ITERATIVOS Y DIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALES. Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre Ejercicios:

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1 Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación MÉTODOS ITERATIVOS Y DIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALES Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre Ejercicios: ) Considere el siguiente sistema lineal: 3 3 a) Muestre que el algoritmo de Gauss- Jacobi es convergente. b) Muestre que el algoritmo de Gauss-Seidel es convergente. (indicación: Muestre que A es e.d.d. y que ). c) Considere () ( ) como vector de inicio. Calcule el vector () para el método de Gauss-Jacobi. d) Calcule el vector () para el método de Gauss-Seidel. Sol: a) Para que la matriz A sea estrictamente diagonal dominante (e.d.d.) se debe cumplir que: Entonces: 3 ; 3 3 ; 3 Por lo tanto A es e.d.d., entonces existe su inversa ; El sistema lineal se puede escribir de la forma A*b, siendo A (DEF), donde: D: Matriz Diagonal de A. E: Matriz Triangular Inferior de A, con su Diagonal Nula. F: Matriz Triangular Superior de A, con su Diagonal Nula. Entonces: (DEF)b D (EF)b /* () (EF) () () () con (EF) y. Para que el algoritmo de Jacobi sea convergente. (Norma inducida { ó }) Entonces se tiene que:

2 3 /3 3 ; /3 ; ; ; b= / /3 /3 / /3 /3 /3 / Las Normas son: Como, entonces el algoritmo de Jacobi es convergente. b El sistema lineal se puede escribir de la forma A*b, siendo A DEF, donde: Entonces: DEFb DE Fb /* F ; con y. Para que el algoritmo de Seidel sea convergente. Norma inducida { ó } Entonces se tiene que: 3 /3 3 ; /9 /3 ; ; b= /9 /6 / /3 /9 /3 * /9 /6 / /3 /3 /9 /9 /9 /9 Las Normas son: Como, entonces el algoritmo de Seidel es convergente.

3 c Para calcular la segunda iteración vector del método de Gauss-Jacobi con, se debe ocupar el algoritmo: EF b Sin Calcular la inversa de D ó EF Con el cálculo de la inversa de D Aplicaremos los casos. Para el Caso: () = (E+F) () + b, se tiene que: 3 3 (+) = + () (+) = () + Con k=; 3 3 () = () + ; Con () = 3 3 () = () = /3 () = Con k=; 3 3 () = () /3 + ; Con () = 3 3 () /3 = () =/3 () =/9 Vector buscado. Para el Caso: () = (E+F) () +, se tiene que: 3 3 () = 3 + () + 3 /3 /3 () = /3 () + /3 / /

4 Con k=; /3 /3 /3 =/3 ; Con = / /3 /3 /3 =/3 / /3 = Con k=; /3 /3 /3 /3 =/3 ; Con = / /3 /3 /3 /3 =/3 / =/9 Vector buscado. d Para calcular la segunda iteración vector del método de Gauss-Seidel con =, se debe ocupar el algoritmo: DE = Sin Calcular la inversa de DE ó = F Con el cálculo de la inversa de DE Aplicaremos los casos. Para el Caso: DE =, se tiene que: 3 3 = Con k=; 3 3 = ; Con = 3 3 = 3 3 = /3 =/9 /9

5 Con k=; 3 3 = () /3 + ; Con =/9 /9 3 3 /3 = /9+ /9 3 3 /9 = /7 =/8 Vector buscado. 8/8 Para el Caso: = F, se tiene que: 3 3 = 3 () = 3 () + 3 /3 /3 /3 = /9 /9 () +/9 /9 /9 /9 Con k=; /3 /3 /3 () = /9 /9 () +/9 ; Con () = /9 /9 /9 /3 /3 /3 () = /9 /9 +/9 /9 /9 /9 /3 () =/9 /9 Con k=; /3 /3 /3 /3 () = /9 /9 () +/9 ; Con () =/9 /9 /9 /9 /9 /3 /3 /3 /3 () = /9 /9 /9+/9 /9 /9 /9 /9 /7 () =/8 Vector buscado. 8/8

6 ) Obtener las factorizaciones de Doolittle, Crout y Cholesky para la matriz A=, en donde a es una constante,. Sol: La Factorización o descomposición L*U de A, es la multiplicación entre matriz, siendo L la matriz triangula inferior de A, y U la matriz superior de A. En la Factorización de Doolittle la diagonal de L es, es decir: = = (Descomposición de Doolittle) * = = = = * * = = + = = Entonces La descomposición LU según Doolittle es: A= =L*U En el Factorización de Crout la diagonal de U es, es decir: = Descomposición de Crout = = = = = = + = = Entonces La descomposición LU según Crout es: A= =L*U En el Factorización de Cholesky la matriz A debe ser simétrica A= y definida positiva, entonces A tendrá una única factorización de la forma A=L*, donde L es la matriz triangular inferior, es decir: = (Descomposición de Crout) Se debe comprobar que A es positiva definida (los sub-determinantes de al matriz son mayores a ): Det ( )= Det ()=, Que una matriz sea positiva definida (d.p.) o estrictamente diagonal dominante (e.d.d.), significa que existe la inversa de esa matriz. La matriz A no es simétrica pues A, por lo que la factorización de Cholesky no puede realizarse. Para comprobar que el método no se puede aplicar, se tendrá que:

7 += = ; ; ; Se tiene una contradicción, ya que el despeje arroja que,. Queda comprobado que la matriz A, al ser positiva definida y no ser simétrica, no se puede aplicar Cholesky. 3) Dada A,. a) Obtener los valores de a de modo que la matriz A sea definida positiva. b) Obtener las factorizaciones de Doolittle, Crout y Cholesky para la matriz A. Sol: a) Para que A sea positiva definida, los sub determinantes tienen que ser mayores a, entonces: Det (-) La matriz A no es positiva definida. b) Para obtener la factorización de Doolittle, la diagonal de L debe ser, entonces queda: ( ) La factorización Doolittle es: L U A

8 Para obtener la factorización de Crout, la diagonal de U debe ser, entonces queda: = + + = = = = = = =+ =+ = + += =+ (+ ) = La factorización Crout es: + = + L U A Para obtener la factorización de Cholesky, la matriz A debe ser simétrica y definida positiva, pero como el primer sub determinante es menor que cero, no se puede aplicar la descomposición de Cholesky en la matriz A, porque esta no es positiva definida.

9 4) Al aproximar una función,,,, por un polinomio de la forma, se obtiene un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes está dada por: a Obtener la factorización de Cholesky de A, y usarla para calcular. b Para resolver el sistema Axb por el método de Cholesky y de Crout, imponiendo las restricciones que considere apropiadas. Sol: a Matriz A es simétrica, ya que A. Para obtener la factorización de Cholesky, se necesita que la matriz A sea simétrica y Positiva definida. Para que la matriz A sea positiva definida, los sub determinantes tienen que ser mayores a, entonces:, 4 3, 3 35, Con la condición de que a tiene que ser mayor a, se tendrá que:

10 L A b Para resolver el sistema Axb por el método de Cholesky, se tiene la descomposición ya realizada, por lo tanto solo se tiene que calcular por partes. Sea Entonces *XZ Z Luego se reemplaza en L*Zb Z Se tiene que calcular por sustitución hacia adelante *X La solución al sistema de ecuaciones es: X

11 Para resolver el sistema Axb por el método de Crout, se tiene la descomposición; 3 Entonces queda Reemplazando en el sistema AXb LU*Xb 3 Z Luego; Z