PARTE II TEORÍA LINEAL DE LA ELASTICIDAD PARA MATERIALES ISOTRÓPICOS

Transcripción

1 PARTE II TEORÍA LINEAL DE LA ELASTICIDAD PARA MATERIALES ISOTRÓPICOS 1

2 G. CLASIFICACIÓN DE LAS DEFORMACIONES PURAS

3 DEFORMACIÓN PURA Cuando en el desplazamiento la parte correspondiente a un movimiento rígido se anula, a la deformación se le llama deformación pura. La clasificación que sigue se refiere a deformaciones puras exclusivamente. En tal caso, H E 3

4 DEFORMACIÓN PURA Cuando en el desplazamiento la parte correspondiente a un movimiento rígido se anula, a la deformación se le llama deformación diferencial pura. La clasificación que sigue se refiere a deformaciones puras exclusivamente. En tal caso, Donde e E ij La trasa de es H 1 = E tr E u = ip jq iq jp ip iq e ij u p x q u x p q 4

5 COMENTARIO INICIAL Las matrices de deformaciones diferenciales unitarias asociadas a las deformaciones puras son matrices simétricas. Un resultado fundamental del algebra de matrices que subyace en las discusiones que van a continuación es que toda matriz simétrica es diagonal (es decir, se diagonaliza) cuando se utilizan las direcciones principales como ejes de coordenadas. 5

6 DILATACIÓN PURA Se dice que E corresponde a una dilatación pura cuando es diagonal y todos los elementos de la diagonal son iguales. La magnitud de la dilatación (o simplemente la dilatación) es u 3u1 x1 3u x 3u3 x3 En tal caso la matriz de deformaciones unitarias se puede escribir como E En el caso más general de deformaciones cualesquiera en que E es arbitraria, la dilatación se define como Cuando 0 se le llama contracción E u tre ip iq u x p q 6

7 DEFORMACIONES ISOCÓRICAS Un esatdo de deformación es isocórico en un punto, cuando la dilatación se anula en ese punto. Es decir : u 0 EXTENSIÓN SIMPLE Un esatdo de deformación es una extensión simple en un punto cuando en ese punto se puede introducir un sistema Cartesiano (ortogonal) de coordenadas tal que en él 0 0 E DISTORSIÓN SIMPLE Un esatdo de deformación es una distorsión simple en un punto cuando en ese punto se puede introducir un sistema Cartesiano (ortogonal) de coordenadas tal que en él 0 0 E

8 RELACIONES ENTRE LAS CLASES DE DEFORMACIONES PURAS 8

9 TODA DEFORMACIÓN ISOCÓRICA ES LA SUPERPOSICIÓN DE DOS DEFORMACIONES SIMPLES Suponga E isocórica y diaginalícela : donde Luego E e e e e e e e e e 0 0 e 0 0 e e e 33 9

10 TODO ESTADO DE DEFORMACIÓN PURA ES LA SUPERPOSICIÓN DE UNA DILATACIÓN SIMPLE Y UNA DEFORMACIÓN ISOCÓRICA Porque: 1 1 E I + E I

11 TODO ESTADO DE DEFORMACIÓN PURA ES LA SUPERPOSICIÓN DE UNA DILATACIÓN SIMPLE Y DOS DE DISTORSIÓN SIMPLE Esta afirmación es un corolario de los resultados anteriores 11

12 H. CLASIFICACIÓN DE LOS ESFUERZOS 1

13 COMENTARIO INICIAL Tanto las deformaciones unitarias puras como los estados de esfuerzo están caracterizados por matrices simétricas. Debido a ello el análisis de unas y los otros son muy similares. Sin embargo, las diferencias principales radican en las interpretaciones físicas respectivas. Para facilitar éstas, las ilustraciones se harán para el caso de estados homogéneos de esfuerzo y usando coordenadas en las direcciones principales. 13

14 EL TENSOR DE ESFUERZOS

15 LAS TRACCIONES La tracción en un punto de la frontera de un sólido está dada por T n Dado que se ha diagonalizado : Consecuentemente : T1 11n1 T n T3 33n

16 ESTADO DE ESFUERZO ISOTRÓPICO En este caso, por lo que I Dado que se ha diagonalizado : Consecuentemente : T1 11n1 T n T3 33n

17 TENSIÓN SIMPLE Este caso corresponde a Consecuentemente : T1 11n1 T 0 T3 0 ESFUERZO CORTANTE PURO En este caso y : 17

18 TENSIÓN SIMPLE 18

19 TODO ESTADO DE ESFUERZOS ES LA SUPERPOSICIÓN DE UN ESTADO ISOTRÓPICO Y DOS DE CORTANTE La demostración es análoga 19

20 I. EL TENSOR ELÁSTICO PARA MATERIALES ISOTRÓPICOS 0

21 El número de constantes independientes que intervienen en el tensor elástico son cuando más 36, y 1 cuando la función de densidad de energía ( strain-energy density function; ver [0], p.60) existe. Veremos a continuación que cuando el material elástico es isotrópico ellas se reducen a y se obtendrá la expresión general de la relación esfuerzo deformación que gobierna esa clase de materiales. Dado que todo estado de deformación es la superposición de una dilatación simple y dos distorsiones simples, bastará determinar el esfuerzo producido por estas dos clases de deformaciones: las dilataciones simples y las distorsiones simples. 1

22 DOS HECHOS BÁSICOS Primero : CI 3 ki Segundo : C Aquí a k y se les llama el módulos de compresibilidad y de cortante, respectivamente.

23 1. EL ESFUERZO PRODUCIDO POR UNA DILATACIÓN SIMPLE Sea E una dilatación simple, entonces: CE 3kE. EL ESFUERZO PRODUCIDO POR UNA DEFORMACIÓN ISOCÓRICA Sea E una distorisión simple, entonces: CE E 3

24 OBTENCIÓN DEL TENSOR ELÁSTICO Se utlizará la identidad E I E I 3 3 Entonces 3k CE ki E I IE E 3 3 Y pasando esta últma ecuación a notación indicial : C e ijpq ij pq ij Aquí se han utilizado las siguientes identidades : e ij + ip jq iq jp 1 up = ip jq iq jp y u = x Los parámetros y son las constantes de Lamè. Note que = k 3 q u x p q pq u x p q 4

25 EL TENSOR ELÁSTICO ISOTRÓPICO En resumen, para materiales isotrópicos el tensor elástico está dado por C + ijpq pq ij ip jq iq jp 5

26 PARÁMETROS USADOS EN ELASTICIDAD, Constantes de Lamè; k Módulo de compresibilidad Los principales son : Razón de Poisson ; E Módulo de young ; E 3 E E ; k E k + ; E ; k

27 J. ECUACIONES GOBERNANTES PARA MATERIALES ISOTRÓPICOS 7

28 ECUACIONES DE LA ELASTODINÁMICA (ONDAS ELÁSTICAS) 8

29 La ecuación de movimiento es : u Cu b t que en notación indicial se escribe : Donde C u ijpq pq ij i q Cijpq t x x j p + u b ip jq iq jp Luego u uu b t i 9

30 ECUACIONES DE LA ELASTOSTÁTICA 30

31 La ecuación que gobierna el equilibrio de los sistemas elásticos es : Cu b Cuando: C se tiene : El operador definido. + ijpq pq ij uu b ip jq iq jp es positivo 31

32 ALGUNOS RESULTADOS DEL CÁLCULO En lo que sigue se van a utilizar los siguientes resultados a) = 0 y = 0 b) v = 0 v = c) w= 0 w w 0 w= d) Todo campo vectorial u puede expresarse en la forma : u = v w donde v es isocórico ( v = 0) y w es irrotacional = 0 e) Todo campo vectorial upuede expresarse en la forma : u = T 3

33 K. REPRESENTACIÓN DE SOLUCIONES 33

34 USO DE POTENCIALES EN DINÁMICA Tomando u = y sustituyendo en la ecuación u uu b t Donde, para simplificar, se suponondrá que b 0 se obtiene 0 t t Descomponemos esta ecuación en dos: 0 y 0 t t Las cuales se satisfacen cuando y t t Aquí: 1 1 and 34

35 L. FORMULACIONES VARIACIONALES 35

36 APÉNDICE 1 CAPÍTULO IX 36

37 DILATACIÓN PURA Se dice que E corresponde a una dilatación pura cuando es diagonal y todos los elementos de la diagonal son iguales. La magnitud de la dilatación (o simplemente la dilatación) es u p ui u ip jp xp xj En tal caso la matriz de deformaciones unitarias se puede escribir como 1 ui eij ip jq iq jp x j 37

38 EJERCICIOS CAPÍTULO IX 38

39 EJERCICIO 1 LINEALIZACIÓN DE ECUACIONES Considere la ecuación no lineal 1x1 1x1 1x 1x 1 x 0 1 x 41x x 1 1 n x =10 x

40 EJERCICIO DEMUESTRE QUE EL NÚMERO DE CONSTANTES INDEPENDIENTES ES CUANDO MÁS DE 36 40