Deformación plana Tensión plana. Elasticidad bidimensional
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- María Isabel Ana María Sánchez Márquez
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1 Deformación plana Tensión plana. Elasticidad bidimensional En este artículo vamos a tratar la diferencia entre deformación plana y tensión plana, que son los dos estados de carga principales de la elasticidad bidimensional. Lo mejor para entender cada caso es ver varios ejemplos de cada uno y estudiar el tensor de tensiones y el tensor de deformaciones de cada uno. Hay unas características comunes a ambos casos: Características comunes Tanto la deformación plana como la tensión plana comparten las siguientes características comunes: Geometría: contenida en un plano XY y proyectada en una generatriz paralela al eje Z Cargas: Se encuentran actuando en la superficie y comprendidas en el plano XY. De este modo para definirlas se usan las coordenadas X e Y, (la Z no se usa, no depende de ella). Esto nos lleva a tener un problema bidimensional Deformación plana Hay unas características comunes que definen la deformación plana. Características: La dirección Z es muy grande con respecto a las otras medidas (relativo) No aparecen deformaciones según la dirección Z (a lo largo de la pieza), tampoco deformaciones angulares gamma xz ni yz Vamos a ver algún ejemplo donde se vean claras estas características: Túnel: - Vemos que la dimensión en dirección Z, la longitud del túnel, es muy grande comparado con las otras.
2 - En dirección Z no puede haber deformación, tampoco deformaciones angulares gamma xz ni yz. - Ojo, en cuanto a las tensiones, si pueden aparecer tensiones por el efecto poisson. Las tensiones quedan definidas por el tensor de tensiones (definido más adelante). Figura 1 Ejemplo de deformación plana Túnel Para modelar los casos de elasticidad plana, basta con definir una sección y aplicar las cargas contenidas en esa sección (además de elegir los elementos correctos Elasticidad bidimensional, deformación plana). En la siguiente imagen mostramos un ejemplo del modelo de un túnel: Figura 2 Modelado de la sección de un túnel con CivilFEM Deformación plana Presa: Una presa también es un buen ejemplo de deformación plana. Cumple las mismas características que en el caso del túnel. No hay deformada en la dirección longitudinal ni las deformaciones angulares antes mencionadas y la dirección según Z (largo de la presa) es más grande que las otras dos dimensiones. Como vemos podríamos estudiar una sección de longitud unidad que representaría el total de la presa.
3 Figura 3 Ejemplo de deformación plana - Presa Mostramos ahora el tensor de tensiones y el de deformaciones. Como hemos dicho, la deformación según Z es nula pero sin embargo, la tensión en dirección Z no lo es y además depende del módulo de poisson (ν). Ambas quedan relacionadas de la siguiente manera: Tensión plana σ z = ν. (σ x + σ y ) De nuevo presentamos las características comunes y posteriormente algún ejemplo explicativo. Características: La dirección Z es muy pequeña con respecto a las otras medidas (relativo) Ahora aparecen deformaciones según la dirección Z (a lo largo de la pieza) pero no tensiones según esta dirección (ver tensor de tensiones y deformaciones más adelante para comprobarlo) El ejemplo más típico es el de la placa de espesor delgado: Placa de espesor delgado con agujero:
4 - Vemos que la dimensión en dirección Z es muy pequeña en comparación de las otras dimensiones - Aparecen tensiones en dirección X, tensiones en Y (alrededor del agujero de la placa) y tensiones tangenciales ζ XY, pero no podemos tener tensiones en Z ni ζ XZ ni ζ YZ. - Aunque no pueden aparecer tensiones en dirección Z generalmente tendremos deformadas en esta dirección. Figura 4 Ejemplo de tensión plana Placa delgada Otro ejemplo de tensión plana: Deposito con presión interna: Aunque aparentemente las cargas son perpendiculares, todas las tensiones están contenidas en el plano de la pared del tanque. Cuando se somete al depósito a presión interna aparecen tensiones de membrana, tensiones de tracción que se encuentran contenidas en el plano de la pared del depósito. El espesor del tanque es mucho más pequeño que las otras dos dimensiones del mismo. Figura 5 Ejemplo de tensión plana Depósito a presión Vamos a ver el tensor de tensiones y de deformaciones y comprobamos lo que ya hemos comentado.
5 Como hemos dicho antes, sabemos que las deformaciones no son nulas en Z, que vuelven a estar relacionadas con el módulo de poisson y las tensiones en las otras dos dirección. Vienen dadas por: ε z = ν E (σ x + σ y ) Espero que con este sencillo ejemplo hayan quedado un poco más claras las diferencias entre tensión plana y deformación plana, siendo ambos dos estados pertenecientes a la elasticidad bidimensional.
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