Sustituyendo la ec. (2.61) en la ecs. (2.26) se tienen las componentes del tensor de esfuerzos: = = =

Transcripción

1 2.4. Termo-elasticidad en materiales isotrópicos Considere un medio continuo no restringido constituido por un material elástico isotrópico en una configuración no deformada. Si se presenta un cambio uniforme de temperatura en el material, todas las líneas infinitesimales en el volumen del elemento sufren una expansión igual, puesto que el material es isotrópico. Por lo anterior, las componentes de deformación debido al cambio de temperatura, con respecto a las coordenadas cartesianas, es. 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0 =0 donde es el coeficiente de expansión térmica del material. Para un medio no homogéneo, el coeficiente puede ser una función de las coordenadas y de la temperatura, = ( ). Ahora considere que el medio continuo se sujeta a fuerzas o desplazamientos que induce esfuerzos,,..., en un punto del sólido. Por consiguiente, si,,..., representas el estado de deformaciones en un punto después de la aplicación de las fuerzas, el cambio de las deformaciones producido por las fuerzas se representa por las ecuaciones: 00 = 00 = 00 = (2.61) 00 = 00 = 00 = Sustituyendo la ec. (2.61) en la ecs. (2.26) se tienen las componentes del tensor de esfuerzos: = (1+)(1 2) [(1 ) + ( + )] = (1+)(1 2) [(1 ) + ( + )] = (1+)(1 2) [(1 ) + ( + )] = (1 2) (1 2) (1 2) (2.62) = = Sustituyendo las ecs. (2.62) en las ecs. (2.32) se tienen las componentes del tensor de deformaciones: = 1 [ ( + )] + = 1 [ ( + )] + = 1 [ ( + )] + = = = (2.63) Para el elemento unidimensional los desplazamiento, deformaciones y esfuerzos debidos al increc Gelacio Juárez, UAM 95

2 mento de temperatura se muestran en la fig. (2.8) y para decrementos en la fig. (2.9). Figura 2.8: Elemento unidimensional sujeto a incremento de temperatura. Figura 2.9: Elemento unidimensional sujeto a decremento de temperatura Ejemplo Un riel de ferrocarril de longitud = 28m se ha proyectado para que, a una temperatura de 0 = 28 C, éste no presente esfuerzos. El material del riel es acero con módulo elástico = kg ycoeficiente de expansión térmica = C 1. Determine el esfuerzo en los rieles cuando la temperatura baja a = 12 C en los siguientes casos: a) Cuando los extremos de los rieles estás fijos. b) Cuando existe una tolerancia al acortamiento =7 mm c) Cuando se registra una temperatura de =50 C y los rieles están fijos. Solución a) El incremento de temperatura es: = 0 = 12 C 28 C= 40 C c Gelacio Juárez, UAM 96

3 Al tratarse de un acortamiento, se producirán esfuerzos de tensión en el riel, de la ec. (2.62): = (1 + )(1 2) [(1 ) + ( + )] (1 2) = = kg ³ C ( 40 C) = kg b) El alargamiento producido por el incremento = 40 C es: = = = =(28m) ³ C ( 40 C) = mm acortamiento Puesto que se tiene una tolerancia al acortamiento =7 mm,eldesplazamientoefectivoes: Por lo que el esfuerzo será: = + = mm + 7 mm = 6126 mm = = kg µ 6126 mm = kg mm c) Si se registra una temperatura final =50 C el incremento es: Los esfuerzos se calculan de la ec. (2.62): = 0 =50 C 28 C=22 C = = kg ³ C 1 (22 C) = kg Ejemplo Una presa de concreto que se proyecto a una temperatura ambiente 0 =15 C se tiene en un punto las deformaciones =8 10 6, = y = a una temperatura de 0 =28 C, éste no presente esfuerzos. El concreto tiene con módulo elástico = kg,coeficiente de Poisson =020 ycoeficiente de expansión térmica = C 1. Determine: a) El estado de esfuerzos sin considerar cambios de temperatura b) El estado de esfuerzos y deformaciones si la temperatura incrementó a =50 C. c) El estado de esfuerzos y deformaciones si la temperatura decrementó a =2 C. c Gelacio Juárez, UAM 97

4 d) Verifique en los incisos b y c que los esfuerzos no excedan el esfuerzo máximo a compresión del concreto de =250kg o el de tensión de =25kg. Solución a) El estado de esfuerzos sin efectos de temperatura es: = (1 + )(1 2) [(1 ) + ( + )] = kg (1 02) = kg (1 + 02) (1 2(02)) = (1 + )(1 2) [(1 ) + ( + )] = kg (1 02) = kg (1 + 02) (1 2(02)) = (1 + )(1 2) [(1 ) + ( + )] = kg (1 + 02) (1 2(02)) b) El incremento de temperatura es: (1 02) = kg = = 0 =50 C 15 C=35 C Incluyendo el efecto de la temperatura el estado de esfuerzos es: = = = (1 + )(1 2) [(1 ) + ( + )] = kg kg (1 2(02)) (1 + )(1 2) [(1 ) + ( + )] = kg kg (1 2(02)) (1 + )(1 2) [(1 ) + ( + )] = kg kg (1 2(02)) c) El incremento de temperatura es: (1 2) ³ C (35 C) = kg (1 2) ³ C (35 C) = kg (1 2) ³ C (35 C) = kg = = 0 =2 C 15 C= 13 C Incluyendo el efecto de la temperatura el estado de esfuerzos es:i c Gelacio Juárez, UAM 98

5 = = = (1 + )(1 2) [(1 ) + ( + )] = kg kg (1 2(02)) (1 + )(1 2) [(1 ) + ( + )] = kg kg (1 2(02)) (1 + )(1 2) [(1 ) + ( + )] = kg kg (1 2(02)) (1 2) ³ C ( 13 C) = kg (1 2) ³ C ( 13 C) = 3168 kg (1 2) ³ C ( 13 C) = kg d) Los esfuerzos a compresión, en el inciso b), son menores a = 250 kg ylos esfuerzos a tensión en el inciso c) son mayores a =25kg, por lo que habría problemas de agrietamiento. c Gelacio Juárez, UAM 99

6 Tarea Una losa de concreto dentro de dos dos muros rígidos, mostrada en la fig. 2.10, se proyectó a una temperatura ambiente 0 =20 C sujeta a una presión en la superficie de 2000 kgm 2.Las propiedades mecánicas del concreto son: módulo elástico = kg,coeficiente de Poisson =020 ycoeficiente de expansión térmica = C 1. Determine el estado de esfuerzos, deformaciones y variación de la longitud que experimentan sus aristas considerando: a) Lapresiónenlasuperficie. b) La presión en la superficie y una temperatura final de =40 C. c) La presión en la superficie y temperatura final de = 2 C. d) Determine si es suficiente una junta constructiva de 5mm en la dirección para las condiciones ) ). Figura 2.10: Losa c Gelacio Juárez, UAM 100