Práctica nº 1: Álgebra Tensorial

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1 ETSI de CAMINOS, CANALES Y PUERTOS DE MADRID METODOS MATEMATICOS DE LAS TECNICAS (Matemáticas) PRACTICAS Práctica nº 1: Álgebra Tensorial a) Ejercicios y cuestiones de vectores Ejercicio 1. Resolver la ecuación vectorial a x b, razonando en términos intrínsecos de los dos vectores ortogonales dados, a y b, de módulos a > 0 y b > 0, respectivamente. (Indicación: observar que las soluciones están relacionadas con las de la ecuación homogénea asociada: a x 0). Ejercicio 2. Resolver, análogamente, las ecuaciones vectoriales: i) [a, b, x] c ; ii) a x c, donde a, b son vectores dados de 3 y c es una constante escalar. Ejercicio 3. Probar: i) uv w ) ( uv ) w vu w ) ii) ( a b ) ( c d ) c ( a b d ) d ( a b c ) Ejercicio 4. Desarrollar (ab) (cd) en función de las componentes de los vectores en una base ortonormal, usando la notación indicial. Interpretar el resultado en términos intrínsecos de los vectores dados. Ejercicio 5. a) Calcular el valor de las expresiones indiciales: ii ; ijk ijk ; ijp ijq, siendo {1,2,3} el recorrido de los índices. b) Siendo {e i } una base cartesiana ortonormal y w w i e i un vector dado, calcular A ij (e i e j ) w ; B ijk A ij w k. Ejercicio 6. Calcular el volumen del paralelepípedo determinado por u e 1 e 2 e 3, v e 2 2e 3 y w e 1 2e 3, siendo {e i } una base ortonormal. Misma cuestión si la base {e i } no es ortonormal, sino que tiene por matriz de Gram G Ejercicio 7. Expresar en función de los datos todos los vectores x 3 que verifican cada una de las condiciones siguientes: i) forman un ángulo dado con una dirección dada, e, y su módulo está entre dos valores dados, 0<a<b. ii) se proyectan sobre tal dirección e en un vector de módulo a > 0 y tienen módulo x = b. b) Ejercicios y cuestiones de tensores Ejercicio 8. Calcular el núcleo y la imagen de los tensores W a y T ab, siendo a, b vectores dato. Razónese en términos intrínsecos de a y b e interprétense los resultados geométricamente. Ejercicio 9. Demostrar que 1 n 1 y P m P, donde P ee es el tensor proyección sobre la dirección e y m es un entero positivo. Interpretación geométrica (e es un vector unitario).

2 ETSICCP Métodos Matemáticos de las Técnicas (Matemáticas) curso Práctica 1 2 Ejercicio 10. Probar las siguientes igualdades: 1) a (bc) d b ad c; 2) ab ba (ba) Cuándo es ab ba? 3) (e) 2 (ee 1) 4) (e) 3 e. Deducir la expresión de (e ) n, con n número natural cualquiera. Ejercicio 11. Calcular las componentes cartesianas del tensor (e 1 e 2 ) (e 3 ), siendo {e 1,e 2,e 3 } una base canónica. Ejercicio 12. Siendo T un tensor de orden dos sobre un espacio vectorial tridimensional 3, cuyas componentes en una base ortonormal son T ij, comprobar que: dett 1 6 ijk pqr T ip T jq T kr Ejercicio 13. Sean _ g 1 e 1, _ g 2 e 2, _ g 3 e 1 e 3, v e 1 e 2 e 3, T 1 e 2 e 1. Se pide: _g i, g ij, g ij, v i, v i,t i j,t ij,t ij, t j i. Ejercicio 14. Si E es el tensor de permutación, calcular los productos contraídos: i) E (e 1 2e 2 e 3 ) ii) E [e 1 (e 2 e 3 )] iii) [(e 1 2e 2 4e 3 )( e 2 e 3 )] E Ejercicio 15. Encontrar los valores y vectores propios de la díada ab y del tensor axial, en términos de los vectores dados (a, b, ). Discutir si dichos tensores admiten una base de autovectores con autovalores reales. Ejercicio 16. Encontrar los autovalores y autovectores del tensor T 1 e 1 e 2 e 2 e 1 siendo {e i } base ortonormal del espacio vectorial 2. Misma cuestión si el espacio es 3. Ejercicio 17. Las componentes de un tensor T de segundo orden en una base ortonormal son T ij Se pide: (a) Determinar los invariantes J 1, J 2, J 3 del tensor T, calcular sus autovalores y autovectores. (b) Construir gráficamente la imagen de un vector genérico v por acción de ese tensor (Indicación: transformar las componentes vectoriales de v en la base de autovectores de T o sea, según sus subespacios invariantes) Ejercicio 18. Razonar porqué un tensor T de segundo orden es regular (invertible) o singular (no invertible) según tenga o no el autovalor 0. Además se pide: 1) Probar que si T es diagonalizable e invertible, los autovalores de T 1 1 son los inversos de los autovalores de T,, y que los autovectores son los mismos. i 2) Escribir la representación diagomal de T m, con m natural y supuesta conocida la representación diagonal de T, supuesto éste diagonalizable.

3 ETSICCP Métodos Matemáticos de las Técnicas (Matemáticas) curso Práctica 1 3 Ejercicio 19. Si Q es un tensor ortogonal, comprobar que (Q u) (Q v) u v, y deducir de ello que Q conserva los ángulos y las longitudes. Ejercicio 20. Suponiendo que T es, alternativamente, un tensor simétrico, antisimétrico u ortogonal, es T n un tensor simétrico, antisimétrico u ortogonal? (n es un entero arbitrario). Ejercicio 21. a) Demostrar que el eje de un tensor A antisimétrico, cuyas componentes en una base ortonormal son A ij, está determinado por el vector de componentes i 1 2 ijk A jk en dicha base. b) Demostrar que 1 A es un tensor no singular si A es antisimétrico. Ejercicio 22. Expresando un tensor de rotación, R, en la forma: R cos1 (1cos)ee sen(e), determinar el ángulo de rotación en función de la traza de R y el eje de la rotación, e, mediante la parte antisimétrica de R (e es un vector unitario). Ejercicio 23. Si Q ê i e i, probar que este tensor transforma la base ortonormal {e i } en la base ortonormal {ê j }. Demostrar que las componentes de Q son las mismas en cualquiera de las dos bases ortonormales. Ejercicio 24. Determinar el núcleo, la imagen, los autovalores y los subespacios invariantes asociados a los mismos, de los tensores T que se indican: i) T = R(e, ) es el tensor que representa una rotación o giro en 3 de ángulo [0,] y eje el vector unitario e dado. Expresar los resultados en términos de e y/o. ii) T = H() es el tensor que representa la homotecia de razón, es decir, H() = 1, siendo 1 el tensor identidad. iii) T = S(e) es el tensor que representa una simetría especular respecto del plano orientado por e. Ejercicio 25. Encontrar la representación espectral de un tensor S cuyas componentes en la base ortonormal {e i } son [S ij ] c) Problemas Ejercicio 26. Sea T un tensor plano, de orden dos, definido por T u 1 u 1 u 1 u 2 u 2 u 1 u 2 u 2. Las componentes de u 1 y u 2 en la base ortonormal {e i } de 2 son: u 1, 2 2, u 2, 2 2 Se pide: 1) Obtener las componentes covariantes de T relativas a las bases {u i }. 2) Expresar T en la base {e i } por sus componentes contravariantes y por sus componentes covariantes. 3) Determinar el determinante y la traza del tensor T. Ejercicio 27. Se considera una rotación de los ejes de un sistema cartesiano ortonormal, OX, OY, OZ, de tal forma que, permaneciendo fijo el origen, transforma el eje Z positivo en una semirrecta que forma 60

4 ETSICCP Métodos Matemáticos de las Técnicas (Matemáticas) curso Práctica 1 4 con el eje Z, 120 con el eje Y y un ángulo agudo con el eje X (en los tres casos con la parte positiva de los ejes iniciales). Además, el transformado del eje X positivo está en el plano XOY, formando un ángulo agudo con el eje X. Se pide: 1) Ecuaciones de la rotación en los ejes del sistema cartesiano dado. 2) Determinar cos, teniendo en cuenta que la rotación queda definida por (e,), siendo e el versor del eje de la rotación y el ángulo de giro (0 <2) 3) Obtener, tales que el vector de la forma v () verifique e v v. 4) Expresión intrínseca de la rotación, usando los resultados de los apartados anteriores. Ejercicio 28. Dado un espacio vectorial euclídeo con base ortonormal {e 1, e 2, e 3 }, considérese el tensor T de segundo orden con componentes [T ij ] Sea ' { _ g 1, _ g 2, g _ 3 } otra base del mismo espacio donde _ g 1 e 1, g _ 2 e 1 e 2, g _ 3 e 1 e 2 e 3. Se pide: 1) Expresar las componentes covariantes puras de T en la base '. 2) Expresar las componentes covacontravariantes de T 2 en la base ', trabajando completamente en dicha base. 3) Siendo el vector v 3 _ g 1 4 _ g 2 6 _ g 3, expresar en componentes covariantes el vector w T v. 4) Expresar las componentes contracovariantes del tensor S vw. Ejercicio 29. Se tiene una base ortonormal {e 1,e 2,e 3 } y un tensor de segundo orden, T, del que se sabe que los vectores w 1 e 1 e 2, w 2 e 1e 2, w 3 e 1 e 3 son autovectores, correspondientes a los autovalores , respectivamente. Se pide: 1) Es T un tensor simétrico? Razonar la respuesta sólo con los datos del enunciado. 2) Matriz contracovariante de T en la base {w i }, razonando la respuesta. 3) Matriz de T en la base cartesiana {e i }, razonando la respuesta. 4) Matrices covacovariantes en la base {w i } del traspuesto y del inverso del tensor dado, T. (febrero 97) Ejercicio 30. Cuestión teórica: Se considera un tensor T de tercer orden que, expresado en la base { _ g i } de un espacio vectorial euclídeo, tiene componentes contracovacova, dadas por t i jk, conocidas. Se realiza el cambio a una nueva base { ĝ i } tal que ĝi C j i _g j. Obtener razonadamente la fórmula indicial de las componentes ˆt i.jk de T en la nueva base, en función de los elementos de la matriz C y de su inversa si procede. Problema: Sea un espacio vectorial euclídeo de dimensión 2, y sea { g _ i } una base cuya matriz G 1 [g ij ] Se considera el cambio de base ĝ i C j i_g j donde C [C i 1 1 j] 1 0, (i filas; j columnas). Sea T el tensor cuyas componentes contracovacova t i jk se pueden agrupar en las matrices , , (ifilas; jcolumnas; kmatriz). Se pide: 1) Componentes ^t i j2 de T en la base nueva, dispuestos en una matriz con (ifilas; jcolumnas) 2) Componentes contracovacontra, t i j 1, del tensor T en la base original, dispuestos igualmente. (febrero 98) e 3 Ejercicio 31.. La acción de un tensor T en 3 se describe sobre los vectores de una base canónica, {e i }, dada, resultando que T conserva tanto el vector _i como el plano YZ, y, en cambio, gira un cierto ángulo agudo dado,, desde _ j a su transformado y el mismo ángulo en sentido contrario, desde _k al suyo (figura adjunta). Se pide: T e 3 e 2 T e 2

5 ETSICCP Métodos Matemáticos de las Técnicas (Matemáticas) curso Práctica Determinar las componentes respecto de {e i } del tensor T, así como sus autovalores. 2. Encontrar una base ortonormal y bien orientada, {ê i }, expresada en la base original, en la que escribir la descomposición diádica espectral de T y escribirla. 3. Determinar el eje y ángulo de la rotación R que transforma la base original, {e i }, en dicha base {ê i }. 4. Considerando la nueva base { _ g i ()}, tal que _ g i T e i, determinar matricialmente las componentes contracovariantes de T en dicha base. (septiembre 2003). Ejercicio 32. Dado en espacio vectorial euclídeo 3, con base canónica {e i }, se considera el tensor de segundo orden T 2(e 2 e 1 e 2 e 3 ). Sea { _ g i } otra base de 3 con _ g 1 e 1, _ g 2 e 1 e 2, _ g 3 e 1 e 2 e 3 y sea la descomposición T S A, con S S t, A A t. Se pide: 1) Determinar las ecuaciones de los subespacios ker(t) e Im(T) expresadas, primero, en componentes en la base y después en componentes covariantes en la base '. [3 puntos] 2) Expresar los tensores T y T 2 como formas diádicas en componentes covariantes puras de la base '. [3 puntos] 3) Sea '' {v i } una base ortonormal, orientada positivamente, formada por autovectores de S ordenados conforme a autovalores crecientes y tal que, para cada i, el ángulo entre e i y v i no supera 90º. Se pide: a) Expresar '' en la base ; b) Escribir los tensores S y A en forma matricial en la base ''. [4 puntos] (enero 2005). Ejercicio 33. Cuestión: Sean B { _ g i } y ˆB { ĝ i } bases de 3 tales que ĝ j C i j_ g i, con C [C i j] una if, jc matriz regular. Si la matriz T [t ij ] contiene las componentes contravariantes puras de un tensor T (2) if, jc en la base B, deducir razonadamente la matriz contravariante pura ˆT [ˆt ij ] if, jc de T en la base ˆB en términos de las matrices T, C y sus inversas o traspuestas si corresponde. [2 puntos] Problema: Sea { _ g i } una base de 3, cuya matriz de Gram es y sea T el tensor de segundo orden cuyas componentes contracovariantes en dicha base se expresan por la matriz [t i j] Sea A T T t. Se pide: 1) Comprobar razonadamente que A es un tensor simétrico y calcular sus componentes contracovariantes en la base { _ g i }. [2 puntos] 2) Determinar una base ortonormal {u i } de autovectores de A, ordenada conforme a autovalores crecientes y bien orientada, expresando cada u i en componentes contravariantes de la base { _ g i }. [3 puntos] 3) Obtener un tensor S (2) tal que S 2 A en componentes contravariantes puras en la base { _ g i }.[3 p.] c) Problemas complementarios Ejercicio 34. En un espacio vectorial euclídeo de dimensión 3, la expresión de un tensor de segundo orden, T, en la base ortonormal {e i } es T e 1 e 1 e 1 e 2 e 2 e 1. Se pide: 1. Componentes contracovariantes de T en la base {_g i }, siendo: _g 1 e 1, _g 2 e 1 e 2, _g 3 e 1 e 2 e Expresión covacontravariante del traspuesto de T en la base {_g i } 3. Componentes contravariantes en la base {_g i } del transformado por T del vector w _g 1 _g 3. (Ex. final junio 96)

6 ETSICCP Métodos Matemáticos de las Técnicas (Matemáticas) curso Práctica 1 6 Ejercicio 35.: Cuestión: Sean {e i } y {ê i } dos bases ortonormales del espacio 3 y T, un tensor de tercer orden, cuya expresión en ellas es T ijk e i e j e k T ^ pqr ê p ê q ê r. Se denota ij cos(ê i, e j ). Se pide: (a) Calcular R ip mi mp. (b) Expresar T ^ ijk en términos de T mnp y los coeficientes qr. (c) Calcular T ^ pqr pi qj rk. Problema: Se dan la rotación R 1, alrededor del vector e 1 e 2 y de ángulo 1 6, y la rotación R 2, de eje e 3 y ángulo 2 3, siendo {e i} una base ortonormal de 3. Se pide: 1) Expresar R 1 en la base cartesiana {e i }. 2) Expresar R 2 en la misma base. 3) Determinar el eje e y el ángulo de la rotación R R 1 R 2.[examen dcbre.2001] Ejercicio 36. Cuestión: Se consideran dos vectores u, v linealmente independientes del espacio vectorial euclídeo 3, y el tensor de segundo orden T : (u) (v). Se pide: 1) Probar la identidad: (u) (v) vu (u v) 1, donde 1 es el tensor métrico o unitario. 2) Deducir las autovalores y autovectores del tensor T, admitiendo que u y v NO son ortogonales. Problema: En 3 con una base ortonormal {i, _j, k} {e i }, se dan los subespacios vectoriales de ecuaciones cartesianas: L 1 {x 3 0}, L 2 {x 1 x 2 }, L 3 {x 3 0 ; x 1 x 2 }. Se pide: 3) Expresión diádica cartesiana de las simetrías S 1, S 2 y S 3 respecto de los subespacios L 1, L 2 y L 3 respectivamente. 4) Matriz cartesiana de la rotación R alrededor del subespacio L 3, que lleva el vector k al vector 1 ( i j ). [Primer parcial, enero 2000] 2 Ejercicio 37. Dados a, b 3, de módulos a, b y formando entre ellos un ángulo (siendo 0<< 2 ), sea T 1 ab (2). Se pide: 1) Autovalores y subespacios invariantes asociados, descritos en términos de a y b. 2) Matriz de componentes contracovariantes de T en la base 1 : {_g i } {a, ab, b(ab)}. 3) Expresar la base 2 {_^g i } {a, b, ab} en componentes contravariantes en la base 1. 4) Matriz de componentes puras contravariantes de T en la base 2. [Examen final, diciembre 2000] Ejercicio 38. Cuestión: Dadas la base {e i }, ortonormal y orientada positivamente, y otra base, {_g i }, tal que _g j ij e i, se pide: obtener razonadamente la relación indicial que proporciona las componentes cartesianas V j de un vector v en términos de las componentes covariantes v i de v en { _ g i } y de los coeficientes ij y expresarla matricialmente en términos de las matrices A [ ij ] if, jc, [v i ] if, [V i ] if, o sus inversas o traspuestas según corresponda. Problema: Respecto de una base {_g i }, de matriz de Gram G y orientada positivamente, el tensor T tiene por matriz de componentes contracovariantes t i j Sea T S A la descomposición de T en sus partes simétrica y antisimétrica. Se pide: 1) Obtener el vector axial de A expresándolo en sus formas contravariante y covariante. 2) Obtener una base espectral de S, {ê 1, ê 2, ê 3 }, orientada positivamente y cumpliendo A ê 1 0, expresándola por sus componentes contravariantes. Escribir la descomposición espectral de T. [valoración indicativa: C 2 puntos; 1 y 2 4 puntos] (diciembre 2003).

7 ETSICCP Métodos Matemáticos de las Técnicas (Matemáticas) curso Práctica 1 7 Ejercicio 39.Cuestión: Sean {_g i } y ^ {_^g i } bases de 3 tales que _^g j C i j_g i, con C [C i j] if, jc una matriz regular. Si la matriz T [t ij ] if, jc contiene las componentes covariantes puras de un tensor T (2) en la base, deducir razonadamente la matriz covariante pura T ^ [^t ij ] if, jc de T en la base ^ en términos de las matrices T, C y sus inversas o traspuestas si corresponde. [2 puntos] Problema: Sean {_i, _j, _k} una base canónica de 3, a una constante entera y el tensor T 7 (_i _i _k 2 _k) a_j_j 2 (_i_j _j _i _j _k _k_j) 1 (_i _k _k_i). Se pide: 2 1) Determinar a sabiendo que T tiene un autovalor 1 2. [1 punto] 2) Encontrar en la base una base ^ {u i } de autovectores de T, ortonormal, de orientación positiva y ordenada conforme a autovalores crecientes de T. [3 puntos] 3) Obtener el ángulo y el eje de la rotación R que lleva hasta ^. [3 puntos] 4) Calcular la matriz en la base de la simetría S respecto al plano vectorial ({u 1, u 2 }). [1 punto] [Jn05] Ejercicio 40. Cuestión: Demostrar razonadamente que si Q es un tensor ortogonal, entonces Q conserva el módulo y los ángulos de los vectores que transforma. [2 puntos] Problema: En el espacio vectorial euclídeo 3 se dan dos vectores, a y b, de módulos a, b y de ángulo agudo entre ellos,. De dos tensores de segundo orden, S y T, se da la siguiente información: (i) S es simétrico; (ii) los vectores a y a b son autovectores de S y también de T, asociados al mismo autovalor 1 = cos ; (iii) b es autovector de T; (iv) ambos tensores tienen igual determinante, de valor a b. Se pide: 1) Determinar el tensor T en la base = {a, b, a b} en componentes puras covariantes. [3 puntos] 2) Determinar el tensor S en la base anterior, en componentes mixtas contra-covariantes. [3 puntos] 3) Determinar el tensor S T en componentes contra-covariantes en la misma base. [2 puntos] (dc05) Ejercicio 41. Sea = {u 1, u 2, u 3 } una base de 3 ortogonal y orientada positivamente, tal que u 1 = 1, u 2 = 2, u 3 = 3. Sea T el tensor cuyos autovectores son v 1 = u 1 u 2, v 2 = u 1 + u 2, v 3 = u 3 y están asociados a los autovalores 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, respectivamente. Se pide: 1) Justificar que ^ = {v 1, v 2, v 3 } es una base de 3 y calcular su matriz de Gram. 2) Dígase razonadamente si T es simétrico o antisimétrico. 3) Determinar los escalares j i tales que T v i = i j v j, siendo {v 1, v 2, v 3 } la base recíproca de, ^ dándolos en forma matricial ( [ j i ] con i = filas, j = columnas). 4) Invariantes del tensor T. 5) Expresión contracova de T en la base. 6) Vector axial de la parte antisimétrica de T en componentes contravariantes en las bases y ^ (spt. 06) Ejercicio 42. Sea { e i } una base canónica de 3 y sean los vectores v 1 = (1, 1, 0), v 2 = (1, 1, 1), dados por sus coordenadas en dicha base, y v 3 = v 1 v 2. Sobre un tensor A se sabe: a) Im(A) = { v 1, v 2 }; b) A v 1 = 2v 2 ; c) A v 2 = k v 1. Se pide: 1) Hallar, si existen, los valores de k y la imagen de v 3 para los cuales A es antisimétrico. 2) Calcular el vector axial asociado a A en ese caso,, expresado en la base = { v 1, v 2, e}, siendo e el vector unitario, ortogonal al plano generado por v 1 y v 2, de modo que tenga orientación positiva. 3) Calcular las componentes de A en la base { e i }. 4) Calcular en la base { e i } las componentes del tensor R de la rotación de eje y de ángulo =. (sp 08) 2 Ejercicio 43.Sea { e i } una base canónica de 3. Sean los vectores v 1 = 2e 1 2e 2 2e, 3 v 2 = e 1 2e 2 e, 3 v 3 = v 1 v 2. Sea T, el tensor definido mediante: T, v 1 = v 1 2v 2, T, v 2 = 2v 1 + v 2, T, v 3 = v 3. 1) Hallar, si existen, los valores de y para los que T, es un tensor axial, dando las componentes del vector axial asociado en la base { e i }.

8 ETSICCP Métodos Matemáticos de las Técnicas (Matemáticas) curso Práctica 1 8 2) a) Comprobar que si 2 = 2 +4, entonces T, es de la forma kr, siendo k un escalar y R una rotación; b) Tomando = 2 y = 6, determinar el valor de k, así como el ángulo y el eje de la rotación, expresando este último en la base { e i }. 3) Es T, un tensor ortogonal para algún par (,) de valores de los parámetros? Justificar la respuesta. 4) Hallar las componentes covariantes de T 1,2 T 2,1 en la base = { w i }, con w 1 = v 1 + v 2, w 2 = v 2 + v 3, w 3 = v 3 + v 1. (primer parcial 2008) Ejercicio 44.Sea { g i } una base de 3 cuya matriz de Gram es G = y sean T un tensor que verifica T g 1 = g 1, T g 2 = g 2, y S, el tensor de la simetría respecto del plano L{ g 1 g 2, g 3 }. Se pide: 1) Determinar T g 3 para que T sea un tensor ortogonal con determinante 1. [2 puntos] 2) Determinar las componentes contra-covariantes de S en la base { g i }. [2 puntos] 3) Si { e i } es la base canónica tal que e 1 y e 2 son los unitarios directores de g 1 y g 2, respectivamente, determinar la matriz de cambio, C, de la base antigua { g i } a la nueva base { e i } y las componentes canónicas de S y T en dicha base. [3 puntos] 4) Obtener en la nueva base el eje e y el ángulo de la rotación R tal que S R = T. (junio 2008)