1. Elasticidad lineal

Transcripción

1 1. Elasticidad lineal 1.1. Descripción del problema El problema de esfuerzos en elasticidad lineal se plantea para un sólido que ocupa la región del espacio Ω con una frontera Γ (cf. figura 1). La posición de un punto cualquiera del sólido viene dada por un vector de posición x: x x = x (t) = y (1.1) z Sobre este sólido actúan: Fuerzas de cuerpo o de volumen, (g): fuerzas distribuidas sobre todo el volumen del sólido, e.g.: peso, atracción magnética, etc. g x g = g (x,t) = g y (1.2) Fuerzas de superficie, (t): fuerzas distribuidas sobre sectores de la frontera Γ T del solido, e.g.: fuerzas de presión, reacciones de vínculos, contacto, etc. t x t = t (x,t) = t y (1.3) Fuerzas y/o pares concentrados, (p): fuerzas o momentos aplicados en puntos particulares de la frontera del sólido. p x p = p (t) = p y (1.4) Producto de las acciones que actúan sobre el sólido, éste se deforma, por lo tanto un punto cualquiera del mismo experimenta un desplazamiento u. Así, la función desplazamiento es una función vectorial que depende de las coordenadas espaciales del punto y del tiempo. u u = u (x,t) = v (1.5) w g z t z p z Euro Casanova,

2 Figura 1: Fuerzas que actúan sobre el solido en estudio Se puede entonces definir la velocidad y la aceleración de un punto como: u = u (x,t) = u u t = v ẇ ü = ü (x,t) = 2 u ü t = v 2 ẅ (1.6a) (1.6b) 1.2. Fuerzas internas Si se toma el sólido descrito anteriormente y se divide, por medio de un plano, en dos subregiones Ω 1 y Ω 2, sobre cada uno de los puntos de los planos de corte de estas regiones aparecerán vectores esfuerzos producidos por la acción de las fuerzas internas que existen entre ambas regiones. El vector esfuerzo, también llamado vector tracción, se define como: t = t (x,t) = df (1.7) da Donde df representa un diferencial de fuerza interna y da representa un diferencial de área del plano donde actúa dicha fuerza. De esta definición es claro que el vector esfuerzo depende, no sólo del punto del sólido y el tiempo, sino también del plano que se consideró para calcularlo, puesto Euro Casanova,

3 Figura 2: Esfuerzos en los planos de un cubo que por un mismo punto pasan infinitos planos. Definiendo el plano utilizado por la normal al mismo (ˆn), se puede escribir: t = t (x,ˆn,t) (1.8) Si se toma un cubo diferencial alrededor de un punto interno de un sólido, se tiene que sobre cada una de las caras de ese cubo actúan vectores esfuerzos diferentes (cf. figura 2). Estos vectores pueden ser expresados en función de sus componentes normales y paralelas a los planos. A las componentes normales se les denomina esfuerzos normales y se les denota como σ i, donde i representa la dirección de la normal al plano. A las componentes paralelas a los planos se les denomina esfuerzos tangenciales o de esfuerzos de corte y se denotan como τ ij donde i representa la normal al normal al plano y j representa la dirección paralela al plano en la que apunta dicha componente (cf. figura 3). Así, los vectores esfuerzos que existen sobre los planos yz, xz y xy del cubo diferencial de la figura??, definidos por las direcciones î, ĵ y ˆk, se pueden expresar como: σ x τ yx τ zx t = (x,î,t) τ xy t = (x,ĵ,t) σ y t = (x,ˆk,t) τ zy (1.9) τ xz Dicho lo anterior, resulta interesante calcular el vector de esfuerzo que actúa sobre un punto del sólido en un plano cualquiera ˆn, (ˆn = n x n y n z T ), para ello se τ yz σ z Euro Casanova,

4 Figura 3: Componentes de los esfuerzos en los planos de un cubo puede tomar un tetraedro diferencial alrededor del punto (cf. figura 4) y aplicar la primera ley de la mecánica, i.e. f = mü, obteniendo: t (x,ˆn,t) da t (x,î,t) n xda t (x,ĵ,t) n yda t (x,ˆk,t) n zda + gdv = ρdv ü (1.10) Donde n x da, n y da y n z da representan las áreas de los planos î, ĵ y ˆk respectivamente. En esta expresión las fuerzas de cuerpo, al igual que las fuerzas inerciales, pueden ser despreciadas puesto que aparecen afectadas por un diferencial de volumen que resulta ser de un orden superior a los diferenciales de área que afectan los términos restantes, entonces se obtiene: t (x,ˆn,t) = t (x, î,t) n x + t (x, ĵ,t) n y + t (x,ˆk,t) n z σ x τ yx τ zx = τ xy n x + σ y n y + τ zy n z τ xz τ yz σ z = σ x τ yx τ zx n x τ xy σ y τ zy n y τ xz τ yz σ z n z (1.11) Definiendo el Tensor de Esfuerzo en el punto x como: Σ (x,t) = σ x τ yx τ zx τ xy σ y τ zy (1.12) τ xz τ yz σ z Euro Casanova,

5 Figura 4: Tetraedro de Cauchy Es posible calcular el vector esfuerzo t en un plano ˆn cualquiera, mediante la siguiente expresión: t (x,ˆn,t) = Σ (x,t)ˆn (1.13) Es interesante acotar que el tensor de esfuerzos depende de las coordenadas espaciales del punto y del tiempo, así como del sistema de coordenadas en el cual se expresa. Finalmente, es posible demostrar que el tensor de esfuerzo es simétrico i.e.: Σ = Σ T, por lo que el Estado de Esfuerzos en un punto se puede expresar en forma vectorial como: 1.3. Ecuaciones de equilibrio σ σ (x,t) = z τ xy σ x σ y τ xz τ yz (1.14) Realizando un diagrama de cuerpo libre de un elemento diferencial de volumen del sólido (cf. figura 5), expresando los vectores esfuerzos en sus componentes, y Euro Casanova,

6 Figura 5: Fuerzas en un elemento diferencial del solido aplicando la primera ley de la mecánica (i.e.: f = mü) se obtienen las siguientes ecuaciones: σ x x + τ xy y + τ xz z + g x = ρ 2 u t 2 τ xy x + σ y y + τ yz z + g y = ρ 2 v t 2 τ xz x + τ yz y + σ z z + g z = ρ 2 w t 2 (1.15a) (1.15b) (1.15c) 1.4. Condiciones de contorno Las condiciones de contorno para el sólido en estudio son de dos tipos, a saber: Condiciones de borde o frontera (espaciales) Estas condiciones a su vez se dividen en: Condiciones de borde de desplazamiento (cinemáticas o esenciales) En las cuales se especifican los desplazamientos de algunos puntos de la frontera del sólido, i.e.: u = u 0 en Γ u, t (1.16) Estas condiciones de borde son esenciales en el sentido de que se requiere un número suficiente de ellas para evitar que, bajo la acción de Euro Casanova,

7 las fuerzas que actúan sobre el sólido, éste se mueva (traslade y/o rote) como un cuerpo rígido. Condiciones de borde de fuerza (mecánicas o naturales) En las cuales se especifican el valor del esfuerzo de tracción en la frontera del sólido, producido por la aplicación de cargas de superficie o de fuerzas concentradas, i.e.: Condiciones iniciales (temporales) Σ n = t en Γ t, t (1.17) Como condiciones iniciales es necesario especificar la posición y la velocidad de todos los puntos del sólido para un tiempo inicial t 0, i.e. : 1.5. Relaciones cinemáticas u = u 0 en Ω, t = t 0 (1.18a) u = u 0 en Ω, t = t 0 (1.18b) El tensor de deformaciones infinitesimales ɛ, al igual que el tensor de esfuerzo, depende del punto del sólido, del tiempo y del sistema de coordenadas utilizado. ɛ (x,t) = ε x γ xy γ xz γ yx ε y γ yz (1.19) γ zx γ zy ε z Este tensor también es simétrico por lo que se puede expresar como un vector de 6 componentes: ε x ε y ε ε (x,t) = z (1.20) γ xy Las componentes de este tensor se relacionan con los desplazamientos de la siguiente forma: γ xz γ yz Euro Casanova,

8 Deformaciones normales ε x = u x ε y = v y ε z = w z (1.21) Deformaciones tangenciales ( u γ xy = y + v ) γ xz = x ( u z + w ) x γ yz = ( v z + w ) y (1.22) Así, el vector de deformaciones puede ser expresado matricialmente en función de los desplazamiento como: ε x x 0 0 ε y 0 y 0 ε ε = z 0 0 u = z v = Lu (1.23) γ xy y x 0 γ w xz z 0 x γ yz 0 z Donde L es una matriz de operadores diferenciales Relación constitutiva La relación que existe entre las deformaciones y los esfuerzos en un punto de un sólido es lo que se llama una Relación Constitutiva. Evidentemente, la relación constitutiva depende del material del sólido. Para el caso lineal esto se escribe como: y σ = Dε + σ 0 (1.24) Donde D es una matriz de 36 componentes que es necesario determinar a partir de ensayos, y σ 0 representa un estado de esfuerzos inicial. Para un material isotrópico y elástico lineal (e.g.: acero, aluminio, etc.) se puede demostrar que la matriz D es sólo función de 2 parámetros λ y G, llamados constantes de Lamé. Estas constantes se pueden expresar en función del módulo de elasticidad E, y del módulo de Poisson ν. Así, la matriz D toma la siguiente forma: Euro Casanova,

9 D = E (1 + ν)(1 2ν) 1 ν ν ν ν 1 ν ν ν ν 1 ν ν ν ν (1.25) Euro Casanova,