Propagación de Ondas en Medios Continuos

Transcripción

1 Propagación de Ondas en Medios Continuos FÍSICA I, Dpto. Física - UNS Las ondas están relacionadas con muchísimos fenómenos cotidianos y no tan cotidianos. Están por todos sitios a nuestro alrededor: El sonido La luz La radio y los teléfonos móviles Las olas del mar y los tsunamis Las ondas sísmicas de un terremoto Ondas en cuerdas Ondas electromagnéticas Avalanchas, etc. Pero.. 1

2 3 Qué es una Onda? Las ondas son disturbios que viajan desde una fuente hasta lugares distantes donde detectores pueden o no pueden ser perturbados. Una onda es una perturbación repetida (periódica en el espacio y el tiempo) que transporta energía sin transportar materia; siendo la perturbación vibraciones de una partícula. Las partículas no se desplazan, sino que vibran en su posición de equilibrio. Viaja a través de la materia o el espacio. 4 Pulso Es una perturbación individual que se propaga a través del medio Cada partícula está en reposo hasta que llega a ella el impulso sólo un punto del medio está en movimiento en un momento dado Se mueve en la dirección de la transferencia de energía

3 5 Tren de Ondas Sucesión de pulsos Perturbación continua que se propaga Todas las partículas del medio están en movimiento en dirección relativa al pulso Su producción requiere un suministro continuo de energía al centro emisor 6 Clasificaciones de una ONDA DE ACUERDO A LA CONDICION DE FRONTERA VIAJERAS ESTACIONARIAS DE ACUERDO AL MEDIO EN QUE SE PROPAGAN MECANICAS ELECTROMAGNETICAS GRAVITACIONALES CLASIFICACION RELA CION ENTRE DIRECCION DE LA PROPAGACION Y LA VIBRACION LONGITUDINALES TRANSVERSALES SUPERFICIALES DE ACUERDO A LA DIRECCION DE PROPAGACION UNIDIMENSIONAL BIDIMENSIONAL TRIDIMENSIONAL 3

4 7 Clasificación en función del medio Ondas mecánicas: Necesitan un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no eiste transporte neto de materia a través del medio. Gradualmente pierden energía. 8 Clasificación en función del medio Ondas electromagnéticas: se propagan por el espacio sin necesidad de un medio pudiendo, por tanto, propagarse en el vacío. (Las ondas electromagnéticas son producidas por las oscilaciones de un campo eléctrico en relación con un campo magnético asociado.) 4

5 9 Clasificación en función del medio Ondas gravitacionales: De acuerdo con la visión actual de la interacción gravitatoria, la masa y la energía curvan el espaciotiempo. Cuando un objeto se mueve aceleradamente, la curvatura o deformación del espacio-tiempo viaja a la velocidad de la luz, y esta deformación viajera es lo que se denomina onda gravitacional. Las ondas gravitacionales se propagan en el espacio a la velocidad de la luz, análogamente a las ondas electromagnéticas. 10 Clases de Onda Onda Transversal: El medio se mueve en dirección perpendicular al movimiento de la onda. Vibración Propagación Onda Longitudinal: El medio se mueve en dirección paralela al movimiento de la onda. Vibración Propagación Se le conoce, además, como onda de compresión. 5

6 11 Clases de Onda Algunas ondas transversales, las ondas electromagnéticas, pueden propagarse en el vacío. Sin embargo, las ondas longitudinales se propagan solo en medios materiales. Onda de Superficie: La vibración es circular Las olas son una combinación de movimientos longitudinal y transversal 1 Descripción matemática La función de ondas es la descripción matemática del modo en que la onda se propaga en el espacio () y el tiempo (t). Sea una función y (que podría representar a cualquier magnitud física) y f ( ) donde f representa la forma de la onda (perfil). Si se sustituye por - 0 se obtiene la función y f ( 0 ) que tendría la misma forma que la función original pero aparecería desplazada hacia la derecha una cantidad 0. De la misma forma la siguiente función y f ( + 0 ) ( ) y f + 0 corresponde a la función original desplazada hacia la izquierda una cantidad 0 y y f ( ) y f ( 0 ) La epresión matemática de la onda describe una onda viajera si está presente el grupo ( ± v t). Esta es una condición necesaria. (El término onda viajera se usa para enfatizar que nos referimos a ondas que se propagan en un medio, caso distinto del de las ondas estacionarias que se considerarán después). 6

7 13 Descripción matemática Ahora bien si se tiene que 0 varía con el tiempo y es igual a 0 vt y f ( vt) se obtiene que representa a una curva viajera que se mueve hacia la derecha con velocidad v, que se llama velocidad de fase. Del mismo modo y f ( + vt) representa a una curva viajera que se mueve hacia la izquierda con velocidad v. y v y v v v v v y f ( vt) función de onda: y f ( ± vt) y f ( + vt) 14 Ejemplo Pulso viajero Ecuación de onda y ( v t) donde e y están en m, t en s, v 0.50 m/s Gráfica de y en función del tiempo (instantánea) El pulso se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) a razón de v 1,0 t 10 t 5 y (m) t 0 0,8 Cada perfil indica la forma del pulso para el tiempo señalado. 0,6 0,4 0, 0, (m) 7

8 15 Ejemplo Onda armónica viajera y cos ( t) Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido positivo del eje X) con una velocidad v donde, y están en m, t en s y v 1 m/s; con A 1 m, π m y T π s 1, y (m) 1,0 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8-1,0 t 0 t 1 t -1, (m) 16 Ecuación de onda Deduccion ecuacion de onda en una cuerda: La fuerza resultante en la dirección y es: F y Fsenθ B Fsenθ A F ( senθ B senθ A ) siendo F T la tensión de la cuerda Para ángulos pequeños se cumple: F y F ( tanθ B tanθ A ) tanθ Δy y siendo Δ 0 : tanθ Δ ## F y F % y & # ( % y & & % ( ( $ $ ' $ ' ' De la da. Ley de Newton: $ F y ma y µ Δ y ' & ) % t ( µ: masa por unidad de longitud B A De aquí obtenemos: µ F ( ) B ( y ) A y y t Por lo tanto O llamando Δ µ y F t y v F µ 1 y v t y y t y v 8

9 17 Ecuación de onda La solución de esta ecuación es y(,t) f ( ± vt) y(,t) f 1 ( vt) + f ( vt) Es fácil demostrar que cualquiera de ellas satisface la ecuación de onda. Por ejemplo, consideremos y(,t) f ( vt) f (α) Derivando respecto a y a t se obtiene ( ) dy d dy dα d vt y' dα d d dy dt dy dα d vt y' dα dt dt ( ) y'(1) d y d y'' y'( v) d y dt (+v )y'' que cumple d y dt d y v d 18 Ondas Mecánicas Periódicas Un objeto sometido a MAS puede causar el disturbio y el medio puede ser una cuerda, cable o cordel bajo tensión. Movimiento de la onda Cresta Valle Amplitud A El MAS del resorte-masa generan una onda sinusoidal en la cuerda. Cada partícula de la cuerda ehibe el mismo movimiento armónico del resorte-masa; la amplitud de la onda es la amplitud de este movimiento. 9

10 19 Ondas Armónicas o Senoidales? Se dice que una onda es armónica si la forma de onda f es una función seno o coseno Onda armónica moviéndose hacia la derecha y Función de onda π y Acos v t o π y Asin ( ) ( v t) Podemos elegir cualquiera de las dos formas añadiendo una fase inicial ϕ # y Acos% π 0 al argumento de la función ( v t & ) +ϕ 0 ( $ ' lo que significa que elegimos el inicio de tiempos a nuestra conveniencia. es una distancia Por ejemplo: Si la onda alcanza un máimo en t 0 y elegimos escribir su ecuación en forma coseno, entonces ϕ 0 0 y nos queda y Acos π ( v t ) y Qué hay que hacer para escribir la misma onda usando la ecuación para el seno? # y A sin% π ( v t & Respuesta: ) + π / ( ϕ 0 π / $ ' Esto describe eactamente la misma onda Perfil de onda en t 0 Recordatorio: sin ( φ + π / ) sinφ cos( π / ) + cosφ sin( π / ) cosφ 0 Ondas Armónicas o Senoidales y y t # ( ) cos% π ( v t) + π 0 $ & ( ' y depende sólo del tiempo 0 0 Una cosa más Siempre que una onda armónica se propaga en un medio, cada punto del mismo describe un movimiento armónico. Recordatorio: la función seno es periódica, verificando que f ( t) f ( t + T) Periodo Cresta La posición más alta con respecto a la posición de equilibrio se llama CRESTA. Valle Posición de equilibrio La posición más baja con respecto a la posición de equilibrio se llama VALLE. 10

11 1 Parámetros de una Onda Senoidal " Función de la onda armónica y A sin$ π # Desplazamiento Espacio Tiempo " y A sin$ π # ± v t Amplitud ( ) +ϕ 0 Velocidad de fase % ' & Fase inicial ( ± v t % ) +ϕ 0 ' & Fase A mayor amplitud, mayor energía propagada. Desplazamiento y: valor actual de la magnitud y, dependiente de espacio () y tiempo (t). Su valor máimo es la Amplitud. Unidad en SI: m Amplitud A: Máima elongación de la onda desde su punto de equilibrio. Unidad en SI: m Longitud de onda : distancia entre dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase es π. Es decir, es el espacio que recorre una onda desde el inicio hasta el final de una oscilación. Unidad en SI: m Período T: tiempo que emplea la onda en completar un ciclo (π rad): T 1/f. Unidad en SI: s Frecuencia f: número de oscilaciones que efectúa cualquier punto de la onda por unidad de tiempo: f 1/T. Unidad en SI: s -1 Hz (Hertz) (ciclos/s) Parámetros de una Onda Senoidal Frecuencia angular ω: número de oscilaciones en un intervalo de fase de π radianes: ω π f. Unidad en SI: rad/s Velocidad de transmisión o fase v: velocidad a la que se propaga la onda: v f. Unidad en SI: m/s Recordemos que v /t, por lo que vt, de donde podemos deducir que v T Si tenemos en cuenta que T 1/f, podremos decir que v / f, o lo que es lo mismo: v f. Número de ondas k: número de ondas contenido en una vuelta completa (π rad): k π /. Unidad en SI: rad/m o m -1 A veces se le llama número de onda angular o circular. La velocidad de fase se puede epresar como: v ω/k En función del número de ondas y de la frecuencia angular, la ecuación de la onda se escribe como y A cos k ±ω t +δ donde δ ϕ 0 ( ) 11

12 3 Parámetros de una Onda Senoidal y Período de la onda y Longitud de onda t Amplitud de onda y Longitud de onda A y( 1,t 0 ) Las ondas armónicas ehiben doble periodicidad Puntos en fase y y( 0,t 1 ) T T espacio tiempo 1 t t 1 t t t -A y(,t 0 ) Periodo y( 0,t ) Perfil de onda para t t 0 Foto instantánea Dependencia temporal en 0 Gráfica posición / tiempo 4 Velocidad y Aceleración Para una onda armónica entonces ( k ±ω +δ ) y Acos t y y t ±ω ( ) A sin k ±ω t +δ ( ) Velocidad máima: y ( ω) A ma y y t ω A cos k ±ω t +δ ( ) ω A y Aceleración máima: y ma ω A 1

13 5 Ejemplo Onda Armónica viajera Onda armónica y cos( t) donde, y están en m, t en s ( ) Comparando con y A cos k ±ω t +δ A 1m k 1 m -1 ω 1 rad/s δ 0 Esta onda se mueve hacia la derecha (sentido + eje X) con una velocidad de 1.0 m/s Entonces k -1 1m π π ω 1 rad/s T f s 1 T π ω 1rad/s v k 1 1m - π m T π s ( Hz) 1m/s 1, 1,0 y (m) 0,8 0,6 0,4 0, 0,0-0, -0,4-0,6-0,8 t 0 t 1 t O bien usando v T π m 1 m/s π m -1,0-1, (m) 6 Ondas en una cuerda Velocidad de onda en cuerdas Ondas transversales La velocidad de ondas mecánicas transversales depende eclusivamente de las propiedades del medio por la cual viaja la onda. Si la tensión en la cuerda es F y su masa por unidad de longitud es µ, la velocidad de la onda es: F r Fsenθ Fθ m µ Δs µ Rθ F r mv R Fθ F µ v µ Rθ v R v v F µ F µ 13

14 7 Velocidad de las Ondas Mecánicas Las ondas mecánicas necesitan un medio material para propagarse. Su velocidad de propagación depende de las propiedades del medio. Fluidos v B ρ ρ densidad del fluido (kg/m 3 ) B presión variación de volumen P ΔV / V Módulo de compresibilidad Velocidad en gases en función de la temperatura v Aire: M kg mol -1 γ R T M -1 R J K -1 mol Sólidos v Y ρ ρ densidad del sólido (kg/m 3 ) fuerza por unidad de área F / A Y alargamiento relativo ΔL / L Módulo de Young Cuerda tensa v T µ µ densidad lineal de masa (kg/m) T tension de la cuerda (N) 8 Consideraciones energéticas Consideremos una onda transversal en una cuerda. Cada sección de la cuerda (masa Δm) oscila hacia arriba y abajo debido a la energía transportada por la onda. Según la onda se propaga en la cuerda, cada punto de la misma describe un movimiento armónico. Δm A A partir de la ecuación de onda, obtenemos para el elemento Δm en la posición fija 0 0 y A sen( k 0 ±ω t +δ) La frecuencia angular de ese movimiento es ω. Cualquier segmento de la cuerda se mueve verticalmente y cada uno tiene la misma energía total. 14

15 9 Consideraciones energéticas Para cada Δm tendremos que la energía potencial elástica es: Usando la relación ω k/m è φ 1 mω y Para una masa Δm: φ 1 Δmω y φ 1 ky Dado que Δm µ Δ: φ 1 µδω y Luego, si Δ è d: dφ 1 µω y d Sustituyendo y sen(k ωt) Integrando en t 0 sobre una longitud de onda: è dφ 1 µω A sen ( k ωt)d 1 φ µω A sen k d 1 µω A 1 4k 1 senk 0 [ ] µω A Similarmente se puede calcular la energía cinética: T 1 4 µω A La energía total es: Donde ω A es la (Velocidad máima) E T +φ 1 µω A La potencia trasmitida en un periodo T es: P E T 1 µω A 1 T µω A T 1 µω A v Unidades: Jules Unidades: Jules/s watio La energía y la potencia transmitidas son proporcionales al cuadrado de la amplitud de la onda y de la frecuencia angular. 30 Superposición de Ondas Cuando dos o más ondas coinciden en el tiempo y en el espacio (se encuentran), las mismas se superponen provocando que la función de onda resultante sea la suma vectorial de las funciones de onda individuales (Principio de superposición de ondas). y 1 (,t) f 1 ( vt) y(,t) y 1 (,t) + y (,t) f 1 ( vt) + f ( + vt) y (,t) f ( + vt) Interferencia Constructiva Interferencia Destructiva 15

16 31 Interferencia Interferencia de ondas en el agua: Dos fuentes F 1 y F que vibran con la misma frecuencia y amplitud, y además en fase (cuando F 1 produce un valle; F también produce un valle) Las ondas al propagarse se superponen generando figuras de interferencia, se forman debido a que la ondas se superponen destructivamente (líneas divergentes) Por que se produce la interferencia? 3 Interferencia Ø Interferencias de ondas de igual frecuencia. Supongamos dos fuentes de ondas armónicas F 1 y F que emiten ondas en fase (δ 01 δ 0 0), con idéntica frecuencia y número de onda y de amplitudes y 01 y y 0. F 1 r 1 P r F Las epresiones de las dos ondas en un punto P que dista r 1 y r de las fuentes respectivas es y 1 y 01 sen( ωt kr 1 ) y y 0 sen( ωt kr. ) La superposición de ambas ondas en P es y y 1 + y 1 y 01 sen( ωt kr 1 ) + y 0 sen( ωt kr ) y O y 0 δ kr y 0 kr 1 y 01 Esto corresponde a la superposición de dos MAS de la misma frecuencia y con una diferencia de fase igual a δ ( ωt kr ) ( ωt kr ) kr kr k( r ) 1 1 r1 con lo que la amplitud del movimiento resultante en P es y 0 y 01 + y 0 + y 01 y 0 cosk ( r r 1 ) 16

17 33 Interferencia La amplitud es máima e igual a y 0 y 01 + y 0 cuando cosk ( r r 1 ) 1 π ( r r 1) nπ r r 1 n Interferencia Constructiva donde n 0, ±1, ±, ±3,... La amplitud es mínima e igual a y 0 y 01 - y 0 cuando cosk ( r r 1 ) 1 π r r ( n +1) ( 1) ( n +1)π r r 1 Interferencia Destructiva donde n 0, ±1, ±, ±3,... Interferencia Constructiva Interferencia Destructiva F 1 F 1 El valor de la amplitud del movimiento resultante (o el tipo de interferencia) depende de la diferencia r - r 1. F F 34 Ondas Estacionarias Una onda estacionaria es el resultado de la superposición (interferencia) de dos ondas armónicas de igual amplitud, frecuencias y número de onda que se propagan en sentidos opuestos a través de un medio. A 0 -A Pero una onda estacionaria NO ES UNA ONDA VIAJERA, porque su ecuación no contiene términos de la forma (k - ω t). 17

18 Ondas Estacionarias 35 Supongamos que tenemos dos de estas ondas propagándose en el eje X y que tienen por epresión, y 1 y 0 sen ωt + k ( ) y y 0 sen( ωt k) La superposición de ambas ondas viene dada por y y 1 + y y 0 sen( ωt + k) + y 0 sen( ωt k) y 0 sen( ωt + k) + sen( ωt k) "# $ % Y teniendo en cuenta la siguiente propiedad trigonométrica que establece se obtiene que A B A + B sena + senb cos sen y y 1 + y y 0 cosk senωt Onda Estacionaria La onda estacionaria no es una función dependiente de ±vt que es la característica de las ondas viajeras. Esta epresión indica que cualquier partícula del medio situada en un punto dado oscila con un MAS de amplitud y 0r y 0 cosk La amplitud de la onda estacionaria es por tanto una función de la distancia. Adquiere su valor máimo que es igual a y cuando cosk ±1 n 0r y 0 Vientres o antinodos Adquiere su valor mínimo que es igual a y 0r 0 cuando cosk 0 ( n +1) 4 Nodos 36 Ondas Estacionarias Cuando los nodos y antinodos se alinean no hay interferencia destructiva y se establece la condición de estado estacionario. Dependiendo de la forma y tamaño del medio en el que se transmite la onda, se observan diferentes patrones de onda estacionarias como función de la energía. A Antinodos N Nodos La cuerda esta fija en ambos etremos La d i s t a n c i a e n t r e d o s v i e n t r e s consecutivos (d AA ) o entre dos nodos consecutivos (d NN ) es Aplicación más importante: acústica d AA d NN y la distancia entre un vientre y un nodo consecutivo (d AN ) es d AN 4 Longitud de Onda para las ondas estacionarias en una cuerda: n L (n 1,,3,...) n Frecuencias para las ondas estacionarias en una cuerda: v f n n nf1 ( n 1,,3,...) L 18

19 37 Ondas Estacionarias Puede cualquier par de ondas incidentes y reflejadas dar lugar a ondas estacionarias en una cuerda, independientemente de su frecuencia y número de ondas? y y + y Asin ksinωt 1 NO! Como los etremos de la cuerda están fijos, la amplitud de vibración de tales puntos debe ser nula. Si L es la longitud de la cuerda, las siguientes condiciones se deben verificar en todo momento: y Asin 0 0 kl nπ n 1,,3,... 0 y Asin kl 0 L π L nπ L n La igualdad L n/ significa que sólo aparecerán ondas estacionarias cuando la longitud de la cuerda L sea un múltiplo entero de media longitud de onda. A partir de la relación entre frecuencia y v v L f n n n longitud de onda f v/, donde v es la fn L n n velocidad de propagación, Para una longitud L dada las ondas estacionarias sólo aparecen si la frecuencia cumple que n T f n L T L µ n n 1,, 3... Siendo la velocidad v n µ Ejemplo: 4 o armónico n 4 n+1 nodos n antinodos Nodo Nod0 Nodo Nodo Nodo Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo Anti-nodo n 1 f 1 frecuencia fundamental n > 1 f n armónicos superiores 38 Modulación en amplitud. Velocidad de grupo Ø Superposición de ondas de distinta frecuencia. Pulsaciones. Supongamos dos ondas armónicas de igual amplitud que se propagan a lo largo del eje X, y que tienen frecuencias angulares ω 1 y ω y números de onda k 1 y k próimos y 1 y 0 sen( ω 1 t k 1 ) y y 0 sen( ω t k ) La superposición de ambas ondas viene dada por y y + y 1 y 0 sen( ω t k ) + y 0 sen( ω 1 t k 1 ) Teniendo en cuenta la propiedad trigonométrica se obtiene que Δω ω ω1 donde ω 1 y y 1 + y y 0 cos( Δωt Δk)sen( ωt k) Δk k k 1 m ( ω + ω ) ω, km ( k1 + k ), k sena + senb cos A B sen A + B La amplitud de la onda resultante no es constante y viene dada por la epresión y 0 cos( Δωt Δk) 19

20 39 Modulación en amplitud. Velocidad de grupo y 1, y La onda resultante está formada por grupos o paquetes de ondas individuales separados por puntos de amplitud nula. 1 3 y 1 v g v 3 La envolvente de la amplitud se desplaza a lo largo del eje X con una velocidad llamada velocidad de grupo v g, que viene dada por v g Δω Δk En el límite Δω dω y Δk dk la velocidad de grupo viene epresada como v g dω dk La velocidad de grupo v g y la velocidad de fase v (v ω/k) están relacionadas por ( ) v g dω dk d kv dk v g v + k dv dk Si el medio es dispersivo dv dk 0 v g v Si el medio es no dispersivo dv dk 0 v g v 40 Efecto DOPPLER Consiste en que la frecuencia de la onda emitida por una fuente tiene diferente valor para un receptor que esté en movimiento relativo respecto a la fuente. Es decir, si fuente de la onda y receptor se mueven uno respecto de otro, la frecuencia que medirá el receptor no es la misma que la originada en la fuente. Si el movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la frecuencia es menor. Sucesivas ondas emitidas en intervalos de tiempo iguales Las sucesivas ondas alcanzan al receptor en intervalos de tiempo menores que el intervalo con el que son emitidas por la fuente, luego la frecuencia que percibe el receptor es mayor que la frecuencia de emisión. Fuente y receptor en reposo Fuente moviéndose hacia el receptor Fuente alejándose del receptor 0

21 Efecto DOPPLER 41 Fuente en movimiento y Receptor en reposo f! r Subíndice r (receptor) u s f s Subíndice s (fuente) f r f r v v ± u Alejamiento: signo + Acercamiento: signo - v velocidad de la onda f s frecuencia de la fuente f r frecuencia que mide el receptor u s velocidad de la fuente s f s Ejemplo: Un tren pasa por una estación a una velocidad de 90 km por hora. La frecuencia del silbato del tren es 130 Hz. Qué frecuencia percibirá una persona en el andén de la estación cuando el tren se acerca y cuando el tren se aleja? Suponemos que la velocidad del sonido es de 340 m/s. Acercándose Alejándose f r v 90 km/h 5 m/s f r! Hz Hz Efecto DOPPLER Fuente en reposo y Receptor en movimiento f r v obs ± v v obs f s Acercamiento: signo + Alejamiento: signo - v obs velocidad del observador f s frecuencia de la fuente f r frecuencia que mide el receptor v velocidad del sonido Fuente y Receptor en movimiento; medio en reposo f r v ± v obs v u s f s Los signos deben ser respetados: Si en el numerador se suma, en el denominador se resta ; y viceversa. v obs velocidad del observador f s frecuencia de la fuente f r frecuencia que mide el receptor u s velocidad de la fuente v velocidad del sonido 1