TEMA II.5. Viscosidad. Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui. Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato DA-UG (México)

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1 TEMA II.5 Viscosidad Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui Departamento de Astronomía Universidad de Guanajuato DA-UG (México) División de Ciencias Naturales y Exactas, Campus Guanajuato, Sede Noria Alta TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 1 / 19

2 Definición La distinción entre un solido y un fluido viscoso es el esfuerzo cortante. En un material solido este es proporcional a la deformación por corte y el material deja de deformarse cuando se alcanza el equilibrio, mientras que el esfuerzo cortante es un fluido viscoso es proporcional a la rapidez de deformación cuando se alcanza el equilibrio. El factor de proporcionalidad para el solido es el módulo cortante; y el factor de proporcionalidad para el fluido viscoso es la viscosidad dinámica, o absoluta. TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 2 / 19

3 Definición Por ejemplo cerca de una pared (ver Figura II.3.1), la rapidez de deformación es dv /dy, donde V es la velocidad del fluido y y es la distancia desde la pared, por lo cual el esfuerzo cortante es τ = µ dv dy τ (tau) es el esfuerzo cortante, y µ (mu) es la viscosidad dinámica, y dv /dy es la rapidez de deformación, que también es el gradiente de velocidad normal a la pared. Un flujo laminar junto a una frontera solida, las unidades para µ son: µ = τ dv /dy = N/m2 (m/s)/m = N s/m2 TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 3 / 19

4 Figura II.5.1: Distribución de velocidad cerca de una frontera TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 4 / 19

5 Muchas de las ecuaciones de mecánica de fluidos incluyen la combinación µ/ρ. Ha esta combinación se le ha dado el nombre de viscosidad cinemática ν = µ ρ = N s/m2 kg/m 3 = m2 s Para un flujo de fluido es posible considerar corrientes de fluido que se desplazan en una dirección general dada, como un tubo, con el fluido más cerca del centro de este moviéndose más rápidamente, mientras que el fluido más cercano a las paredes se desplaza mas lentamente. La interacción entre ambas corrientes, en el caso de un flujo de gas, se presenta cuando las moléculas de gas se desplazan hacia delante y hacia atrás ante corrientes adyacentes, creando así un esfuerzo cortante en el fluido. Este ritmo de actividad de las moléculas del gas aumenta con el incremento de temperatura, se deduce que la viscosidad de un gas debe aumentar (ver Figura II.3.2). TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 5 / 19

6 Figura II.5.2: Sistema de transporte de banda transportadora TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 6 / 19

7 Variación de la viscosidad de gases con temperatura absoluta es la ecuación de Sutherland µ = ( T ) 3/2 T o + S µ o T o T + S donde µ o es la viscosidad a una temperatura T o y S es la constante de Sutherland. Para el aire es 111 K. Para ĺıquidos, aparece un esfuerzo cortante con las fuerzas cohesivas entre moléculas. Estas decrecen con la temperatura, lo cual resulta en un decremento en viscosidad con un aumento en temperatura. Una ecuación para la variación en viscosidad de liquido con la temperatura es µ = Ce b/t donde C y b son constantes empíricas (ver Figura II.3.3). TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 7 / 19

8 Figura II.5.3: Viscosidad cinemática para aire y petróleo crudo TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 8 / 19

9 Ejemplo: La viscosidad dinámica del agua a 20 o C es N s/m 2, y la viscosidad a 40 o C es N s/m 2. Estime la viscosidad a 30 o C. Si despejamos ln C y b resulta ln µ = ln C + b/t = ln C b = ln C b ln C = b = 1936(K) Sustituyendo µ = e 1936/T = N s/m 2 TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 9 / 19

10 Ejemplo: Una tabla de 1 m por 1 m que pesa 25 N baja por una rampa inclinada (pendiente = 20 o ) con una velocidad de 2.0 cm/s. La tabla está separada de la rampa por una delgada peĺıcula de aceite con viscosidad de 0.05 N s/m 2. Despreciando los efectos de borde, calcule la separación entre la tabla y la rampa. Solución: A continuación se ilustra en la Figura II.3.4, la tabla y la rampa (panel izquierdo) y un cuerpo libre de la tabla (panel derecho). Para una velocidad constante de deslizamiento, la fuerza de corte de resistencia es igual a la componente de peso paralelo a la rampa inclinada. Por tanto, F tangente = F cortante W sen(20 o ) = τ A W sen(20 o ) = µ dv dy A TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 10 / 19

11 Figura II.5.4: Rampa y Tabla TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 11 / 19

12 En este caso podemos suponer una distribución lineal de velocidad en el aceite, de modo que dv /dy se puede expresar como V / y, donde V es la velocidad de la tabla y y es la separación entre tabla y rampa. Entonces tenemos W sen(20 o ) = µ V y A o bien, y = µ V A W sen(20 o ) = (0.05 N s/m2 )(0.02 m/s)(1 m 2 ) (25 N)(sen(20 o )) = m = mm TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 12 / 19

13 Fluidos newtonianos vs no newtonianos Los fluidos para los que el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la rapidez de deformación se denominan fluidos newtonianos. Debido a que el esfuerzo cortante es directamente proporcional a la deformación de corte, dv /dy, una gráfica que relaciona estas variables resulta en una recta que pasa por el origen. La pendiente de esta recta es le valor de la viscosidad dinámica (ver Figura II.5.5). Para algunos ĺıquidos el esfuerzo cortante puede no ser directamente proporcional a la rapidez de deformación; éstos se llaman fluidos no newtonianos. TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 13 / 19

14 Fluidos newtonianos vs no newtonianos Figura II.5.5: Relaciones de esfuerzo cortante para diferentes tipos de fluidos. TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 14 / 19

15 Fluidos newtonianos vs no newtonianos Una clase de fluidos no newtonianos, la de fluidos con cortante delgado, tienen la excepcional propiedad de que la razón entre el esfuerzo cortante y la deformación de corte decrece a medida que aumenta la deformación de corte. Algunos fluidos comunes con cortante delgado son las pastas dentales, la salsa de tomate, pinturas y tintas de impresión. Los fluidos para los cuales aumenta la viscosidad con la rapidez de corte se denominan fluidos con cortante gruesa, algunos ejemplos de estos fluidos son mezclas de partículas de vidrio en agua y mezclas de agua y yeso. TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 15 / 19

16 Fluidos newtonianos vs no newtonianos Otro tipo de fluido no newtonianos, llamado plástico de Bingham, actúa como un sólido para pequeños valores de esfuerzo cortante y luego se comporta como un fluido a esfuerzos de corte de valor más elevado. TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 16 / 19

17 Elasticidad Cuando disminuye la presión que actúa sobre una masa de fluido, éste se contrae; cuando la presión decrece, se expande. La elasticidad de un fluido está relacionada con la cantidad de deformación (expansión o contracción) para un cambio dado de presión. Cuantitativamente, el grado de elasticidad está dado por E ν cuya definición es dp = E ν dv V o bien, E ν = dp dv /V donde E ν es el módulo de elasticidad volumétrico, dp es el cambio progresivo de presión, dv es el cambio progresivo de volumen, y V es le volumen del fluido. TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 17 / 19

18 Elasticidad Una forma alterna es E ν = dp dρ/ρ Al comprar las dos ultimas ecuaciones, se puede observar que dρ/ρ = dv /V. Podemos verificar esta igualdad al considerar una masa M dada de fluido, donde M = ρv Si derivamos ambos lados, tenemos dm = ρdv + Vdρ TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 18 / 19

19 Elasticidad Pero dm = 0 porque la masa es constante. Por lo tanto, encontramos que Vdρ = ρdv o dρ ρ = dv V El módulo de elasticidad volumétrico del agua es aproximadamente 2.2 GN/m 2, que corresponde a un cambio de 0.05 % en volumen para un cambio de 1 MN/m 2 en presión. Es evidente que el término incompresible está aplicado en forma justificada al agua. TEMA II.5: Viscosidad J.P. Torres-Papaqui Ondas y Fluidos 19 / 19