Guía N o 7. En esta guía E λ (A) denota el espacio propio asociado a λ de la matriz A. 1. Calcular el determinante de las siguientes matrices:

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1 FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS DPTO. DE MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD ANDRÉS BELLO Álgebra Lineal FMM3 Guía N o 7 En esta guía E λ (A) denota el espacio propio asociado a λ de la matriz A.. Calcular el determinante de las siguientes matrices: (a) 0 0 (d) 0 0 (b) (c) (e) 3 3 / a b c. Si det p q r = 6 calcule el determinante de las siguientes matrices: x y z a + x b + y c + z a + x b + y c + z (a) p q r (d) 3x 3y 3z x y z p q r a b c x y z (b) 4p 4q 4r (e) 4x + p 4y + q 4z + r x y z p q r a b c (c) x y z p q r 3. Hallar los números reales λ tales que det(a) = 0 si: 4 λ 3 λ 4 (a) A = 3 3 λ (e) A = λ λ 4 3 λ (b) A = 4 λ λ 3 λ 5 (c) A = (f) A = λ λ λ λ 4 λ (d) A = 3 λ λ

2 4. Pruebe que: + x x + y y a b c d 5. Sea A la matriz e f g h 0 0 i j. Pruebe que: A = a e 0 0 k l = x y b f i k j l 6. Pruebe que: donde la matriz es de orden n n con n. = + ( ) n+ 7. Se define la matriz tridiagonal E n como: [E n ] i,j = si i j y [E n ] i,j = 0 en otro caso. (a) Calcule E, E, E 3, E 4. (b) Pruebe usando cofactores que E n = E n E n. (c) Si E = y E = 0 calcule E 3, E 4, E 5,..., E 9. Cuánto valdrá E 00? 8. Sea c R y A M n n (R). Pruebe que det(ca) = c n det(a). 9. Sea A una matriz cuadrada. Pruebe que si existe n tal que A n = 0, entonces det(a) = Sea A una matriz cuadrada. (a) Demuestre que si A = A, entonces det(a) = ±. (b) Demuestre que si A t = A, entonces det(a) = ±.. Probar que si AB = BA = 0 entonces para todo k N, (det(a + B)) k = det(a k + B k ).. Sea B M n n (R) tal que B = P CP. Demuestre que det(b) = det(c). 3. Encuentre los valores propios y los subespacios propios de las siguientes matrices. Indique cuales de ellas son diagonalizables y cuales no. En caso de que A sea diagonalizable, encuentre las matrices P y D tal que A = P DP. (a) (b)

3 (c) (d) (e) (f) (g) (h) Demuestre que las matrices A = ; B = tienen el mismo polinomio característico, pero que una es diagonalizable y la otra no. 5. Sea A la matriz siguiente: a b c Si el vector (,, ) es un vector propio de A asociado al valor propio. (a) Calcule a, b, c. (b) Calcular los valores propios de A. (c) Si A es diagonalizable encuentre la matriz P y D tal que A = P DP. 6. Sea A una matriz diagonalizable con valores propios -3,-3,6 y vectores propios asociados (, 0, ), (0,, ), (,, ), respectivamente. Encuentre la matriz A. 7. Calcule todas las matrices de x que tengan vectores propios y. a b 8. Sea A = con a, b R. b a (a) Demuestre que los valores propios de A son a ± ib. (b) Por cada valor propio, calcule un vector propio de A. 9. Sea A M n n (R) una matriz diagonalizable. Si sus valores propios son λ, λ,..., λ n. Calcule los valores y vectores propios de: (a) A t. (b) αa con α R. (c) A. (d) A αi con α R. (e) A. (f) A m con m N. 3

4 0. Sea A M n n (R) cualquiera (no necesariamente diagonalizable) y sea λ un valor propio de A. Demuestre que: (a) λ es un valor propio de A t. (b) Si A es invertible, entonces /λ es un valor propio de A. (c) λ es un valor propio de A. (d) Si A = A entonces λ es 0 o.. Sea la matriz con parámetros a, b R: a a A = 0 b Calcule todos los valores de a y b para que la matriz A no sea diagonalizable. Justifique cada caso.. Sea A M 3 3 (R). En cada caso indique si la afirmación es siempre verdadera o falsa. En el primer caso justifique y en el segundo muestre un contraejemplo. (a) A es diagonalizable. (b) Si B es diagonalizable, entonces AB es diagonalizable. (c) Si los valores propios de A son,, entonces: i A es invertible. ii A es diagonalizable. (d) Si todos los vectores propios de A son múltiplos de, entonces: 0 i A es invertible. ii A tiene valores propios de multiplicidad algebraica mayor o igual a. iii A no es diagonalizable. (e) Si A es tiene 3 vectores propios linealmente independientes, entonces: i A es invertible. ii A es diagonalizable. iii Existe P invertible tal que A = P DP. iv Existe P diagonalizable tal que A = P DP. 3. Sea A M 3 3 (R) con valores propios, y con E (A) = ; E (A) = 0, (a) Si u =, y v = 3, calcule Au, Av y A(u + v). 3 0 (b) Cuál es el polinomio característico de A? 4

5 (c) Es A una matriz diagonalizable?. Justifique. 4. Sea A M 3 3 (R) con valores propios 0,, y vectores propios asociados u = 0, v = 0, w = respectivamente. (Note que el conjunto {u, v, w} es linealmente independiente.) 0 (a) Calcule una base del núcleo de A. (b) Calcule una base del espacio de columnas de A. (c) Calcule una solución particular de la ecuación Ax = v + w. (d) Cual es la solución general de la ecuación de la parte anterior? (e) Muestre que Ax = u no tiene solución. 5. Sea H := I n uu t, donde I n es la identidad de dimensión n y u R n \ {0} satisface que u t u =. (a) Pruebe que H = H y H = H t. (b) Pruebe que u es un vector propio de H. (c) Pruebe que si v R n es ortogonal a u, entonces es un vector propio de H. (d) Deduzca los valores propios de H y su multiplicidad. 6. Sea A M (R) una matriz con valores propios λ, λ y vectores propios asociados. Calcule lim k A k si: (a) λ = λ =. (b) λ = λ = 0. (c) λ = y λ <. (d) λ < y λ =. (e) λ < y λ <. 7. Sea la ecuación x n = Ax n donde A M (R) es una matriz diagonalizable y x n = y son variables para cada n N. x0 (a) Si x 0 = es la condición inicial, escriba la solución de la ecuación en función de los y 0 valores y vectores propios de A y de x 0. (b) Como es la solución para n grande: i. si ambos valores propios son positivos y mayores que? ii. si ambos valores propios son positivos y menores que? iii. si uno de los valores propios de la matriz es 0? ( xn y n ) 5

6 iv. si uno de los valores propios es -? 8. Se definen los números Gibonacci como la secuencia tal que un número el promedio de los dos números anteriores, es decir para todo n, G n+ = G n++g n. (a) Escriba la ecuación de diferencias que modela esta recursión. (b) Si G 0 = 0 y G =, prueba que para n grande los números de Gibonacci se parecen a En un ecosistema se estudian las poblaciones de conejos y zorros en el tiempo. Si c n es el número de conejos en el año n y z n es el número de zorros en el año n. Se ha determinado que estas variables satisfacen la ecuación: cn 7/6 5/6 cn = 5/6 7/6 z n para c n, z n > 0. Además, si no hay zorros entonces la población de conejos crece al doble cada año y si no hay conejos la población de zorros decrece /4 cada año. cn c0 (a) Calcule para todo n positivo como función de n y de una condición inicial. z n (b) Indique para que cantidad inicial de conejos y zorros ambas especies se extinguen en el largo plazo. (c) Qué ocurre con las poblaciones en el largo plazo si en el año 0 hay mas conejos que zorros?. Justifique. 30. Suponga que hay un brote de epidemia en el país tal que cada mes, la mitad de la población sana se enferma y un cuarto de la población enferma se muere. (a) Escriba las ecuaciones para calcular la cantidad de población sana y la cantidad de población enferma en el año n conociendo la población el año n. (b) Si la población antes que apareciera la epidemia era de 000 personas. Cuánto es la población después de mes?, y después de meses?. (c) Que ocurre después de dos años? (d) Que ocurre al largo plazo? 3. Suponga que la economía global se separa en 3 grandes mercados. América, Europa y Asia. Cada año la mitad del dinero en América se queda y un cuarto se invierte en Europa y el otro cuarto en Asia. Para Europa y Asia la mitad del dinero se queda y la otra mitad se invierte en América. (a) Escriba las ecuaciones del dinero en cada región para el próximo año si conocemos cuanto dinero hay este año. (b) Si este año hay 4 trillones de dólares en America, 3 trillones en Asia y un trillón en Europa. Encuentre la distribución del dinero después de, y 3 años. (c) A que distribución converge esta dinámica monetaria?, es decir, qué porcentaje de los 4 trillones iniciales estará en America, cuánto en Europa y cuánto en Asia en el largo plazo?. Existe un equilibrio? z n z 0 6