Ejercicio integrador - Respuestas

Transcripción

1 Ejercicio integrador - Capítulo 3 1 En qué punto del movimiento de un péndulo simple la tensión de la cuerda es mayor? a) Cuando se detiene momentáneamente antes de regresar. b) En el punto más bajo de su trayectoria. c) Cuando está subiendo por la trayectoria. d) Cuando está bajando por la trayectoria. Correcto. Si la amplitud de un péndulo simple crece, su periodo: a) Aumenta. b) Disminuye. c) Permanece igual. Correcto. d) Falta información para contestar. 3 Un péndulo simple tiene un periodo T en la Tierra. Si se lleva a la Luna (gluna = gtierra / 6) su periodo: a) Aumenta. Correcto. b) Disminuye. 1 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

2 c) Permanece igual. d) Falta información para contestar. 4 En el MAS, la aceleración del oscilador va dirigida en: a) Formando un ángulo de 45º con el desplazamiento. b) El mismo sentido que el desplazamiento. c) Dirección perpendicular al desplazamiento. d) Sentido opuesto al desplazamiento. Correcto. 5 Un objeto que realiza un MAS con amplitud A sobre el eje X alcanza su aceleración máxima en: a) x = ± A b) x = ± A/ Correcto. c) x = ± A/4 d) x = ± A/4 6 Un objeto se mueve sobre el eje X en un MAS con amplitud A. La energía potencial del oscilador es máxima en: a) x = A Correcto. b) x = 0 c) x = A/ D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

3 d) x = ± A/4 7 Un objeto cuelga atado a un resorte. El objeto se desplaza hacia abajo, alargando el resorte, y luego se suelta. El objeto experimenta su velocidad máxima en: a) En su punto de máxima compresión. b) Al pasar por su punto de equilibrio. Correcto. c) En los extremos del movimiento. d) A la mitad de su amplitud. 8 Un objeto cuelga atado a un resorte. El objeto se desplaza hacia abajo, alargando el resorte, y luego se suelta. El objeto experimenta su velocidad mínima en: a) En su punto de máxima compresión b) Al pasar por su punto de equilibrio c) A la mitad de su amplitud Correcto. d) En los extremos del movimiento 9 En un movimiento armónico simple con amplitud A la distancia total recorrida en un periodo es: a) 4A Correcto. b) 3A c) A d) A 3 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

4 10 Un objeto se mueve sobre el eje X en un MAS con amplitud A. La energía cinética del oscilador es máxima en: a) x = b) x = 0 Correcto. c) x = A/ d) x = A/4 11 Un péndulo simple oscila en un plano vertical con ángulo de amplitud Su movimiento será aproximadamente armónico simple si: a) es menor a 10º Correcto. b) está entre 10º y 45º c) es mayor a 45º d) No importa el valor del ángulo, el movimiento del péndulo es siempre un MAS 1 Pregunta: Un péndulo simple de longitud L y masa M oscila en un plano vertical con periodo T. Si su longitud cambia al doble entonces su nuevo periodo de oscilación es: a) T b) T c) T/ Correcto. d) T 4 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

5 13 Un péndulo simple de longitud L y masa M oscila en un plano vertical con periodo T. Si su masa cambia al doble entonces su nuevo periodo de oscilación es: a) T b) T Correcto. c) T/ d) 4T 14 Un péndulo simple tiene longitud L y masa M. Una varilla delgada rígida de la misma masa y misma longitud se cuelga de uno de sus extremos y se pone a oscilar en un plano vertical. Entonces el periodo de oscilación de la varilla: a) Es igual al del péndulo simple b) Es mayor que la del péndulo simple c) Es menor que la del péndulo simple Correcto. d) Falta información para contestar. 15 Un objeto que se mueve en un MAS con amplitud A tiene una energía mecánica total E. Si su amplitud se duplica la energía del oscilador es ahora: a) E/4 b) E/ c) E d) 4E Correcto. 5 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

6 16 Un bloque de masa M, atado a un resorte de constante k, se mueve en un MAS sobre una superficie horizontal sin fricción con frecuencia f. Si se pone ahora a oscilar amarrado a un resorte de constante k su frecuencia es: a) f b) Correcto. c) f/ d) f 17 Un bloque de masa M, atado a un resorte de constante k, se mueve en un MAS sobre una superficie horizontal sin fricción. Si su amplitud se duplica, su rapidez máxima: a) No cambia b) Se duplica Correcto. c) Se cuadruplica d) Se divide a la mitad 18 En un movimiento de oscilación amortiguado, la amplitud y la energía del movimiento: a) No cambian con el tiempo b) Disminuyen linealmente con el tiempo c) Disminuyen exponencialmente con el tiempo d) Aumentan exponencialmente con el tiempo Correcto. 6 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

7 19 Un objeto realiza un movimiento de oscilación amortiguado, por lo que: a) Aumenta el periodo y disminuye la frecuencia b) Disminuye el periodo y aumenta la frecuencia c) Disminuyen ambas cantidades físicas d) Aumentan ambas cantidades físicas Correcto. 0. Respuesta: a) A = 4 m, = rad, f = 1.5 Hz, T = s; b) x = 4 m, v = 0 m/s, a = m/s ; c) x =.531 m, v = m/s, a= 08.8 m/s ; d) v max = 37.7 m/s, en x = 0 ; a max = m/s, en x = 4 m. a) 7 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

8 b) c) d) 8 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

9 e) 1. Respuesta: a) x = cos (3t sen (3t) b) v max = cm/s c) a max = cm/s a) b) c) v máx A 3() 18.85cm /seg a máx A (3) () 177.7cm /seg 9 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

10 . Respuesta: T M k k M, R k Si el disco se rota en el sentido de las manecillas del reloj, los dos resortes se comprimen. El peso no produce torca, ya que el disco está en una superficie horizontal. Los resortes comprimidos obligan al sistema a regresar a su posición original. Para aplicar la segunda ley de Newton en su forma rotacional, necesitamos calcular las torcas aplicadas sobre el disco. s k Las torcas producidas por los resortes van en el mismo sentido. Así: Fr sen ksr sen 90 0 Ya que los resortes obedecen la ley de Hooke F =- ks. k M, R De la trigonometría, sabemos que: s R y sen 90 0 cos Sustituyendo: kr cos I I d dt s R Considerando desplazamientos angulares pequeños, sabemos que las relaciones siguientes son válidas: sen cos 1 10 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

11 Por otro lado, el momento de inercia de un disco sólido respecto de un eje perpendicular que pasa por su centro de masa (Manual de Física I) es MR /. Sustituyendo todo lo anterior, obtenemos, finalmente ( claro, hay que hacer los pasos intermedios!): 4k d M dt d 4k 0 dt M Es la ecuación de un movimiento armónico simple. De acuerdo con esto, el periodo de oscilación del sistema (para desplazamientos angulares pequeños) es: T M k 3. Respuesta: Como el sistema oscila en un plano vertical, los pesos de los objetos juegan un papel fundamental en este problema ya que, junto con el resorte, producen las torcas que regresan al sistema a su posición original. La figura siguiente muestra el estado inicial del sistema y cuando se realizó el desplazamiento angular: L M Mg k ks M, R Mg 11 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

12 Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior y recordando que el sistema se mueve en un plano vertical, obtenemos: L Mg L R ks L R I d sen sen 90 0 dt L+R Nuevamente: 90 0 s L R y sen cos Por lo tanto: s L Mg L R k L R I d sen cos dt Aplicando la condición de desplazamiento angular pequeño, se cumplen las relaciones: sen Resultando: d dt cos 1 kl R Mg 3 L R 0 I Que es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico simple. La frecuencia angular del oscilador puede obtenerse directamente: kl R Mg 3 L R I Siendo el momento de inercia igual a: I I disco I var illa 1 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

13 Donde, de acuerdo con el teorema de ejes paralelos: Es decir: I disco MR M L R I var illa ML 1 M L R I M L L R 3 Como consecuencia, la frecuencia angular de oscilación depende tanto de factores geométricos (el radio del disco, la longitud de la varilla, la distancia al punto de suspensión), como de la respuesta del resorte al estiramiento o compresión (a través de la constante k) y de los pesos de los objetos involucrados. 4. Respuesta: 1 cm. 5. Respuesta: 1.11 Hz. La aceleración máxima se da cuando a máx g (f ) A Despejando la frecuencia: 13 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

14 f Hz 6. Respuesta: 1.10 s Datos: m=5kg R=0.m De acuerdo con el teorema de ejes paralelos, el momento de inercia del sistema es: I mr mr 3mR La torca debido al peso es: mgrsen Sustituyendo en la segunda ley de Newton para rotaciones, y haciendo la aproximación a ángulos pequeños, tenemos: d dt mgr 0 3 mr 14 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

15 De donde: T g 3R (9.81) 3(0.) 1.1seg 7. Respuesta: T R g El momento de inercia del sistema de acuerdo con el teorema de ejes paralelos es: I mr mr mr La torca producida por el peso es: mgrsen Donde el signo menos indica que la rotación es en el sentido de las manecillas del reloj por la regla de la mano derecha. Sustituyendo la torca y el momento de inercia en la segunda ley de Newton para rotaciones, y haciendo la aproximación a ángulo pequeño, nos queda: d dt mgr mr 0 15 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

16 Por lo que: g R T T R g 8. Respuesta: T = [7L/1g] 1 /. El momento de inercia, de acuerdo con el teorema de ejes paralelos, es: I ML 1 M L 4 7ML 1(4) La torca debido al peso, es: Mg L 4 sen En la aproximación de ángulo pequeño y sustituyendo tanto la torca como el momento d de inercia en la segunda ley de Newton para rotaciones, se obtiene: dt 1g 7L 0 De donde: 16 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

17 T 7L 1g 9. Respuesta: 5.14 kg m. Datos: L=1m R=0.15m M=8kg T=1.5s La torca del peso de la esfera es: mgdsen y de la segunda ley de Newton para rotaciones, tenemos que: Donde d L R mgdsen I d dt d dt mgd d I dt mgd 0 d I dt 0 De aquí, podemos obtener la frecuencia angular y el periodo de oscilación de este sistema: mgd I T I mgd Despejando el momento de inercia y sustituyendo valores, se tiene: 17 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

18 I 8(9.81)(1 0.15) 1.5 I 5.14kg(m ) 30. Respuesta: a) 0.40 J b) 0.59 m/s. Datos: M = 3kg A = 0.08m a máx = 3.50m/s 31.Respuesta: a) A/() 1/ b) Cinética: 3/4, potencial: 1/4. 18 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

19 a) b) 19 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

20 3. Respuesta: a) a) J b) 0.0 J b) 33.Respuesta: x A 3 0 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

21 34.Respuesta: x(t) = 0.75m cos(t + /) Datos: rad/sec v 1.5m /sec 1 ka 1 mv Usando el hecho de que k m Tenemos que: A v m Así: x 0.75mcos(t / ) pues si t 0 cos( / ) 0 1 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

22 35.Respuesta: a).1 Hz b) 141 J c) 3 J d) 96.8 cm. Datos: m=5.13 kg k=9.88n/cm=988n/m x=0.535m v=-11. m/s f.1hz rad /sec b) 1 kx 1 988(0.535) 141.4Joules D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

23 c) 1 mv 1 (5.13)(11.) 31.75Joules d) 1 KA Joules De donde, despejando la amplitud: A (463.15) m 36.Respuesta: a) No se desliza b) 3.97 cm. Datos: A=0.01m T=0-8seg f N m g m a g a Por otro lado: k a máx A A g m m 1 pero k (m m 1 ) así A g gt () (0.8) (0.5)(9.81) () m Como 0.01m< m, los cuerpos no se mueven. 3 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

24 37.Respuesta: T R g E mgrcos 1 I de dt 0 mgrsen d d I dt dt 0 mgrsen I d dt Cancelando la velocidad angular, haciendo la aproximación de ángulos pequeños y arreglando términos: g R d dt 0 g R f Pero f=1/t, así que: T R g 4 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

25 38.Respuesta: T = [7L/1g] 1 / E 1 I Mg L L cos 4 de 0 I d dt dt Mg L L sen d 4 dt d con dt L y L L 4 4 De esta forma se obtiene: 0 d dt 1g 7L Así tenemos finalmente que: T = [7L/1g] 1 / 39.Respuesta: T = [ 3M / k ] 1 / 1 1 E I mv 1 MR v E R R de 3MR 0 dt 4 d k 0 dt 3M T 3M k 1 1 Mv ks 1 kr d kr dt 3MR 4 d dt kr 5 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

26 40.Respuesta: a) s b) J c) kg/s. Datos: m=kg A 0 =0.03m k= 400 N/m a) T k m 400 T 0.444seg b) c) E o 1 ka 1 (400)(0.03) 0.180Joules seg T Como: T m b b 44.4 b kg/seg 41.Respuesta: s 1. Datos: L=1m o =15 0 f =5.5 0 T=1000seg En este caso tenemos: o f e 1000 b m De donde: 6 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

27 15 5.5e 1000 b m así que: 15 b ln( m 5.5 ) seg 4.Respuesta: a) 3.53 s b) 6J. Datos: m=3kg k=400 N/m A o =0cm=0.0m b=1.17 kg/seg A f =10cm=0.10m a) En este caso, tenemos: A o A f e bt m De donde: 1.178t e (3) ln t t 3.53seg b) 1 ka o 1 400(0.0) 8Joules 1 ka f 1 400(0.10) Joules Así que 8Joules-Joules= 6Joules. 7 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

28 43.Respuesta: a) 70 J b). J a) La energía cinética está dada por b) Q E 70 0 E.J E E 44.Respuesta: b=.5 kg/seg. 1 35() 70Joules Datos: T=5 segundos m=0kg v=m/s Q=10 En este caso o =/5=1.6rad/seg, entonces: Q o m b b De donde b=.5 kg/seg. 45.Respuesta: 0. Q E E D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1

29 46.Respuesta: Sí. k o m rad /s 3 además T 6.98rad /s 0.9 como 6.98rad /s 9.13rad /s entonces hay amortiguamiento. 47.Respuesta: f=0.53 Hz. k m b 4m (0.00) 3.3rad/s De donde: f Hz 48.Respuesta: b=0.01 kg/s. b m t ln A o A f (0.050) ln kg/s Respuesta: t=0.11 segundos. 9 D. R. Instituto Tecnológico y de Estudios Supe r i o r e s d e M o n t e r r e y, M é x i c o 0 1