Agustin Martin Domingo

Transcripción

1 Elasticidad. Física Mecánica de las Construcciones.. Martín. Grupo F. ETSM-UPM 1 1. Una barra rígida de longitud L se mantiene en posición horiontal colgada por sus etremos de dos hilos verticales. Los hilos son L del mismo material elástico tienen igual sección, pero la longitud de uno de ellos es doble de la del otro. En qué punto podrá cargarse verticalmente la barra sin que deje de mantenerse horiontal? gustin Martin Domingo Los etremos de una varilla de acero de 8 mm de diámetro se unen mediante sendas articulaciones a un punto fijo a una desliadera que puede moverse en la dirección normal a la varilla. Calcular el ángulo que gira la varilla la tensión que eperimenta cuando se aplica una fuera F de 5 kn tal como se indica en la figura. Módulo de elasticidad del acero E = 200 GPa. 40 mm 70 mm 40,01 mm Un prisma recto de aluminio de cm se sitúa entre dos paredes paralelas rígidas que distan 40,01 mm se comprime tal como indica la figura. Representar gráficamente el acortamiento del prisma frente a la carga de compresión aplicada hasta un valor de 150 kn. E = 70 GPa. Coeficiente de Poisson: 0,3 Un elemento prismático de dimensiones a,b,c con módulo de Young E, coeficiente de Poissonν coeficiente de dilatación cúbicaα v se encuentra situado entre las placas rígidas de una prensa sin que inicialmente haa tensión sobre las caras. Si se produce un aumento de temperatura de 10 C la separación entre placas de la prensa permanece invariable, calcúlense, despreciando la fricción entre el prisma la prensa: (a) (b) Tensión sobre las caras de contacto con la prensa. Deformación unitaria en las caras laterales. E =100 MPa;ν =0,25;α v = ( C) 1. Tres prismas de dos tipos de materiales se encuentran sujetos a dos placas rígidas según se muestra en la fig. La sección conjunta de los prismas de tipo es igual a la de tipo. Si se incrementa la temperatura en T los coeficientes de dilatación lineales respectivos son α α. Calcúlese: (a) El estado tensional en los prismas. (b) Deformaciones unitarias en las tres direcciones del prisma. Datos: E =2E ; ν =ν =ν. 6. El pilar de hormigón de un puente, de altura h =16 m sección variable, está sometido a una carga de compresión P = 500 toneladas. Determínese: (a) La le de variación de las secciones transversales para que, teniendo en cuenta el peso propio del pilar, la tensión sea igual en todas las secciones e igual a la tensión admisible. (b) La variación de la altura del pilar. (c) El volumen del pilar. con los datos complementarios: Tensión admisible:σ a =20 kg/cm 2. Peso específico del pilar:γ =2200 kg/m 3. Módulo de elasticidad lineal (o de Young) del hormigón:e = kg/cm 2. Coeficiente de Poisson del hormigón:0,125. b F c

2 Elasticidad. Física Mecánica de las Construcciones.. Martín. Grupo F. ETSM-UPM 2 7. Una barra uniforme de longitud L gira en un plano alrededor de uno de sus etremos con velocidad angular constante ω. Que alargamiento eperimenta por efecto del giro, si está fabricada con material elástico de densidad ρ módulo de Young E? gustin Martin Domingo 8. Una viga pretensada cua sección transversal está compuesta por120 cm 2 de hormigón 4 cm 2 de acero se ha construido manteniendo las armaduras traccionadas a 1200 MPa hasta el endurecimiento del hormigón, liberándolas después. Que carga de compresión habrá que aplicar sobre la viga para que las armaduras no estén sometidas a tensión? Que tensión soportaría el hormigón en ese caso? Módulos de elasticidad: cero:210 GPa, Hormigón:35 GPa 9. En una vivienda se desea instalar un depósito cilíndrico de agua, construido con un fibrocemento cua resistencia a tracción es de 4 MPa. Las dimensiones del depósito deben ser las siguientes: altura 2 m, diámetro =1,5 m. Ha de colocarse en disposición vertical habitualmente estará lleno de agua hasta el borde. Calcular el espesor mínimo de la pared cilíndrica con un factor de seguridad de1, Un elemento elástico está compuesto de tres subelementos de dos materiales 1 2 en contacto entre sí (ver fig.). Sobre este elemento compuesto actúan, por mediación de placas rígidas, unas fueras de tracción de N que se distribuen uniformemente. Se pide: (a) Calcular el cociente σ/ǫ módulo de Young efectivo del elemento compuesto. (b) Calcular las tensiones de cada subelemento. Datos: S 1 =4 cm 2, S 2 =8 cm 2, E 1 =130 GPa,E 2 =180 GPa. 4 cm 6 cm 3 cm Un prisma recto de 0,78 m 2 de base está formado por tres capas distintas cuos espesores módulos cortantes respectivos son: 3, 6 4 cm, 10, GPa. Calcular el desplaamiento relativo entre las bases del prisma cuando una de ellas se mantiene fija sobre la otra se aplica una fuera cortante de 1,8 MN. 12. El tensor de tensiones referido a un sistema de ejes es el siguiente, obteniéndose nuevos ejes mediante la tabla mostrada: [τ]= /5 0 4/ /5 0 3/5 (a) (b) Determinar los vectores tensión sobre cada uno de los nuevos planos coordenados en términos de las componentes referidas a los ejes antiguos. continuación proectar cada uno de los vectores obtenidos en el apartado (a) sobre los tres nuevos ejes de coordenadas verificar que las nueve nuevas componentes que se obtienen para el tensor de tensiones son iguales a las que se obtienen mediante las fórmulas de transformación de un tensor de segundo orden bajo rotación de ejes. 13. Determinar las tensiones principales del tensor de tensiones con componentes rectangulares cartesianas dadas por la matri (MPa) (a) Obtener los cosenos directores de cada dirección principal, para un sistema orientado a derechas. (b) Calcular el invariante de primer orden (la traa) del tensor, utiliando las componentes principales las originales, verificando que se obtiene el mismo resultado por los dos procedimientos. (c) Separar el tensor en suma de sus componentes hidrostáticas desviadoras. (d) Obtener las tres componentes rectangulares del vector tensión actuando sobre un plano que pasa por ese punto cuo vector unitario normal es (2/3, -2/3, 1/3). (e) Obténgase la magnitud del vector tensión de (d), su componente en la dirección de la normal el ángulo entre el vector tensión la normal L ω

3 Elasticidad. Física Mecánica de las Construcciones.. Martín. Grupo F. ETSM-UPM Un estado de tensión plana corresponde a una distribución de tensiones tal que, para una determinada dirección, normalmente designada por, se anulan las tensiones normales cortantes siguientes: σ, τ, τ, τ, τ. Para este caso, (ver figura), determinar la tensión normal que actúa según un plano cua dirección normal está inclinada 60 respecto del eje. σ = 35 kg/mm 2 ; σ = 7 kg/mm 2 ; τ = τ = 2 kg/mm 2 gustin Martin Domingo 15. La matri de las componentes cartesianas del tensor de tensiones en un punto es la siguiente: a Escoger a para que eista un plano que contenga a ese punto que esté libre de esfueros. Determinar la normal a dicho plano. 16. Si las componentes rectangulares de la tensión son las de la matri siguiente, determinar el vector normal a un plano paralelo al eje sobre el que el vector de esfueros sea tangente al plano (cortante puro). a 0 d 0 b e d e c 17. La fibra de un elemento de madera forma un ángulo de 15 con la vertical como se 250 MPa muestra en la figura. Determinar, para las tensiones aplicadas que se muestran en la figura: 15 (a) Componente cortante del vector tensión a través del plano paralelo a la fibra. (b) Componente normal del vector tensión en el mismo plano. 18. En unas pruebas elásticas se observa que cuando un cierto material isótropo está sometido al estado de tensiones descrito por el tensor[ˆτ] = (MPa), el tensor de deformaciones correspondiente es[ˆǫ] = 2, , Determinar 0 0 3, (a) Módulo de elasticidad coeficiente de Poisson del material. (b) Variación de temperatura que debería producirse, manteniendo el mismo estado de tensiones, para que el volumen pase a ser el que había antes de aplicar las tensiones. (c) Qué deformación elástica se producirá si se aplica una tensión cortante adicionalτ =10 MPa? Datos complementarios:α l =10 5 C 1 E,G= 2(1+µ) P 2 P 1 P 1 P 2 P2 P 2 Un elemento estructural prismático de cm 3 soporta las cargas que se indican en la figura, esto es, P 1 = 500 kg P 2 = 100 kg. Prescindiendo de las cargas debidas a su propio peso, calcular: (a) Las tensiones las direcciones principales. (b) Cortante máimo (valor numérico, en MPa, dirección) Datos:E =70 GPa, Coeficiente de Poisson:0,3 σ n 60

4 Elasticidad. Física Mecánica de las Construcciones.. Martín. Grupo F. ETSM-UPM un pequeño cubo se le somete a una tracción de 200 kg/cm 2 sobre las caras perpendiculares al eje, a un esfuero cortante de 100 kg/cm 2 paralelo al eje de orientación positiva, sobre las caras perpendiculares al eje, viceversa, además a un incremento de temperatura de 10 C. Determínese: (a) El tensor de deformaciones en un punto del cubo (el origen). (b) El ángulo girado por un segmento infinitesimal, situado sobre la diagonal del cubo que pasa por el origen. (c) Tensiones normal tangencial sobre una sección cuo vector normal es: 2 n= 2 ( u + u ) gustin Martin Domingo Datos: E =10 6 kg/cm 2 ; Coeficiente de Poisson:0,25;α=3α L = C 1 Sobre una de las caras de un cubo de un material elástico el vector tensión tiene por módulo kg/cm 2 se encuentra en un plano perpendicular al eje, formando un ángulo de 30 con el eje (Véase la figura). Siendo nulas las tensiones sobre las caras perpendiculares al eje O, determínense: (a) El vector tensión sobre las caras de forma que el cubo esté en equilibrio. (Considerando que sobre las caras perpendiculares al eje O actúan únicamente las tensiones cortantes necesarias para que el cubo se encuentre en equilibrio). (b) Epresión, en los ejes dados, del tensor de deformaciones. (c) Dirección en la que el vector tensión tiene módulo mínimo. Datos: E = kg/cm 2, Coeficiente de Poisson:0,25. Una barra prismática de sección cuadrada con una longitud L se encuentra fija al plano sometida a tensiones en la dirección del eje O tales que: ( ǫ =ǫ = νǫ ; ǫ ()=a 1 ) L dondeaes una constante positiva ν el coeficiente de Poisson. Determinar: (a) Tensor de tensiones referido a los ejes dados. (b) Valor de las tensiones constantes de tracción en la dirección O que producirían el mismo alargamiento total que el estado de tensiones anterior. Datos:Módulo de Young:E = kg/cm 2 ; Coeficiente de Poisson:0,25. Se considera una ménsula de un material de peso específico γ, módulo de elasticidade coeficiente de Poissonν de seccióna b longitudl, sometida a un momento M en el etremo según se muestra en la figura. Se pide: (a) (b) (c) l Tensor de tensiones. Tensor de deformaciones. Eplicitar las hipótesis específicas que han utiliado para la resolución de los dos primeros apartados, justificándolas. Se considera la viga biapoada de longitud a sección b c que se muestra en la figura, sometida a una carga centrada situada en el punto medio (la flecha es mu pequeña respecto a la longitud de la viga). En la hipótesis de que no pesa, se pide: (a) Tensor funcional de tensiones en toda la piea. (b) Tensor de deformaciones en toda la piea. (c) Eplicitar, justificándolas, las hipótesis utiliadas. d 30 l a P O O b d M c

5 Elasticidad. Física Mecánica de las Construcciones.. Martín. Grupo F. ETSM-UPM l a b gustin Martin Domingo P h Se considera el pilar de la fig. de sección a b altura l, sometido a una carga centrada P que actúa a una altura h. El material tiene un peso específico γ, un módulo de Young E, un coeficiente de Poisson ν un módulo de rigide G. Se pide: (a) Tensor de tensiones en toda la piea. (b) Tensor de deformaciones en toda la piea. Un pilar, de peso específico γ sirve de soporte a un tablero. El peso total de éste con su estructura es P se reparte de forma uniforme en la parte superior del pilar. El centro de gravedad del conjunto tablero estructura está situado a una distanciaddel eje del pilar. Se pide: (a) Caracteriar el tensor de tensiones en un punto genérico de una sección del pilar. (b) Tensor de deformaciones Datos: dimensiones de la barraa,b,c, módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson µ. Un elemento compuesto de dos prismas de materiales se encuentra situado entre las placas rígidas de una prensa sin que inicialmente haa tensión sobre las caras (ver figura). Si se produce un aumento de temperatura de 10 C la separación entre las placas de la prensa permanece invariable, calcular, despreciando el peso la fricción de los prismas: L b d (a) Relación entre las deformaciones unitarias longitudinales en la dirección, ǫ /ǫ, para las dimensiones dadas. Raonar la respuesta. (b) Tensiones longitudinales en los prismas. (c) Deformaciones en las caras transversales. (d) Distancia que se desplaa la superficie de separación entre. Datos: L =2L =2 cm; Módulo de Young E =2E =200 GPa, Coeficientes de dilatación lineal α =2α = 10 5 C 1, coeficientes de Poissonν =ν =0,25. Un elemento elástico está compuesto de dos prismas de materiales según se muestra en la figura. Sobre este elemento compuesto actúan, por mediación de placas rígidas, unas fueras de compresión de N, que se distribuen uniformemente. Despreciando el peso de los prismas, calcular: (a) Deformaciones unitariasǫlongitudinales transversales en en (b) largamientos longitudinales de variación de volumen de la piea. (c) Cocienteσ/ǫ, conǫ= L/L 0 σ=f/s L 0 =L +L. Datos:L =L =5 cm, Módulo de YoungE =2E =200 GPa, S =S =S =10 cm 2, coeficientes de Poisson ν =ν =0,25. F L c a P L L F

6 Elasticidad. Física Mecánica de las Construcciones.. Martín. Grupo F. ETSM-UPM Una piea de madera, de sección transversal cuadrada de 5 5 cm 2 tiene una junta encolada como se indica en la figura está sometida a una fuera de tracción P. Si las máimas tensiones de trabajo admisibles para la cola son respectivamente deσ ad =7 MPa para la tensión de tracción máima admisible τ ad =4,2 MPa para la tensión cortante máima admisible, calcular: (a) Tensiones normales cortantes (en función del ángulo Φ) en el plano que forma un ángulo Φ con el vertical según se muestra en la figura. (b) Si el rango admisible de ángulos es de 0 a 45 grados, calcular el ángulo óptimoφ para que la junta tenga su máima resistencia a la tracciónp. (c) Fuera de tracción máima admisible en esas condiciones gustin Martin Domingo P S Φ 30. una temperatura de10 C, un cubo elástico de pequeñas dimensiones está sometido a un estado tensional que, referido a un sistema de coordenadas cartesiano, está dado por σ = MPa Se introduce dicho cubo en un líquido a una profundidad de 100 m. Sabiendo que la densidad del líquido es de 1, kg/m 3 que en él eiste un aumento de temperatura de1 C por cada metro de profundidad, determinar: (a) El tensor de tensiones del cubo en el interior del líquido. (b) El tensor de deformaciones del cubo antes después de introducirlo en el líquido. (c) La dilatación cúbica unitaria cuando está en el interior del líquido. (d) Cuál es la componente de presión hidrostática antes después de introducirlo en el líquido? Datos: Coeficiente de dilatación térmica lineal,α l =10 6 C 1, celeración de la gravedad:g 10 m/s 2, Módulo de elasticidad:e =10 5 MPa, Coeficiente de Poisson,ν =0,3. Un pequeño cubo de un material elástico, homogéneo e isótropo, sufre una dilatación cúbica unitariaθ = como consecuencia de un aumento de la temperatura de T = 12 C, a su ve eperimenta una deformación tal que el ángulo entre las aristas dirigidas inicialmente según los ejes O O diminue en radianes. Determinar: (a) El coeficiente de dilatación cubica el coeficiente de dilatación lineal. (b) Epresión del tensor de deformaciones. (c) La presión hidrostática el tensor de tensiones. (d) Las componentes tangencial normal del vector tensión que actúa sobre la sección CD de la figura. Comente el resultado obtenido. Datos: Módulo de YoungE =50 GPa, Coeficiente de Poissonν =0,25, Módulo de E rigideg= 2(1+ν) S P D C