Cap 3: Álgebra lineal

Transcripción

1 Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias Cálculo Numérico 1 IF321 Cap 3: Álgebra lineal Prof: J. Solano 2018-I

2 INTRODUCCION Aqui trabjaremos con operaciones basicas con matrices, tales como solucion de ecuaciones lineales, calculo de inversa de matriz, su determinante, etc. Detalles importantes de programacion tales como manejo de asignacion de memoria para matrices, introduccion al concepto de clases, templates. Trabajaremos principlamente con matrices simetricas o hermitianas. En aras de la simplicidad, echemos un vistazo a una matriz (4x4) A y una matriz identidad correspondiente I. La inversa de una matriz es definida por Una propiedad de las matrices simetricas y hermitianas es que tienen autovalores reales 2

3 Propiedades de matrices 3

4 Declaracion de vectores y matrices de tamanho fijo 4

5 Declaracion de vectores y matrices de tamanho fijo 5

6 Declaracion de vectores y matrices de tamanho fijo 6

7 Declaracion de vectores y matrices de tamanho dinámico 7

8 Declaracion de vectores y matrices de tamanho dinámico 8

9 Declaracion de vectores y matrices de tamanho dinámico 9

10 Declaracion de vectores y matrices de tamanho dinámico 10

11 Declaracion de vectores y matrices de tamanho dinámico 11

12 Declaracion de vectores y matrices de tamanho dinámico 12

13 Descomposicion-LU de una matriz Una matriz mxn se dice que tiene descomposicion-lu si existen matrices L y U con las siguientes propiedades: - L es una matriz triangular inferior mxn con todas los elementos en la diagonal siendo 1 - U es una matriz m n en alguna forma escalonada - A = LU Ventajas de la descomposicion: Suponga que queremos resolver el sistema mxn, Ax = b Si podemos hallar una descomposicion-lu para A, entonces para resolver AX=b es suficiente resolver los sistemas (Ax=b equivale a LUx=b) Ly = b Ux = y Entonces el sistema Ly = b puede ser resuelto por el método de sustitución hacia adelante y el sistema Ux = y puede ser resuelto por el método de sustitución hacia atrás. Para ilustrar esto, le damos algunos ejemplos 13

14 Descomposicion-LU de una matriz Considere el sistema Ax = b, donde x x 2 = 2 3 x x 2 x 3 = 8 x x 2 + x 3 = 0 Es facil chequear que A=LU, donde Para resolver Ax=b, primero resolvemos Ly = b por sustitucion hacia adelante para obtener Ahora resolvemos Ux = y por sustitucion hacia atras: obteniendose x 1 = 6, x 2 = -2, x 3 =

15 Descomposicion-LU de una matriz Sea matriz A 4x4 tq A=BC Comenzamos con la primera columna Que determina los elementos c 11, b 21, b 31, b 41. Ahora para la segunda columna Aqui los valores desconocidos son c 12, c 22, b 32 y b 42, que pueden ser evaluados por A y por el resultado anterior 15 15

16 Descomposicion-LU: algoritmo de Crout Podemos generalizar este procedimiento en tres ecuaciones Para cada columna (j) calculemos el primer elemento c 1j por: Luego calculamos todos los elementos c ij, i = 2,, j-1 c 1j = a 1j Ahora calculamos los elementos de la diagonal c jj, Finalmente calculamos los elementos b ij, i > j. En el caso que es cero o cercano a cero, lo que lleva a perdida de precision, hay que usar un metodo de pivoteo (intercambiano filas) en torno al mayor elemento de la columna 16

17 Solucion de sistema de ecuaciones lineales Con la descomposicion-lu es simple resolver un sistema de ecuaciones lineales En forma matricial: Ax = w Usando la descomposicion-lu: Ax = BCx = w Se puede calcular esta ecuacion en dos pasos: By = w ; Cx = y Para nuestro ejemplo 4-d esto toma la forma: y 17 17

18 Inversa de una matriz y determinante Def. basica de determinante: la suma es sobre todas las permutaciones p de los indices 1,2,...,n, que dan n! terminos. Igual, para caclular la inversa de A hay que calcular el cofactor de c/elemento a ij, que es un (j-1) determinante. Esto significa el calculo de n 2 determinantes. DEMASIADO!!! Una matriz A con descomposicion-lu: det{a} = det{b} x det{c) = det{c} ya que los elementos diagonales de B son 1. Entonces el determinante de A es: La inversa es algo mas complicada. Formalmente, dado A=BC: A -1 = C -1 B -1 La razon es que la inversa de una matriz triangular superior (inferior) tambien es una matriz triangular superior (inferior) 18

19 Inversa de una matriz y determinante Si llamamos D a la inversa de B, se pueden determinar los elementos de la matriz de la ec que lleva al algoritmo general que es valido para i > j. La diagonal es 1 y los elementos del triangulo superior son cero. Resolvemos la ecuacion columna por columna (incrementando j). 19

20 Inversa de una matriz y determinante Similarmente definimos una ecuacion que da la inversa de C (la llamamos E) con la ecuacion general (para i<= j) 20

21 Solucion de sistema de ecuaciones lineales Con la descomposicion-lu es simple resolver un sistema de ecuaciones lineales En forma matricial: A x = w A -1 A x = A -1 w I x = A -1 w x = A -1 w Tambien se puede resolver usando las librerias de Matlab 21

22 Descomposicion-QR de una matriz Descomposición QR (factorización QR) de una matriz es una descomposición de una matriz A en un producto A = QR de una matriz ortogonal Q y una matriz triangular superior R. La descomposición QR se usa a menudo para resolver el problema de mínimos cuadrados lineales. y es la base para el algoritmo QR (eigenvalues). Factorización QR de una matriz. Dada una matriz A (no necesariamente cuadrada), con columnas linealmente independientes, encontraremos matrices Q, R tales que: (i) A = QR. (ii) Las columnas de Q son ortonormales. (iii) Q es del mismo tamaño que A. (iv) R es triangular superior invertible

23 Descomposicion-QR de una matriz La forma de hacerlo es aplicar el proceso de Gram-Schmidt a las columnas de A. Ejemplo. Tomemos Las columnas son Aplicando Gram-Schmidt 23

24 Ahora tenemos Descomposicion-QR de una matriz 24