Estado de esfuerzo nulo

Transcripción

1 1.7 Tipos de estado de esfuerzos 1.7. Tipos de estado de esfuerzos Estado de esfuerzo nulo Este estado de esfuerzo corresponde a un punto en un sólido en el que no existe acción de cargas, por lo que las invariantes de esfuerzo son nulas: 1 = = 3 =0 1 = = 3 = σ = Graficando los esfuerzos principales en los ejes del sistema mostrado en la Fig. 1., llamado elipsoide de Lamé, la cual se degenera a un punto. Figura 1.: a) Elipsoide de Lamé degenerada y b) estado de esfuerzos Estado uniaxial de esfuerzo Este estado de esfuerzo corresponde a un punto en un sólido en el que sólo se presenta la acción de cargas en una dirección, por lo que sus invariantes son: 1 6=0, = 3 =0 La ecuación característica dada en la ec. (1.4) queda como: 3 1 =0 ( 1 )=0 ( 0) ( 0) ( 1 )=0 Por consiguiente, los esfuerzos principales son: 1 = 1 ; = 3 =0 c Gelacio Juárez, UAM 33

2 1.7 Tipos de estado de esfuerzos σ = Graficando los esfuerzos principales mostrados en la Fig. 1.3, la elipsoide de Lamé se degenera a una línea. Figura 1.3: a) Elipsoide de Lamé degenerada y b) estado de esfuerzos Estado de esfuerzo plano En este estado de esfuerzos sólo se presenta la acción de esfuerzos en el plano de un medio continuo, pues en la dirección perpendicular a éste los esfuerzos son nulos, por lo que sus invariantes son: 1 6=0, 6=0, 3 =0 La ecuación característica de la ec. (1.4) queda como: Por consiguiente los esfuerzos principales son: =0 1 + =0 ( 0) ( 1 )( )=0 Solo existen dos esfuerzos principales diferentes de ceros σ = Los esfuerzos principales mostrado en la Fig. 1.4, se encuentra en el plano 1y. c Gelacio Juárez, UAM 34

3 1.7 Tipos de estado de esfuerzos Figura 1.4: a) Elipsoide de Lamé degenerada y b) estado de esfuerzos Estado de cortante puro Es un estado plano de esfuerzos plano los esfuerzos principales son iguales en magnitud pero de signo opuesto, las invariantes de esfuerzo son: 1 =0, = 1, 3 =0 La ecuación característica de la ec. (1.4) queda como: Por consiguiente los esfuerzos principales son: + =0 ( 1 )( + )=0 Por ejemplo considere el siguiente estado de esfuerzos: 0 0 σ = En el que los invariantes y esfuerzos principales son: 1 = 0, =, 3 =0 1 = +, =, 3 =0 En la representación de esfuerzos principales, mostrado en la Fig. 1.5, se degeneran la elipsoide de Lamé en un círculo c Gelacio Juárez, UAM 35

4 1.7 Tipos de estado de esfuerzos Figura 1.5: a) Elipsoide de Lamé degenerada a círculo y b) estado de esfuerzos Estado de esfuerzo hidroestático En este estado, los esfuerzos principales son iguales en magnitud: 1 = = 3 Por lo que el tensor de esfuerzos se puede expresar de la forma: σ = = =0, =, 3 =0 En la representación de esfuerzos principales, mostrado en la Fig. 1.6, se degeneran la elipsoide de Lamé a una esfera Figura 1.6: a) Elipsoide de Lamé degenerada a círculo y b) estado de esfuerzos. c Gelacio Juárez, UAM 36

5 Estado general de esfuerzos En este estado, existen esfuerzos en todas las direcciones del sistema de referencia, las invariantes de esfuerzo son: Por consiguiente los esfuerzos principales son: 1 6=0, 6=0, 3 6=0 1 = = σ = Este estado de esfuerzos principales se representa en la Fig. 1.7 como una elipsoide tridimensional. Figura 1.7: a) Elipsoide de Lamé y b) estado general de esfuerzos Esfuerzo Plano Estado de esfuerzos sobre un plano Un plano con normal unitaria n que forma un ángulo con el eje,sedefine un vector unitario m en la dirección tangencial al plano y en el sentido indicado en la Fig Los vectores n y m están dados por: cos n = y m = cos Sea σ el tensor de esfuerzos en el punto con componentes en la base cartesiana: c Gelacio Juárez, UAM 37

6 Figura 1.8: Estado de esfuerzo sobre un plano. σ = (1.49) Utilizando la ec. (1.9), el vector de tracción en el punto sobre el plano considerado es: t = σ n = cos = cos + cos + (1.50) Se definen el esfuerzo normal σ y el esfuerzo tangencial τ, sobre el plano inclinado (Fig. 1.8) como: cos σ = t n =[ cos + ; cos + ] σ = cos + cos + sin (1.51) = t m =[ cos + ; cos + ] cos = cos + sin cos cos (1.5) = [ ]sin cos + sin cos Utilizando las siguientes relaciones trigonométricas: sin( ) = sin cos (1.53) cos = 1+cos( ) sin = 1 cos( ) c Gelacio Juárez, UAM 38

7 las ecs. (1.51) y (1.5) se pueden reescribir como: = + = Rotación del estado de esfuerzos cos( )+ sin ( ) (1.54) sin( )+ cos ( ) (1.55) Sea un estado de esfuerzos plano de la ec. (1.49), definido en un sistema de referencia e, sus componentes en un sistema coordenado 0 e 0 se obtienen mediante la siguiente relación. σ 0 = r σ r (1.56) donde r se define como: cos r = cos (1.57) Ejemplo Sea el siguiente estado de esfuerzo en el sistema coordenado e : σ = (1.58) a) Determine el esfuerzo normal ycortante en un plano con normal =30 y = 10 en dirección antihoraria. Utilice las ecs. (1.54) y (1.55). b) Determine el estado de esfuerzos en un sistema coordenado 0 e 0 rotado un ángulo =30 en dirección antihoraria. Solución a) Para =30 los esfuerzos son: = + cos(60 ) 100 sin (60 ) = (1.59) = sin(60 ) 100 cos (60 )= 89 4 (1.60) Para = 10 los esfuerzos son: = + cos(40 ) 100 sin (40 )= (1.61) = sin(40 ) 100 cos (40 ) = 89 4 (1.6) c Gelacio Juárez, UAM 39

8 b) El estado de esfuerzos en un sistema coordenado 0 e 0 rotado un ángulo =30 es: cos (30 ) sin(30 ) cos (30 ) sin (30 ) σ 0 = r σ r = sin (30 ) cos(30 ) sin (30 ) cos(30 ) σ 0 = Tarea Sea el siguiente estado de esfuerzo en el sistema coordenado e : σ = (1.63) a) Determine el esfuerzo normal ycortante en un plano con normal =40 y = 330 en dirección antihoraria. Utilice las ecs. (1.54) y (1.55). Grafique los esfuerzos. b) Determine el estado de esfuerzos en un sistema coordenado 0 e 0 rotado un ángulo =60 en dirección antihoraria. Grafiqueelestadodeesfuerzos Diagonalización del tensor de esfuerzos El problema de diagonalización del tensor de esfuerzos consiste en, conocidas las componentes del tensor en un cierto sistema de ejes, obtener las direcciones y esfuerzos principales (Fig. 1.9). Figura 1.9: Problema de diagonalización. Las direcciones principales, asociadas a los ejes 0 e 0,definidas por los ángulos y + (Fig. fm16), determinan las inclinaciones de los dosplanossobreloscualeslosesfuerzossólo tienen componente normal, mientras que la componente tangencial =0. Aplicando esta condición en la ec. (1.55) se obtiene: c Gelacio Juárez, UAM 40

9 Sean las siguientes identidades trigonométricas: sin( )+ cos ( ) = 0 (1.64) tan ( ) = (1.65) sin( ) = 1 ± q 1 1+ tan ( ) cos( ) = 1 ± p 1+tan ( ) (1.66) (1.67) sustituyendo la ec. (1.65) en las ecs. (1.66) y (1.67): sin( ) = ± cos( ) = ± r ³ r ³ + (1.68) + (1.69) Las ecs. (1.68) y (1.69) proporcionan dos soluciones (asociadas a los signos + y ) 1 y = 1 +, que definen las dos direcciones principales ortogonales en el plano de análisis. Los correspondientes esfuerzos principales se obtienen substituyendo el ángulo = en la ec. (1.54) σ = + + y sustituyendo las ec. (1.68) y (1.68) en la (1.70). cos( )+ sin ( ) (1.70) σ 1 = + ± ³ r ³ ³ + ± r ³ + = + ± r ³ + + (1.71) Obteniéndose los esfuerzos principales: c Gelacio Juárez, UAM 41

10 σ 1 = + ± s µ + (1.7) c Gelacio Juárez, UAM 4