Cálculo tensorial. Elvira Martínez Ramírez

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Gabriel Barbero Chávez
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1 Dpto. Física y Mecánica Cálculo tensorial Elvira Martínez Ramírez

2 Notación ransformaciones de coordenadas. Giros de ejes cartesianos ipos de tensores Direcciones principales de un tensor de segundo orden ransformaciones de coordenadas. Giros de ejes cartesianos Invariantes tensoriales Momento tensorial respecto a una recta R ensor de inercia Cuádrica de inercia

3 Notación Un tensor es un ente matemático que generaliza los conceptos ceptos de escalar, a vector y operador lineal de una manera que sea independiente de cualquier marco de referencia elegido. gdo Los tensores s son de importancia en física e ingeniería. Está constituido por N componentes, que son función de las coordenadas, y que se transforman por medio de ecuaciones de lineales y homogéneas

4 Convenio de Einstein ab 1 1+ ab 2 2+ ab ab = ab... n n i i i= 1 abc abc abc abc = abc j j j n j n i j i i= 1 en estas expresiones la suma se verifica respecto de dos subíndices repetidos de su término general. n n Cuando en una expresión monomia figuren dos subíndices repetidos, se entenderá que se trata de una suma en la que los subíndices repetidos van sumados de 1 a n. n i= 1 ab = ab i i i i

5 Notación : ensor de componentes ij N: Número de componentes = n m n: Orden del tensor m: espacio (uni, bi, tidi tridimensional) i

6 Notación Número de componentes N = m n Espacio m=0 (escalar) m=1 (vector) m=2 (diádica) n=1 1 0 =1 1 1 =1 (v 1 2 x ) =1 n=2 2 0 =1 2 1 =2 (v x,v y ) 2 2 = n=3 3 0 =1 3 1 =3 v x,v y,v z ) 3 2 =

7 ransformaciones de coordenadas. d Giros de ejes cartesianos El tensor es independiente del sistema de referencia que se utilice, lo único que cambia al pasar de un sistema de referencia a otro son sus componentes pero no la magnitud física. X 2 X 2 X 1 v = 5 1 u v = 4u 1+ 3u v = 5 2 X 1

8 ransformaciones de coordenadas. d Giros de ejes cartesianos Z 1 Z 1 Y 1 Y 1 v ' = v α i j ij X 1 ' = α α ij rs ir js X 1

9 ransformaciones de coordenadas. d Giros de ejes cartesianos Para un vector y un tensor, en el espacio n dimensional las componentes es en los nuevos ejes son w = v α ' = α α i j ij ij rs ir js en donde α ij representan los cosenos de los ángulos que forman los ejes nuevos con los antiguos.

10 ransformaciones de coordenadas. d Giros de ejes cartesianos Ejes X 1 X 2 X 3 Ejes X 1X 2X 3 v w 1 1 v w 2 2 v w 3 3 v j w i

11 ransformaciones de coordenadas. d Giros de ejes cartesianos Ejes X 1 X 2 X 3 Ejes X 1X 2X rs ij

12 ransformaciones de coordenadas. d Giros de ejes cartesianos Las componentes de un vector son v 1= α11v 1+ α12v 2+ α13v3 w1 α11 α12 α13 v1 v 2 = α21v 1+ α22v 2+ α23v3 w2 = α21 α22 α23 v2 v 3 = α v + v + v 31 1 α 32 2 α 33 3 w3 α31 α32 α33 v3 Para un tensor de segundo orden, cada nuevo término se calcula l mediante la expresión = α α ij ir js rs 11= α α α α α α α α α α α α α α α α α α

13 ipos de tensores Dado el tensor ij = ensor transpuesto: se obtiene intercambiando filas y columnas ij = ji =

14 ipos de tensores Dado el tensor ij = ensor adjunto: sus componentes son los adjuntos respectivos en el determinante del tensor, siendo estos A11 A12 A13 adj ij = A21 A22 A23 A 31 A32 A 33 A, = A12 =

15 ipos de tensores Dado el tensor ij = ensor inverso -1 : es el que actuando como operador, realiza la transformación inversa a la que realiza Si el tensor permite transformar el vector v i en el vector ω j ω v1 ω2 = v2 ω v 3 ω j = ij v i El tensor -1 permite transformar el vector ω j en el vector v i

16 ipos de tensores v i = v 1 ω ω ω ω A + ω A + ω A = = A Ajiω 1 ji j ij = ij

17 Direcciones principales de un tensor de segundo orden Cuando se aplica el tensor a un vector v, se obtiene mediante la ecuación de transformación las componentes del vector en los nueves ejes ω: La recta que contiene al vector v, forma con los ejes X 1, X 2, X 3, ángulos α 1, α 2, α 3. u v

18 Direcciones principales de un tensor de segundo orden Las direcciones principales de un vector son las direcciones tales que al aplicar el tensor, las nuevas componentes son proporcionales a las primeras (el vector nuevo y el antiguo son paralelos) ω=λv =v (- λ)v=0 Da igual trabajar con el vector que que con su unitario u = v = u1e1 + u2e2 + uee3 v 11 λ u λ 23 u2 = λ u 3 0

19 Direcciones principales de un tensor de segundo orden ( 11 - λ ) u 1+ 12u 2+ 13u 3=0 21u1+( 22 - λ ) u2+ 23u3=0 31u1+ 32u2+( 33 - λ ) u3=0 Para que el sistema sea compatible,,se tiene que anular el determinante de los coeficientes de la matriz 11 λ λ 23 = λ

20 Direcciones principales de un tensor de segundo orden Se obtiene una ecuación de tercer grado en λ 2 λ 3 - Lλ + Kλ - = 0 es la ecuación característica o ecuación secular cuyas raíces λ 1, λ 2, λ 3 son los valores propios del tensor. * Cada valor propio corresponde a una dirección principal. * Si el sistema tiene tres soluciones reales, tiene tres direcciones principales, y si tiene una solución real tiene una dirección principal.

21 Invariantes tensoriales Los valores de L, K y son los invariantes i (traza, invariante i cuadrático e invariante cúbico respectivamente) L = + + = traza k = ( + + ) = I.Cuadratico =

22 Momento tensorial respecto a una recta R Dado un tensor, el momento tensorial respecto a una recta o ejes es la primera componente del tensor que se obtiene al tomar dicha recta como eje X 1 = ' = αα + αα + αα + αα + αα + R αα + αα + αα + αα

23 Momento tensorial respecto a una recta R Dada una recta r, que pasa por el origen de coordenadas y cambiando las coordenadas de forma que la recta r sea el nuevo eje X 1 la componente 11 es por definición el momento tensorial respecto a r Aplicando la ecuación de transformación de coordenadas se obtiene = = α α r 11 1i 1j ij

24 ensor de inercia El tensor de inercia es un tensor de segundo orden, simétrico, cuyos elementos de la diagonal principal son los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados, y los elementos no diagonales son los productos de inercia cambiados de signo I11 I12 I13 I11 P12 P13 ij = = I21 I22 I23 = P12 I22 P I31 I32 I 33 P13 P23 I 33

25 Cuádrica tensorial Recta R Una cuádrica es el lugar geométrico de los puntos del espacio (x,y,z) que verifican una ecuación de segundo grado, de forma parecida a como un vector representa un segmento orientado. P(x,y,z) La cuádrica tensorial es el lugar geométrico de los puntos del espacio que cumplen que el módulo del vector que une el origen de coordenadas y un punto P de una recta R, es la inversa de la raíz cuadrada d del momento tensorial respecto a dicha recta

26 Cuádrica tensorial Igual que un vector está representado por un segmento orientado, un tensor simétrico está representado por una cuádrica. Una cuádrica asociada a un tensor simétrico es la que usando como ejes coordenados los ejes propios tiene por ecuación A x +Bx +Cx =1 siendo A,B,C los valores propios

27 Cuádrica tensorial Para unos ejes cualquiera X1, X2, X3 la ecuación de la cuádrica será xx= 1 ij i j x + x + x x1 x2 13 x1 x3 23 x2 x3 = 1

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