Capítulo 5: Deformación elástica de los laminados
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- Cristina Ramos Godoy
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1 Capítulo 5: Deformación elástica de los laminados Deformación elástica de materiales anisótropos Ley de Hooke Efecto de la simetría Constantes elásticas no axiales de las capas Procedimiento de cálculo Constantes ingenieriles Deformación elástica de los laminados Cargando un laminado Comportamiento esperado Tensiones y distorsiones Laminados compensados Tensiones en capas individuales de un laminado Tensiones entre capas y laminados simétricos
2 Ley de Hooke Tensor de tensión: [σ ij ], tiene 3 x 3 9 componentes σ ii σ i (tensión normal) σ ij τ ij (tensión tangencial); además, τ ij τ ji Tensor de deformación: [ε ij ], idem Atención: γ ij e ij +e ji ε ij Relación entre ambos: ley de Hooke generalizada: [σ ij ] [C ijkl ] [ε kl ] o bien: [ε ij ] [S ijkl ] [σ kl ] La matriz C (matriz de rigidez) es de cuarto orden y tiene componentes! La matriz S (matriz de flexibilidad) es la inversa de la matriz C
3 Efecto de la simetría (I) MATERIALES COMPUESTOS Por simetría intrínseca de los tensores de tensión (σ ij σ ji ) y deformación (ε ij ε ji ), el número de constantes elásticas se reduce a 36: σ C C C C C C σ C C C C C C σ 3 C C C C C C τ 3 C C C C C C τ 3 C C C C C C τ C C C C C C ε ε ε 3 γ 3 γ 3 γ ó ε S S S S S S ε S S S S S S ε 3 S S S S S S γ 3 S S S S S S γ 3 S S S S S S γ S S S S S S σ σ σ 3 τ 3 τ 3 τ Además, por consideraciones termodinámicas: C ij C ji & S ij S ji Con lo que quedan constantes elásticas Además, el material puede ser: Ortótropo (3 planos de simetría perpendiculares) 9 constantes (el caso de una capa) Isótropo sólo constantes: E; G y ν; con la relación entre ellas: E G +ν ( )
4 Efecto de la simetría (II) Efecto de la simetría (II) Forma de las matrices S ij y C ij para diversas simetrías del material + c c b a b a Anisótropo Ortótropo Transversalmente ortótropo constantes 9 constantes 5 constantes + (S -S ) c c c a b a b b a Isótropo, constantes E S E S ν ( ) +ν E G
5 Constantes elásticas no axiales de las láminas: Procedimiento de cálculo (I) Las capas, por su geomería, son ortótropas [ S] S S S3 S S S 3 S3 S3 S33 S44 S55 S66 Una primera aproximación: suponemos tensión plana en la capa σ 3 τ 3 τ 3 ε S S ε S S γ S 66 σ σ τ con: S S S S 66 E ν ν E E E G
6 Constantes elásticas no axiales de las láminas: Procedimiento de cálculo (II) Pero la capa puede ser cargada en una dirección arbitraria: σ x ( σ ) 3 z x ( ) φ σ τ σ y ( σ ) σ y ( ) φ τ xy ( σ ) Con lo que estamos rotando los ejes: σ σ τ σ x y τ xy [ T] σ ; con: [ T] c s cs s c cs cs cs c s y ε ε γ ε x y γ xy [ T' ] ε ; con: [ T' ] c s cs s c cs cs cs c s
7 Constantes elásticas no axiales de las láminas: Procedimiento de cálculo (III) Despejando, queda: Donde: ε x ε σ x σ x ε y ε σ y [ ] σ y γ xy γ τ xy τ xy [ ] [ ] [ ] [ ] con T' T' S T S [ S ] ( + 66) 4 4 ( + ) + ( + 66) ( + 66) 3 ( ) ( 66) 3 ( ) ( 66) 3 3 ( ) + S 4 ( c 4 + s ) S S c S s S S c s S S c s S S S c s S S s S c S S c s S S S S c s S S S s c 6 66 S S S S s c S S S c s 6 66 S S S S S c s Y analogamente, se obtendría la matriz de rigidez girada 66 S S S S S S S S S
8 Constantes elásticas no axiales de las láminas: Constantes ingenieriles (I) A partir de la matriz de flexibilidad: Y dos constantes nuevas: Ex S Ey S Gxy S66 ν xy ES x ν yx ES y los coeficientes de interacción, que indican la interacción tensión normal /tensión cortante η xyx γ xy γ xy ES x y η xyy ES ε ε x 6 y 6 y
9 Constantes elásticas no axiales de las láminas: Constantes ingenieriles (II) Variación de E y G en función del ángulo φ, para un epoxi / 5% vidrio Módulo elástico, Ex Módulo de cortante, Gxy Módulo (GPa) Ángulo (º)
10 Constantes elásticas no axiales de las láminas: Constantes ingenieriles (III) Variación de E y G en función del ángulo φ, para un Ti / 5% SiC 3 5 Módulo elástico, Ex Módulo de cortante, Gxy Módulo (GPa) Ángulo (º)
11 Constantes elásticas no axiales de las láminas: Constantes ingenieriles (IV) Variación de η xyx en función del ángulo φ, para un epoxi / 5% vidrio Coeficiente de interacción, ηxyx Ángulo (º)
12 Constantes elásticas no axiales de las láminas: Constantes ingenieriles (V) Variación de ν xy en función del ángulo φ, para un epoxi / 5% vidrio.6.5 Coeficiente de Poisson, νxy Ángulo (º)
13 Deformación elástica de laminados: Cargando un laminado (I) Suposiciones de Kirchoff: El laminado es plano y fino No existen tensiones en la dirección del espesor Se desprecian los efectos de borde (laminado infinito) MATERIALES COMPUESTOS Entonces, la tensión global en la dirección x (σ xg ) será (modelo de bloques): n ( σ xktk ) σ xg k C ε + C ε + C6 γ t n g xg g yg g xyg k k como: σ xk C k ε xg + C k ε yg + C 6 k γ xyg queda: C g n ( Cktk) k n k t k y, análogamente, las demás C ijg
14 Deformación elástica de laminados: Cargando un laminado (II) MATERIALES COMPUESTOS Si necesitamos las componentes de la matriz de flexibilidad: S S S S S S ( C C C ) 66 6 ( CC C ) 66 6 ( C C C C ) ( CC C ) ( C C C C ) 6 6 ( C C C C ) 6 6 con C C C + C C C C C C C C C
15 Deformación elástica de laminados: Comportamiento previsible (I) Módulo elástico (GPa) Unidireccional /9 /45/9/35 Linear (/45/9/35) Ángulo (º)
16 Deformación elástica de laminados: Comportamiento previsible (II) Módulo de Poisson (νxy) Unidireccional /9 /45/9/35 Linear (/45/9/35) Ángulo (º)
17 Tensiones y distorsiones: Laminados equilibrados MATERIALES COMPUESTOS Coeficiente de interacción (ηxyx) Ángulo (º) Unidireccional +3/-3 /9 /6/ /3/6/9//5 Linear (/3/6/9//5)
18 Tensiones y distorsiones: Tensiones en una capa (I).5 MATERIALES COMPUESTOS /9 /45/9/35 Relación σº/σc Ángulo (º)
19 Tensiones y distorsiones: Tensiones en una capa (II) σ x Para el Epoxi / 5% vidrio: la mayoría de la carga axial la transmite la capa a º Aparece tensión normal en la dirección transversal '4 σ x - 7 σ x 7 σ x '6 σ x σ x
20 Tensiones y distorsiones: Efecto del pegado de las capas Carga externa Calentamiento T Dilatación de las capas Efecto de Poisson Distorsión debida a la unión entre capas Distorsión debida a la unión entre capas
21 Tensiones y distorsiones: Laminados simétricos Grandes ventajas: No aparecen alabeos Los planos permanecen planos Mayor número de capas más finas reducción de las tensiones interlaminares Aún mejor: laminados simétricos y equilibrados Sin embargo, existen otras consideraciones Estado de tensiones concreto al que será sometido Probable modo de fractura Tipo y magnitud de las distorsiones admisibles Conclusión: se necesita una información muy detallada de las características requeridas gran importancia del diseño del material
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