GUIA N o 1: ONDAS Física II

Transcripción

1 GUIA N o 1: ONDAS Física II Primer Cuatrimestre 2013 Docentes: Ing. Daniel Valdivia Dr. Alejandro Gronoskis Lic. Maria Ines Auliel Universidad Nacional de Tres de febrero Depto de Ingeniería Sede Caseros II Buenos Aires, Argentina

2 GUÍA 1: ONDAS 7 de abril de 2013

3 Movimientos Periódicos Problema 1 Una masa al extremo de un muelle oscila con una amplitud de 5 cm y una frecuencia de 1 Hz (ciclos por undo). Para t = 0, la masa esta en la posición de equilibrio (x = 0). 1. Hallar las ecuaciones posibles que describen la posición de la masa en función del tiempo, en la forma x = Acos(wt + α), dando lo valores numéricos de A, w y α. 2. Determinar los valores de x, dx dt y dx2 dt 2 para t= 8 3. Resp: 1) A = 5 cm, w = 2π rad, α = ±π/2. 2)x = 5 dx 2 3 cm, cm = 5π dt y dx2 dt 2 = 10π2 3 cm 2 Problema 2 Un punto se mueve en una circunferencia con una celeridad constante de 50 cm. El periodo de una vuelta completa es 6. Para t = 0 la recta que va del punto al centro de la circunferencia forma un ángulo de 30 o con el eje x. 1. Hallar las ecuaciones posibles que describen la posición de la masa en función del tiempo, en la forma x = Acos(wt + α), dando lo valores numéricos de A, w y α. 2. Determinar los valores de x, dx dt y dx2 para t=2. dt2 Resp: 1) A = 150 π Problema 3 La ecuación de una cierta onda es: rad cm, w = π/3, α = π/6. 2)x = 75 3 π cm, dx cm = 25 dt y dx2 dt 2 = 25π 3 A (x, t) = 10sin (2π (2x 100t)) donde x se mide en metros y t se mide en. Hallar la amplitud, longitud de onda, frecuencia y velocidad de propagación. Dibujar la onda mostrando estos parámetros. Resp:10m,0.5m, 100Hz, 50 m Superposición de Movimientos Periódicos Problema 4 Una partícula esta sometida simultáneamente a tres movimientos armónicos simples de la misma frecuencia y en la dirección x. Si las amplitudes son 0,25, 0,20 y 0,15 mm, respectivamente, y la diferencia de fase entre el primero y el undo es de 45 o, y entre el undo y tercero es 30 o, hallar la amplitud de desplazamiento resultante y su fase respecto al primer componente (el de amplitud 0,25 mm). Resp:A = 0, 51mm, fase = 33, 4 o. cm 2 2

4 Problema 5 Dos vibraciones sobre la misma recta vienen descriptas por las ecuaciones: y 1 = A cos (10πt) y 2 = A cos (12πt) Hallar el periodo de batido y dibujar un esquema cuidadoso de la perturbación resultante durante un periodo de pulsación. Resp: 2. Problema 6 Hallar la frecuencia del movimiento combinado en cada una de las siguientes vibraciones: 1. sin (2πt ) + cos (2πt) 2. sin (12πt) + cos (13πt π/4) 3. sin (3t) cos (πt) Resp: 1)1 Hz. 2)6, 25 Hz. 3)0, 48Hz. Vibraciones libres de los sistemas físicos Problema 7 Se cuelga de un muelle un objeto de 1 g de masa y se le deja oscilar. Para t = 0, el desplazamiento era de 43, 785 cm y la aceleración era de 1, 7514 cm 2. Cual es la constante del muelle? Resp: 0, 04 g 2. Problema 8 Una masa m cuelga de un muelle uniforme de constante k. 1. Cual es el periodo de las oscilaciones del sistema? 2. Cual seria el periodo si la masa m se colgase de modo que: a) Estuviese sujeta a dos muelles idénticos situados uno junto al otro? b) Estuviese sujeta al extremo inferior de dos muelles idénticos conectados uno a continuación del otro? Resp: 1) T 0 = 2π m k 2) a) T 0 2 b) 2T 0. 3

5 Problema 9 Una varilla uniforme de longitud L se sujeta por un clavo a un poste de modo que dos tercios de su longitud están por debajo del clavo. Cual es el periodo de las oscilaciones pequeñas de la varilla? Resp: T 0 = 2π 2L 3g. Problema 10 Un objeto de 0,5 Kg de masa se cuelga del extremo de un alambre de acero de 2 m de longitud y 0,5 mm de diámetro (modulo de Young = N m 2 ). Cual es el alargamiento del alambre?. Luego se levanta el objeto una distancia h, de modo que el alambre deja de estar tirante, y después se deja caer de modo que el alambre recibe un tirón súbito. La carga de la rotura es de 1, N m 2. Cual es el valor posible de h que resiste el alambre sin romperse? Resp: 0, 25mm. Problema 11 Una varilla metálica de 0,5 m de larga tiene una sección recta rectangular de 2 mm 2 de área. 1. Puesta vertical la varilla y teniendo colgada una masa de 60 Kg en su extremo inferior, se produce un alargamiento de 0,25 mm. Cual es el modulo de Young ( N m 2 ) del material de la varilla? 2. Se sujeta firmemente la varilla por su parte inferior, como se muestra en la figure, y en su parte superior se aplica una fuerza F en la dirección y, como esta indicado (paralela a la arista de longitud b). El resultado es una flexión elástica dado por y = 4L3 F Y ab3. Si se suprime la fuerza F y se sujeta a la parte superior de la varilla una masa m, mucho mayor que la masa de la varilla, Cual es el cociente de las frecuencias de vibración en las direcciones y y x (es decir, paralelas a las aristas de longitud b y a? Resp: 1) γ = N m 2. 2) b/a. 4

6 Problema 12 Una barra de aluminio de 200 mm de longitud y con una sección cuadrada de 10 mm de lado se somete a una fuerza de tracción de N y experimenta un alargamiento de 0,34 mm. Suponiendo que el comportamiento de la barra es totalmente elástico, calcular el módulo de elasticidad del aluminio. Resp: γ = 7, N m 2. Problema 13 Estimar la velocidad de propagación de las ondas elásticas en una barra de acero. Resp: 5, m Problema 14 Calcular observando la figura el modulo de Young, siendo 400 mm la longitud inicial de la barra y su área 25 mm 2. Calcular la longitud de la barra cuando la fuerza es 115 N y la fuerza para la cual se produce la rotura de la barra. Estirammiento unitario Tensión Punto P pa Punto E pa Punto R pa Resp: γ = Pa, l = 400, 0092 mm, F = 6,5kN. Problema 15 Comprobar que x = A exp αt cos(wt) es una posible solución de la ecuación: Hallar α y w en función de γ y w 0. Resp: γ = 2α, w 2 0 = w2 + α 2. dx 2 dt 2 + γ dx dt + w2 0x = 0 Problema 16 Se cuelga un objeto de masa 0,2 Kg de un muelle cuya constante es de 80 N m. Se somete el objeto a una fuerza resistente dada por bv, siendo v su velocidad en m. Plantear la ecuación diferencial del movimiento en el caso de oscilaciones libres del sistema. Si la frecuencia de amortiguamiento es de 5

7 3 2 de la frecuencia sin amortiguamiento. Cual es el valor de la constante b? Resp: 3,46 Kg Vibraciones forzadas Problema 17 Si en el problema 16, b es igual a 4 N. m y se somete a una fuerza impulsora dada por F (t) = F 0sin(wt), siendo F 0 = 2N y w = 30 1, en el estado estacionario, determinar la amplitud de la oscilación forzada. Resp: 1, 28 cm. Problema 18 Consideramos un sistema con una fuerza amortiguadora que sufre unas oscilaciones forzadas con frecuencia angular w. 1. Determinar la energía cinética instantánea del sistema. 2. Determinar la energía potencial instantánea del sistema. 3. Determinar el cociente entre la energía cinética media y la energía potencial media. Cual es la energía total del sistema en estas condiciones? 4. Para que valores de w son iguales las energías media potencial y cinética? Resp: 1) 0,5mw 2 A 2 (sin(wt + δ)) 2 donde A = F 2 0 m 2 ((w 2 0 w2 ) 2 +( b m w)2 ), tan δ = bw m(w 2 0 w2 ). 2) 0,5kA 2 (cos(wt + δ)) 2. 3) w2. 4) w = w w Problema 19 Un oscilador amortiguado forzado de masa m tiene un desplazamiento variable con tiempo dado por x = Asin(wt). La fuerza resistente es bv. A partir de esta información calcular cuanto trabajo se realiza contra la fuerza resistente durante un ciclo de oscilación. Resp: ba2 w 2 T 2. Problema 20 Consideramos un oscilador amortiguado de masa 0,2 Kg, b = 4 N. m y k = 80 N m. Si la fuerza impulsora es F = F 0 cos(wt) siendo F 0 = 2N y w = Determinar los valores de A y δ de la respuesta descripta por x = Acos(wt δ). Resp: A = 1, 28 cm, δ = 130 o. 6

8 Osciladores Acoplados y modos normales Problema 21 Se acoplan dos osciladores idénticos sin amortiguar A y B, de masa m y constantes k b y k a, respectivamente, se acoplan juntos mediante un muelle de constante k c. Hallar las frecuencias normales w y w y describir los modos normales de oscilación si kc 2 = k a.k b. k Resp: w 1 = a+k b +k c k m, w 2 = c m. Problema 22 Se conectan dos objetos A y B, cada uno de ellos a una masa m, mediante muelles, ún se ve en la figura. El muelle de acoplo tiene una constante K c y los otros dos una constante igual a K 0. Si se sujeta B, A vibra a una frecuencia de 1,81 1 La frecuencia ν 1 del modo normal inferior es 1,14 1 Encontrar las ecuaciones de movimiento para A y B. Determinar las frecuencias w 1 y w 2 de los modos normales. Cuando B esta sujeto, calcular la frecuencia angular de A. Resp: w 1 = 2k c m + w2 0, w k 2 = w 0, w a = c m + w2 0. Modos normales de sistemas continuos. Introducción al análisis de Fourier Problema 23 Una cuerda uniforme de 2,5 m de longitud y 0,01 Kg de masa se somete a una tension de 10 N. Cual es la frecuencia de su modo fundamental? Resp: 10 Hz. Problema 24 Una cuerda de longitud L y masa total M se estira mediante una tension T. Cuales son las frecuencias de los tres modos normales inferiores de oscilación de la cuerda cuando estas son transversales? Resp:w n = nπ T LM. Problema 25 Una cuerda estirada de masa m, longitud l y tension T se ve impulsada por dos fuentes una en cada extremo. Ambas fuentes tienen la misma frecuencia ν y una amplitud A pero están desfasadas 180 o entre si. Determinar el valor mas pequeño posible de w consistente con las vibraciones estacionarias de una cuerda. T Resp: ν = π ml. 7

9 Problema 26 Se sujeta una varilla uniforme en el centro dejando ambos extremos libres. Calcular las frecuencias naturales de la varilla en la vibración longitudinal. Calcular la longitud de onda y la cantidad de nodos en el modo n. Resp: 2L n 1/2. Problema 27 Calcular la energía total de vibración de una cuerda de longitud L fija en los extremos, que oscila en el modo n con una amplitud A. La tensión de la cuerda es T y la masa es M. Resp: T A2 n 2 π 2 sin 2 (wt) 4L. Problema 28 Una cuerda de 4 m de longitud se fija por sus extremos y se le hace vibrar. La rapidez de las ondas sobre la cuerda es de 20 m/s. Hallar la frecuencia del armónico fundamental. Resp: 2, 5 Hz. Problema 29 La longitud de la cuerda de una guitarra es 60 cm y vibra a 245 Hz, en su modo fundamental. (a) Cual es la rapidez de las ondas transversales sobre la cuerda? (b) Si la densidad lineal es de kg/m, Cual es la tensión? Resp:a) 294 m, b) 86, 6N. Problema 30 Una cuerda con una densidad de masa kg/m se encuentra sometida a una tension de 360 N y está fija en ambos extremos. Una de sus frecuencias de resonancia es 375 Hz. La siguiente frecuencia más alta es 450 Hz. Cuál es la frecuencia de resonancia fundamental? Resp:75 Hz. Ondas progresivas Problema 31 Comprobar que las siguientes expresiones son equivalentes: 1. y = A sin( 2π(x vt) λ ) 2. y = A sin(2π(kx νt)) 3. y = A sin(2π(( x λ ) ( t T ))) 4. y = A (sinw(t x v )) 5. y = A Im(exp(2πj(kx νt))) 8

10 Problema 32 La ecuación de onda transversal que se mueve a los largo de una cuerda viene dada por: y = 0,3 sin(π(0,5x 50t)) en donde y y x están en cm y t en. Hallar la amplitud, la longitud de onda, el numero de onda, la frecuencia, el periodo y la velocidad de la onda. Hallar la velocidad transversal máxima de cualquier partícula en la cuerda. Resp: 0, 3m, 4m, π/2 1 m m, 25 Hz, 0, 04, 100, v max = 15π m Problema 33 Una onda de frecuencia 20 1 tiene una velocidad de 80 m 1. Determinar la distancia a la que están dos puntos cuyos desplazamientos están separados 30 o en fase. 2. En un punto dado, cual es la diferencia de fase entre dos desplazamientos que se producen en tiempos separados 0,01? Resp: 1) 0, 33m, 2) 72 o. Problema 34 Se observa que un pulso necesita 0,1 para recorrer de un extremo a otro una cuerda larga. La tension de la cuerda se obtiene haciéndola pasar sobre una polea y colgando un peso que tiene 100 veces la masa de la misma. Determinar la longitud de la cuerda. Determinar la ecuación del tercer modo normal. Resp: 10m. y = A sin( 3πx 10 ) cos(30πt). Problema 35 Se superponen en un medio dos ondas de la siguiente forma: y 1 = A sin(5x 10t) y 2 = A sin(4x 9t) Escribir la ecuación para la perturbación combinada. Resp: 2A cos(π( π 2 x π 2 t)) sin(π( π 2 x π 2 t)). 9