Movimiento armónico simple

Transcripción

1 Física Grado en Biotecnología Movimiento armónico simple ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AGRÓNOMOS Dpto. Física y Mecánica de la Ingeniería Agroforestal Prof. Mª Victoria Carbonell

2 Programa Generalidades: movimiento armónico simple Estudio cinemático Estudio dinámico Ecuación diferencial del movimiento Representaciones gráficas Energía cinética, potencial y mecánica

3 Generalidades Una partícula tiene movimiento periódico cuando se repite o toma los mismos valores en intervalos iguales de tiempo. (PERIODO: T). Es decir, la partícula vuelve a ocupar la posición anterior, con la velocidad y aceleración anteriores. ) (... ) 2 ( ) ( ) ( nt t x T t x T t x t x Posición ) (... ) 2 ( ) ( ) ( nt t x T t x T t x t x Velocidad ) (... ) 2 ( ) ( ) ( nt t x T t x T t x t x Aceleración

4 Generalidades movimiento periódico Al menor intervalo de tiempo para el cual el movimiento se repite se le denomina periodo T. Entre los movimientos periódicos, uno de los más importantes es el movimiento armónico simple.

5 Generalidades Movimiento aperiódico: cuando la configuración del sistema que realiza el movimiento NO se repite, no toma los mismos valores en intervalos iguales de tiempo cuando no se repite. Amortiguados: los parámetros se hacen cada vez más pequeños Amplificados: algún parámetro aumenta con el tiempo movimiento aperiódico amortiguado

6 Ejemplos

7 Ejemplos

8 Ejemplos

9 Ejemplo: movimiento armónico simple Mas: movimiento de una partícula sobre una recta oscilando en torno a una posición de equilibrio estable. Ejemplo: movimiento de una masa unida a un muelle sobre una mesa sin rozamiento. Posición de Equilibrio

10 movimiento armónico simple Cuando el cuerpo está sobre su posición de equilibrio, que tomamos como origen de coordenadas, el muelle no ejerce ninguna fuerza sobre el cuerpo. Si lo desplazamos una distancia x de su posición de equilibrio, el muelle ejerce una fuerza sobre el cuerpo. Y si lo soltamos, éste comienza a oscilar a un lado y a otro de su posición de equilibrio estable, realizando un m.a.s. Al tiempo que tarda en realizar una oscilación completa se le llama periodo.

11 mas, vibración, oscilación

12 Estudio cinemático Es el estudio del movimiento en sí mismo sin tener en cuenta las causas que lo produce, o sea, la fuerza Desde este punto de vista, el m.a.s. se define como la proyección de un movimiento circular uniforme sobre uno cualquiera de los diámetros de la circunferencia.

13 x Acos( wt ) 0 Movimiento armónico simple Cuando una partícula se mueve con trayectoria circular uniforme (velocidad constante), su componente x describe un movimiento armónico simple. x: elongación del mas A: amplitud w: frecuencia angular wt : fase 0 0 : faseinicial Periodo : T Frecuencia : ( rad / s) 2 w : ( s) 1 ( Hz) T

14 Movimiento armónico simple x Acos( wt ) 0

15 Movimiento armónico simple A

16 x Representación gráfica: elongación del mas x Acos( wt 0) Asen( wt 0 ) 2 t x A cos0 sen 1 2 x t x 0 cos 2 sen 0 x t xa 3 cos sen 1 2

17 Representación gráfica: velocidad y aceleración del mas Posición (x): x Acos( wt ) 0 Velocidad (v): x Aws en( wt ) 0 Aceleración (a) 2 x Aw wt 0 cos( )

18 Estudio dinámico Es el estudio del movimiento teniendo en cuenta las causas que lo produce. Desde el punto de vista dinámico, el m.a.s. es el movimiento de un punto material sometido a la acción de una fuerza elástica o recuperadora dirigida siempre hacia la posición de equilibrio estable. Esta fuerza es proporcional a la distancia al punto de equilibrio estable y de signo contrario. Existe equivalencia entre el movimiento circular uniforme, el de un péndulo y el movimiento de un muelle separado de su posición de equilibrio.

19 Masa suspendida de un muelle l 0 p. e. e x est x est x

20 Planteamiento del problema l 0 x m K Notación: m : masa k :constante rigidez elástica l 0 : longitud inicial x : elongación Fuerzas que actúan sobre la masa en dirección vertical Fuerza de inercia Fuerza elástica mx kx Aplicando la segunda Ley de Newton: F ma; kx mx mx kx 0

21 Mas:Vibración libres sin amortiguamiento Ecuación diferencial del movimiento mx kx 0 Solución general: x Acos( wt ) 0 Movimiento armónico A, : Ctes 0 La frecuencia angular w no depende de la amplitud A w k m Sea cual sea la frecuencia, el tiempo requerido para dar una oscilación completa T no depende de la amplitud A

22 A : amplitud w : frecuencia 0 : fase inicial A, : ctes w 0 Vibraciones libres sin amortiguamiento x Acos( wt ) w T k ( rad / s) m 2 () s w Frecuencia natural, frecuencia propia o autofrecuencia (ANGULAR). También se representa como: w n Al aumentar la rigidez elástica k, (resortes duros o rígidos) aumenta su frecuencia natural. Análogamente, al disminuir la rigidez elástica k, (resortes blandos o muy elásticos) disminuye su frecuencia natural. Al aumentar la masa m, disminuye la frecuencia natural. Análogamente, al disminuir la masa m, aumenta la frecuencia natural. 0

23 Determinación de las constantes x Acos( wt 0) x Awsen( wt ) Vibraciones libres sin amortiguamiento 0 t 0 xo Acos0 x Awsen o 0 A: amplitud : faseinicial 0

24 Principio Conservación de la Energía Se cumple: Principio Conservación de la Energía Total Principio Conservación de la Energía Mecánica mx kx 0 m 2 x 2 x k 2 2 Cte E.cinética Potencial elástico Cte ka : E. Mecánica E. Total

25 Principio Conservación de la Energía La fuerza que causa el m.a.s. es una fuerza conservativa, que deriva del potencial U: Como la fuerza es conservativa se cumple el teorema de la conservación de la energía mecánica, E mec =E c +U=cte

26 Principio Conservación de la Energía Mecánica y como entonces,

27 Principio de Conservación de la energía A: amplitud k: constante elástica U: potencial elástico E c E c : energía cinética

28 Principio de Conservación de la energía Posición X=A X=0 X=-A Potencial U=1/2kA 2 U=0 U=1/2kA 2 E. cinética E c =0 E c =1/2kA 2 E c =0 E c E c media 1 2 E total

29 Principio de Conservación de la energía

30 Fuerza entre átomos La fuerza ejercida por un muelle es semejante a la ejercida por un átomo sobre otro en una molécula. Para pequeños desplazamientos del equilibrio, la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento.

31 Vibraciones forzadas Para mantener un sistema oscilando, es necesario suministrar alguna forma de energía al sistema. Vibración forzada Una forma de suministrar energía al sistema es mover el soporte hacia arriba y hacia abajo. Si esos desplazamientos se realizan con movimiento armónico simple, de pequeña amplitud y frecuencia W el sistema empezará a oscilar y finalmente alcanzará el estado estacionario. F F coswt 0

32 Vibraciones forzadas. Notación frecuencias w n W k w Frecuencia natural m Frecuencia de la fuerza exterior (fuerza armónica)

33 x Batimiento w W W n La amplitud es una función también armónica Vibraciones forzadas sin amortiguamiento Se produce cuando la frecuencia de la fuerza exterior (W) y la frecuencia natural (w n ) son próximas Fw W 2 0 n x sen t senwnt k W amplitud

34 Resonancia w W ; W 0 n La amplitud es una función creciente con el tiempo Vibraciones forzadas sin amortiguamiento Se produce cuando la frecuencia de la fuerza exterior (w) y la frecuencia natural (w n ) se igualan x x amplitud F0 w 2k n t senw t n t

35 Resonancia El viento turbulento produjo ondas estacionarias en el puente colgante de que unía Tacoma y Narrows produciendo su derrumbamiento el 7-nov-1940, cuatro meses después de su inauguración.

36 Movimiento ondulatorio Las ondas transportan energía a través del espacio sin transportar materia. Este proceso tiene lugar mediante una perturbación del medio. Característica: la velocidad de propagación depende de las propiedades del medio e independiente del movimiento de la fuente de las ondas. Ejemplo: la velocidad del sonido de la bocina de un coche depende de las propiedades del aire y no del movimiento del coche,

37 Frentes de onda circulares alejándose de un foco puntual en una cubeta de ondas

38 Ejemplos de ondas La oscilación del listón (arriba y abajo) produce frentes de ondas que son líneas rectas

39 Ejemplos de ondas sonoras

40 Ejemplos de ondas Ondas de choque producidas por un avión supersónico Ondas de proa producidas por un buque

41 Las cuerdas vibran cuando son golpeadas por los macillos, que se controlan mediante las teclas. Las cuerdas más largas (izquierda) vibran con frecuencias menores que las más cortas (derecha)

42 Superposición de ondas

43 Ejemplos y problemas de vibraciones mecánicas

44 Ejemplo resortes Equilibrio Dos masas idénticas (m) sujetas a muelles iguales (k) descansan sobre una superficie sin rozamiento, un muelle se estira 10 cm y el otro 5 cm. Si se dejan en libertad al mismo tiempo. Cuál de los dos alcanza antes el equilibrio? Aplicación: k= 200 N/m; m=0,5 kg

45 Ejemplo resortes: solución En el movimiento armónico simple, la frecuencia y el periodo son independientes de la amplitud. Como K y m son los mismos para ambos sistemas, los periodos son iguales. Por tanto, los dos sistemas alcanzan la posición de equilibrio al mismo tiempo. El segundo sistema tiene que recorrer una distancia doble a la del primero para alcanzar el equilibrio, pero también posee una velocidad media doble. k wn rad / s m 2 T 0,314 s w n 1 3,185 Hz T Sólo se diferencian en las velocidades x A w 10 m / s 1 1 x A w 20 m / s 2 2 n n

46 Ejemplo resortes Sistema 2 Sistema 1 Los dos sistemas oscilan con la misma frecuencia y el mismo periodo. El sistema 2, al tener que recorrer el doble de amplitud, lo hace al doble de velocidad.

47 Ejemplo resortes Por tratarse de vibraciones libres sin amortiguamiento, en ambos sistemas, se cumple: Principio de conservación de la Energía Total Principio de conservación de la Energía Mecánica. En cada sistema, la energía total comunicada inicialmente al sistema se mantiene constante aunque hay un intercambio energético (cinética-potencial) en el transcurso del movimiento. La energía del sistema 2 es mayor que la energía del sistema E1 ka E ka k (2 A ) E E 2 1

48 Bibliografía ALONSO, M. FINN, E. (1995). Física. Addison Wesley Iberoamericana. Capítulo 10 CRAWFORD, J. (1977). Ondas, Berkeley Physics Course. Ed. Reverté Capítulos 1 y 3 LAFITA, F.; MATA, H. (1968). Introducción a la teoría de vibraciones mecánicas. Ed. Labor LEA, S.M.; BURKE, J.R. (1998). Física.La naturaleza de las cosas. Capítulo 14 SERWAY, R.A. (1992). Física. Ed. Mc Graw Hill. Capítulo 13 TIPLER, P.A. (1999). Física para la ciencia y la tecnología. 4ª edición. Ed. Reverté. Capítulos 14 y 15 TIPLER, P.A.; MOSCA, G. (2005). Física para la ciencia y la tecnología. 5ª edición. Ed. Reverté Videos: El Universo mecánico. Movimiento armónico, Resonancia