SISTEMAS DE MÚLTIPLES GRADOS DE LIBERTAD

Transcripción

1 UNIVERSIDAD AUÓNOMA DEL ESADO DE MÉXICO FACULAD DE INGENIERÍA MARZO 5 SISEMAS DE MÚLIPLES GRADOS DE LIBERAD ELABORADO POR ING. DAVID GUIÉRREZ CALZADA MARZO DE 5

2 ÍNDICE Introducción 3 Objetivos del tema 4 Aprendizajes previos 4 Desarrollo del tema 5 - Sistemas de varios grados de libertad 5 - Ejemplo 8 BIBLIOGRAFÍA 3 Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página

3 INRODUCCIÓN El presente documento contiene el desarrollo escrito del tema Sistemas de múltiples grados de libertad; tema que forma parte del tema, Dinámica Estructural, dentro del programa de estudio de la unidad de aprendizaje de Análisis Estructural. El alcance de este trabajo es mostrar como se modela un edificio de varios grados de libertad, la obtención de la ecuación dinámica y las frecuencias y modos de vibrar. El tiempo dedicado al desarrollo en el aula es de dos sesiones de dos horas cada una. Destinando una clase para la teoría fundamental y una clase para ejercicios. Cabe aclarar que en el desarrollo de los ejercicios se hace nuevamente referencia a la parte teórica fundamental. Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página 3

4 Objetivos del tema Los objetivos corresponden de manera general a los de la unidad, por lo que este tema cumple parcialmente a los mismos, ya que no está destinado el objetivo como uno específico, siendo: - Obtener la respuesta de sistemas dinámicos de varios grados de libertad, sometidos a diferentes tipos de excitaciones. Aprendizajes previos requeridos Al llegar a este tema el alumno ya debe haber adquirido los conceptos fundamentales de la respuesta de sistemas dinámicos de un grado de libertad, así como la obtención de espectros de respuesta. Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página 4

5 DESARROLLO DEL EMA Sistemas con varios grados de libertad Para realizar un análisis dinámico de un edificio, se puede idealizar por medio de un modelo de masas y resortes (Figura.) concentrando la masa en las losas de cada entrepiso, (al tener la mayor cantidad de peso concentrado en la losa en cada piso), además se considera a la losa como un diafragma infinitamente rígido, donde las masas sólo admiten traslaciones horizontales. En este modelo, únicamente las columnas aportan rigidez (siempre que la losa se pueda comportar como un diafragma rígido, en caso contrario se debe considerar la rigidez de la losa y de las trabes que aportan a la rigidez de entrepiso). Este modelo se conoce como edificio de cortante, donde no existen rotaciones de una sección horizontal, es decir, los giros en la parte superior de las columnas son nulos y que su deformación axial es despreciable. m n n m n n m i i m i k i+ i k i m m m m k k a (t) a (t) Figura.. Modelo de masas y resortes sin amortiguamiento Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página 5

6 Donde el número de niveles representa los grados de libertad en esa dirección, y los valores de x i representan los desplazamientos horizontales de cada masa. Obsérvese que en el modelo no existe amortiguamiento. Considerando un amortiguamiento de tipo viscoso (proporcional a la velocidad), se tienen un modelo que considera la fuerza inercial (de las masas), la fuerza restitutiva (del resorte) y la de amortiguamiento (Figura.). m n n c n k i+ (x i+-x i) Hi c i m i k k i i+ i mi (x i + a(t)) i m i k i+ k i c ix i m k i (x i -x i- ) c m k c k a (t) Figura.. Modelo de masas y resortes con amortiguamiento viscoso Planteando el equilibrio dinámico, se obtienen ecuaciones del tipo m i x + c i ( x i ) + ( k i + k i+ )x i k i+ x i+ k i x i = m i a( t) de forma matricial, para todo el sistema M!!x + C!x + K x = M a(t) { } donde { } es un vector columna con todos sus elementos iguales a la unidad. Las matrices se denotan entre corchetes [ ], mientras que los vectores con llaves {} o bien con una línea en la parte superior. Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página 6

7 M = m m m i m n K = k + k k k k + k 3 k 3 k 3 k i + k i+ k n Siendo [M] y [K] las matrices de masa y rigidez. Obsérvese que la matriz de rigideces está acoplada (tienen en algunos de sus elementos rigideces de diferentes entrepisos). Modelo de grados de libertad Considerando un modelo de dos grados de libertad y planteando su equilibro dinámico para cada una de las masas, sin considerar amortiguamiento, se tiene: m ( x + x s ) + c x ( ) + k ( x ) k ( x x ) = m ( x + x s ) + c x ( ) + k ( x x ) = En forma matricial { } M!!x + K x =!!x s M Se obtiene un arreglo de matrices cuadradas de [x], donde la matriz de masas tiene elementos en la diagonal, mientras que la de rigideces tiene elementos fuera de la diagonal. Se dice que las ecuaciones están acopladas. Para resolver este sistema de ecuaciones diferenciales es necesario realizar una transformación de coordenadas, mediante valores característicos, para poder diagonalizar a transformación x = Φ y!x = Φ!y!!x = Φ!!y [K], utilizando las siguientes ecuaciones de Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página 7

8 donde es la matriz modal, x es la coordenada de las masas y y son las coordenadas productos de las transformadas. Sustituyendo se obtiene M Φ!!y + K Φ y =!!x s M { } Premultipilicando por Φ Φ M Φ!!y + Φ K Φ y =!!x s Φ M { } Definiendo a y se tiene que M M K *!!y + K * = Φ * = Φ M K * y = Φ Φ Φ M { }!!x s Obteniéndose ecuaciones del tipo m * i y i + k * i y i = f * i donde las ecuaciones ya se encuentran desacopladas. Y la respuesta total del sistema se obtiene por medio de una superposición modal x = Φ y x = Φ y + Φ y donde Φ = Φ Φ Las funciones obtenidas no dependen del tiempo y corresponden con la suma de las máximas respuestas modales. Estas respuestas resultan conservadoras, puesto que considera que las máximas respuestas de todos los modos ocurren en el mismo instante de tiempo. Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página 8

9 Ejemplo Considere la siguiente figura. Calcule las frecuencias, periodos y formas de vibrar. W3= on K3= 35 on/cm W= on K= 5 on/cm W= 5 on K= 4 on/cm gravedad=98cm/s La matriz de masas y rigideces son: M = m m m 3 = ton.s / seg K = k + k k k k + k 3 k 3 k 3 k 3 = ton / cm Realizando K ω M =, y utilizando ω = φ queda como: K ω M = K φ M = 9.59φ φ φ = Por lo que el determinante: φ+ 8.7φ.69φ = Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página 9

10 Cuyas soluciones son (ordenando de menor a mayor): ω = rad seg ω = rad ω 3 seg = rad seg Ahora obtenemos las siguientes frecuencias circulares: ω = 6.3 rad seg ω = rad seg ω 3 = 8.57 rad seg Obteniéndose así los siguientes periodos con = π ω : =.9938seg =.358seg 3 =.seg Para calcular los modos de vibración, se sustituye cada uno de los valores de ω en la ecuación matricial ( K ω M )Φ =. Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página

11 Para el primer modo. Utilizando ω, se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones: ( ) ( K ω M )Φ = ( ) ( ) Φ, Φ, Φ 3, K ω ( M )Φ = Φ, Φ, Φ 3, = Φ, 5 Φ, 5 Φ, Φ, 35 Φ 3, 35 Φ, Φ 3, = Proponiendo un valor para φ, = (Recuerde que este sistema no tiene solución única, dado que el determinante de este sistema es cero, teniendo una infinidad de soluciones) se obtiene φ, =.67 y φ 3, =.5 Φ =.67.5 Para el segundo modo. Utilizando ω, se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones: ( ) ( K ω M )Φ = ( ) ( ) Φ, Φ, Φ 3, Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página

12 K ω ( M )Φ = Φ, Φ, Φ 3, = Φ, 5 Φ, 5 Φ, +.38 Φ, 35 Φ 3, 35 Φ, Φ 3, = Proponiendo un valor para φ, = (Recuerde que este sistema no tiene solución única, dado que el determinante de este sistema es cero, teniendo una infinidad de soluciones) se obtiene φ, =.85 y φ 3, =.88 Φ = Para el tercer modo. Utilizando ω 3, se llega al siguiente sistema homogéneo de ecuaciones: ( ) ( K ω 3 M )Φ 3 = ( 83.79) ( ) Φ,3 Φ,3 Φ 3,3 K ω ( M 3 )Φ 3 = Φ,3 Φ,3 Φ 3,3 = Φ,3 5 Φ,3 5 Φ, Φ,3 35 Φ 3,3 35 Φ, Φ 3,3 = Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página

13 Proponiendo un valor para φ,3 = (Recuerde que este sistema no tiene solución única, dado que el determinante de este sistema es cero, teniendo una infinidad de soluciones) se obtiene φ,3 =.68 y φ 3, =.6 Φ 3 =.68.6 Armando la matriz modal Φ = Dibujando las formas modales Modo.5.67 Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página 3

14 Modo Modo Obteniendo la matriz M Obteniendo la matriz K * = Φ M M * = * = Φ K Φ y Φ Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página 4

15 K * = BIBLIOGRAFÍA Bazán/Meli, R. (999). Diseño Sísmico de Edificios, Limusa Noriega Editores, México. D.F. Curiel, G. (). Dinámica Estructura Simplificada, México, D.F. Meli, R. (993). Diseño Estructural, Limusa Noriega Editores, México. D.F. Plan de estudios de la Licenciatura en Ingeniería Civil, plan F, 4, UAEM, México. Sáez, (). Estructuras III. Arquitectura de Sevilla., España Valdés, J. (4). Apuntes de la clase de Ingeniería sísmica, Maestría, UAEM, México. Sistemas de múltiples grados de libertad Ing. David G.C. Página 5