuencia de 100 Hz, una velocidad de 500 m/s y con una amplitud de 15 cm. Si en el instante inicial una partícula del medio situada en el origen ocupa la máxima elongación positiva: a)escribir la ecuación de onda. b) Determinar la diferencia de fase entre dos puntos del medio separados 2 m. c) Cuál es la máxima velocidad de vibración de las partículas del medio? (septiembre 2008) a) y(x,t)= 0'15 sen(200πt 2π/5 x + π/2) (S.I.) b) ΔΦ= k Δx = 2π/5 2= 4π/5. c) v máx = Aω= 0'15 2π 100 m/s= 30π m/s. 12. La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda tensa es y(x,t)= 0'05 sen (25πt -2πx) en unidades del sistema internacional. a) Explicar qué tipo de onda es y cuáles son su amplitud, su frecuencia y la velocidad de propagación. b) Representar gráficamente la forma de la onda en el instante inicial en 0 x 1 m. c) Calcular el instante en que un punto situado a 30 cm del origen alcanza por primera vez velocidad nula. (septiembre 2009) a) Es una onda armónica que se propaga en sentido positivo. La ecuación general es y(x,t)= A sen(ωt-kx), así que la amplitud es A= 0'05 m, la frecuencia angular ω= 25π s -1, la frecuencia f= ω/2π = 12'5 Hz, el numero de ondas k= 2π m -1 y la velocidad de propagación v= ω/k= 12'5 m/s. b) y(x, t=0) = 0'05 sen(-2πx) c) La velocidad de oscilación es v(x,t)= dy/dt = 1'25π cos(25πt-2πx) (m/s).

6 De v(0'3 m, t)= 0 obtenemos que cos(25πt-0'6π)= 0 y 25πt-0'6π= π/2 + nπ siendo n un número entero. Si el punto debe tener velocidad nula por primera vez, entonces n=0 y t= 0'044 s. 13. En un extremo de una cuerda tensa horizontal de 5 m, se provoca un movimiento oscilatorio armónico perpendicular a la dirección de la cuerda, cuya elongación es de 8 cm cuando han transcurrido 0'5 s desde su comienzo. Se observa que la onda producida tarda en llegar al otro extremo 2 s y que la distancia entre dos crestas sucesivas es de 1'5 m. a) Determinar la frecuencia, longitud de onda y amplitud del movimiento ondulatorio. b) Calcular la velocidad de un punto situado a 1'5 m del origen de la onda al cabo de 0'6 s de iniciado el movimiento ondulatorio. c) Hallar el desfase entre dos puntos separados 2 m. (Dar los resultados en unidades S.I.) (junio 2010) a) v= 5m 2s =2' 5m/s ; =1 ' 5m ; v= f f = 2' 5 1' 5 Hz= 5 3 Hz ; El enunciado es un poco ambiguo, pero vamos a suponer que en el instante inicial, el extremo de la cuerda está en +A. Si la ecuación de la onda es y= A sen t kx 0, tenemos que A= A sen 0 y 0 = 2. Como =2 f = 10 3 s 1 escribir y= A sen 10 3 t 4 3 x 2. y k = 2 = 4 3 m 1 Entonces y 0m,0' 5 s =0' 08m= A sen m= 1 2 A, así que A=0'16 m. podemos b) y=0 ' 16sen 10 3 t 4 3 x 2 v y = 8 15 cos 10 3 t 4 3 x 2 S.I. v y 1 ' 5 m,0 ' 6 s = 8 15 cos =0 m/ s (está en el otro extremo de la oscilación). c) La fase de la onda es = 10 3 t 4 3 x 2 instante determinado es = 2 1 = 4 3 x= 4 3 2=8 3, y la diferencia de fase entre dos puntos en un. 14. La ecuación de una onda armónica que se propaga en una cuerda es, expresada en el S.I. de unidades: y x,t =0,5 sen 0,1 t x 3. Determinar: a) La velocidad de propagación de la onda, la longitud de onda y el periodo. b) La velocidad transversal de un punto de la cuerda situado en x= 2 cm en el instante t=10 s. c) La aceleración máxima del punto anterior en el movimiento de oscilación. (julio 2010)

7 a) =0,1 s 1 T= 2 =20 Hz ; k= m 1 = 2 k =2 m ; v= k =0'1 m/s. b) v y 2m,10 s =0' 5 0' 1 cos 0' /3 m/ s= 0' 025 m/s= 0' 0785 m/s. c) a máx = 2 A= 0 ' 1 0 ' 5 m/s 2 =0 '0493 m /s La cuerda de una guitarra vibra de acuerdo con la ecuación y x,t =0 ' 01sen 10 x cos 200 t, expresada en el Sistema Internacional. a) Indicar de qué tipo de onda se trata y calcular la amplitud y la velocidad de propagación de las ondas en la cuerda que han originado esa onda. b) Determinar la amplitud de la oscilación de la partícula situada en x=0'25 m y su velocidad transversal cuando t= 1'5 s. Explicar el resultado obtenido. (julio 2011) solución: a) A r =2A=0'01 m A=5 mm ; v= k = m/s=20 m /s. b) A r x =0 ' 01sen 10 x A r x=0' 25 m =0' 01 m. v y x, t = 2 sen 10 x sen 200 t v y 0 ' 25 m,1 ' 5 s = m/ s=0 m/ s. El punto es un antinodo (vientre) y está en ese instante en el punto de máxima elongación positiva. 16. La ecuación de una onda que se propaga en una cuerda es y= 0'01 sen (2t-3x), estando x e y expresados en metros y t en segundos. a) Cuál es el periodo, la longitud de onda y la velocidad de propagación? b) En t= 1 s, cuál es el desplazamiento y la velocidad de vibración del punto x= 10 cm? c) Cuál es la diferencia de fase entre dos puntos separados 5 cm? (junio 2012) a) =2 s 1 T= 2 = Hz ; k =3 m 1 = 2 k = 2 3 m=2 '09 m ; v= k =0' 667 m /s. b) y x=0' 1m,t=1 s =0' 01 sen 2 0' 3 m=9' m. v y x,t =0' 02cos 2t 3x m/s v y 0' 1m,1s = 2' m/ s. c) =2t 3 x ; = 2 1 =3 x=3 0 ' 05=0 ' 15.