Valores y Vectores Propios

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1 Respuestas Guía de ejercicios N 7 parte Complemento Valores y Vectores Propios. λ 7 λ λ λ λ + 3λ. Sea v el vector propio asociado al valor propio λ 3 y v el vector propio asociado al valor propio λ. Para calcular los vectores propios, reemplazamos el valor propio correspondiente y resolvemos el sistema: λ λ v v v v Luego, una solución no trivial es v,. Hacemos lo mismo para el segundo valor propio. λ 7 v 7 v v λ v 7 v v, v Ambos valores propios tienen multiplicidad. La matriz es diagonalizable. λ 6 8 λ λ λ3 λ + λ + 8 λ + λ λ,. λ 3 Sea v v, v, v 3. Reemplazando λ en la matriz y multiplicando por v obtenemos que las coordenadas de v deben cumplir que v + 6v + 8v 3, que tiene dos parámetros libres, luego, dos vectores propios asociados a λ son v Reemplazando λ obtenemos el sistema , v y v 3 La matriz es diagonalizable pues el espacio asociado al vector propio de multiplicidad es de dim. 3 3 λ λ λ λ3 + 9λ 7λ + 7 λ 3 3 λ,,3 3 Reemplazando λ 3 en la matriz, obtenemos que las coordenadas de los vectores propios deben satisfacer Luego, un vector propio es v,, y la matriz no es diagonalizable pues el espacio propio no es de dim 3. λ 6 3 λ λ λ3 + 9λ 7λ + 7 λ 3 3 λ,,3 3. Repitiendo el procedimiento anterior obtenemos v, v Nuevamente la matriz no es diagonalizable.

2 Calculando determinantes, es claro que en toda matriz triangular, los valores propios son los elementos de la diagonal. Más aún, si la matriz es diagonal, los vectores propios son los vectores canónicos. Luego, para este ejemplo, λ λ λ 3, v, v La matriz es diagonalizable la matriz es diagonal., v 3 6 λ λ λ λ3 + 6λ λ 6 + λ λ, λ 3 6. Para λ el vector propio v v, v, v 3 debe satisfacer v + v + v 3 obteniendo dos vectores propios v, v. a b c d Para λ 6, obtenemos el sistema La matriz es diagonalizable. A v A v 3 A v A v v. λ v 3 v λ v. 3. Si v es vector propio de I A entonces 3 y v 3 3 Si v es vector propio de A entonces I Av λv v Av λv / λv + Av Av v λv λv Av λv / + v v Av v λv I Av λv En el desarrollo anterior que el valor propio de I A asociado a v es λ.

3 . El vector canónico e i.. Es claro que los valores propios de la matriz son λ,,3 3 y λ,. Si v v, v, v 3, v, v es el vector propio asociado αv αv 3 v + βv v Es claro que esto es posible sólo si α. Haciendo un argumento similar podemos ver que β. 6. Si es valor propio, tenemos que Av v para v luego la matriz A no es de rango completo, luego, no es invertible Si A no es invertible, el sistema Av tiene solución para v luego es valor propio. 7. Tenemos que Luego 8. Tendríamos que Av λ v Av λ v 9. Av Av λv. Av k λv k A k α i v i i k α i Av i i k α i λv i i λ k α i v i λv i } Av Av λ λ v v }{{} a Sea A y B los valores propios de A son λ, ±, los valores propios de B son λ, ±i complejos. Por otro lado, los valores propios de A + B son λ,. b Usando las mismas matrices del ejemplo anterior, tenemos que AB con valores propios λ, ±.... Ax µx /A A Ax µa x / µ µ x A x A n x A n }{{} Ax µa n Ax... µ n x µx p A x α I + α A + α n A k x α x + α Ax + α n A k x α x + α µx + α n µ k x pµx 3

4 3. deta λi + λ + λ Luego sus valores propios son λ con multiplicidad, y λ,3 con multiplicidad. Para determinar su multiplicidad geométrica calculamos sus vectores propios de aquí obtenemos que v,, De manera similar A λ Iv A λ,3 Iv v v De aquí obtenemos que v,,, v 3,, De esta forma obtenemos que la multiplicidad geométrica y la algebraica son iguales, luego podemos diagonalizar nuestra matriz obteniendo A. B P AP P AP P A P por inducción, si B k P A k P entonces: B k+ BB k P AP P A k P P A k+ P Para calcular el límite primero diagonalizamos A, obteniendo A Usando lo anterior obtenemos que 9 A k 9 k k tomando el límite de k A k. 3 para calcular un valor propio de la matriz A basta notar que: A 6. A partir del polinomio característico obtenemos directamente que: λ,, λ 3,,, λ 6 Usando que la traza es la suma de los valores propios obtenemos que tra Usando que el determinante es el producto de los valores propios obtenemos que det A

5 7. Falsa, A tiene valor propio, mientras que A tiene valor propio Falsa, A tiene valor propio, mientras que A tiene valor propio Verdadera, P A λ deta λi deta T λi P A T Falsa, A A + A T la primera tiene valores propios ±i mientras que la segunda tiene valor propio cero con multiplicidad.