SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SISMICA Tema II. Propagación de ondas sísmicas: Ondas internas.

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1 SISMOLOGÍA E INGENIERÍA SISMICA Tema II. Propagación de ondas sísmicas: Ondas internas. I. Introducción II. Mecánica de un medio elástico. Ecuación del desplazamiento en un medio elástico, isótropo, homogéneo e infinito. Ecuación de Navier. Ecuación de ondas: Ondas P y ondas S. Solución de la ecuación de ondas. Frentes de onda y rayos. Desplazamiento, velocidad y aceleración. Ondas Planas. III. Desplazamientos de las ondas (u P, u S ) Funciones potenciales del desplazamiento y de la fuerza. Expresiones analíticas del desplazamientp. Geometria del desplazamiento de las ondas P y S. Funciones potenciales particulares. IV. Propiedades de las ondas al cambiar de medio de propagación. Principio de Fermat y Ley de Snell Reflexión y refracción en la superficie de discontinuidad de dos medios líquidos. Rayo de incidencia normal (i0). Incidencia crítica (i c ) V. Propagación de los rayos sísmicos. Trayectorias y tiempos de llegada

2 TEMA : PROPAGACIÓN DE ONDAS SÍSMICAS: ONDAS INTERNAS Obetivo: Estudiar las ideas más fundamentales de la elasticidad aplicada al estudio de la propagación en el interior de la Tierra de las ondas sísmicas. MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO... Ecuacion del desplazamiento en un medio elástico, isótropo, homogéneo e infinito. Ecuación de Navier. ª Ley de Newton: r r d r FdV + TdS dv V S dt ρυ V F: Fuerzas por unidad de volumen T: Vector de Esfuerzos (fuerza/superficie)

3 TEMA : PROPAGACIÓN DE. MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO. ONDAS INTERNAS.. Ecuacion del desplazamiento en un medio elástico, isótropo, homogéneo e infinito. Ecuación de Navier. T: se puede expresar en términos del tensor de esfuerzos de acuerdo con la Ecuación de Cauchy: T i τ i υ r τ i TdS S Sustituyo y Aplico T. Gauss τ iν ds S Sustituyo y agrupo todo como una integral de volumen τ i x d ρ υ ρ υ ν υ i i i + Fi + dt t x V x dv

4 TEMA : PROPAGACIÓN DE. MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO. ONDAS INTERNAS Ecuaciones de un Medio Elástico Relación esfuerzos y deformaciones: (Ecuación Constitutiva) e i ui + x C e Si el medio es elástico: Ley de Hooke: τ i ikl kl u x La cte es un tensor de cuarto rango que debido a la simetría tiene elementos distintos. Isotropía que sólo dos son idptes τ δ λ e + µ e λ y µ coef. de Lamé i i kk i Si el medio es homogéneo λ y µ son ctes. µ: módulo de cizalla o rigida y relaciona los esfuerzos y deformaciones cortantes o de cizalla µ i i τ i ei

5 TEMA : PROPAGACIÓN DE. MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO. ONDAS INTERNAS Ecuaciones de un Medio Elástico λ K µ K: coeficiente volumétrico o de compresibilidad 3 P V u u u K con e + e + e + + θ µ θ δ 3 ; 3 V x x x Relación entre elongaciones y contracciones en dos direcciones perpendiculares lo da el coeficiente de Poisson: λ σ e 0 < σ < / e ( λ + µ ) Para la corteza y manto de la Tierra σ ¼ λ µ 3

6 TEMA : PROPAGACIÓN DE. MECÁNICA DE UN MEDIO ELÁSTICO. ONDAS INTERNAS Ecuaciones de un Medio Elástico τ i x d ρ υ ρ υ ν υ i i i + Fi + dt t x e i ui + x u x i F 0 (No F.Ext) τ δ λ e + µ e i i kk i r r r ( λ + µ ) ( u) + µ α r θ β r r ω r u r u t ρ r u t Ec: Navier

7 TEMA : PROPAGACIÓN DE.. Ecuación de ondas: Ondas P y S. θ λ + µ Aplico el operador divergencia θ ; con α α t ρ Aplico el operador rotacional ω ω µ β ; con β t ρ Son ecuaciones de onda: ω u La º representa una perturbación elástica de cambio de volumen sin cambio de forma (onda longitudinal) con velocidad α (Ondas P ) La ª representa cambios de forma sin cambio de volumen (ondas transversales, su velocidad es β (onda S) Ambas son llamadas Ondas Internas: Propuestas por Poisson(830) y Stokes (849).

8 ONDA P PROPAGÁNDOSE ONDA S PROPAGÁNDOSE

9 TEMA : PROPAGACIÓN DE Expresión en función de φ y ψ u φ + ψ t t t t ψ β ψ ψ ψ β φ α φ φ φ α r r r r u u P + u S u P φ u S ψ.. Ecuación de ondas: Ondas P y S.

10 TEMA : PROPAGACIÓN DE..3 Soluciones de la ecuación de ondas. Frentes de ondas y Rayos x f (x,t) c t f (x,t) Ecuación de ondas monodimensional c d R(x) ω R(x) dx d R(x) + k dx R(x) 0 con d R(x) dx k ω c ω c R k R f (x,t) A e i(kx ωt) + B e i(kx+ωt) T(t) d T(t) d t ω d T(t) d t ω T(t) d T(t) d t + ω T(t) 0

11 TEMA : PROPAGACIÓN DE..3 Soluciones de la ecuación de ondas. Frentes de ondas y Rayos f(x,t) f(x-ct) + f(x+ct) Soluciones particulares i(kx ωt+ε) f (x,t) C e f (x,t) C cos[k (x-ct)+ε] f (x,t) A cos (kx-ωt)+ B sen (kx-ωt) C A + B ε tan - (B/A) x f (x,t) C cos π λ Fase: ξ k ( x ct) + ε t T + ε Solución General.

12 TEMA : PROPAGACIÓN DE..3 Soluciones de la ecuación de ondas. Frentes de ondas y Rayos Frentes de onda y Rayos f (x,t) A exp { i(k S(x ) ω t + ε) } ω S(x ) t k ε k y ω S(x ) t k ε k n i S x S x i : Orientación del Rayo i d x S x d x S x d x S x 3 3 :Trayectoria de los rayos. S / t ω / k c : Velocidad de fase

13 TEMA : PROPAGACIÓN DE..3 Soluciones de la ecuación de ondas. Frentes de ondas y Rayos Ondas de varias frecuencias f (x i,t) + ω F( ω)exp i S(x i ) ω t dω π c( ω) F( ω) R( ω) + ii( ω) A( ω)e iφ( ω) F( ω) + f (t)e iωt dt

14 TEMA : PROPAGACIÓN DE..4 Desplazamiento, Velocidad y Aceleración u(x, t) x Acos ω t c + ε v(x, t) u(x, t) x Aωsen ω t + ε t c v(x, t) x a(x, t) Aω cos ω t + ε t c

15 TEMA : PROPAGACIÓN DE..5 Ondas Planas S(x, x, x 3 ) x n + x n + x 3 n 3 :Ecuación del frente de onda φ f x f + x A exp{i k f + x α (n 3 f c t x αt + ε)} r u u P P k f(x, t) A exp {i k x - ωt + ε} r r φ (Aexp{ ik (u P,u P,u P 3 α ) Aik (n x α (n,n αt +ε)}),n )exp{ ik 3 α (n x αt +ε)} ψ k B k exp{i k β (n x βt + η)} r u u S S k ik r r ψ (u β S {(B exp{i k,u 3 n β S,u (n B S 3 x ) n 3 ),(B n βt + η)} 3 B 3 n ),(B n B n )}

16 TEMA : PROPAGACIÓN DE..5 Ondas Planas La onda P se propaga en la dirección del rayo. Onda longitudinal. La onda S se propaga perpendicularmente a la dirección del rayo. Onda transversal.

17 TEMA : PROPAGACIÓN DE.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S P u A exp i[ kα ( ν x αt) + ε] k k S uk Bk exp i[ k β ( ν x βt) + η] r r u φ + ψ; con r ψ 0

18 TEMA : PROPAGACIÓN DE.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S Los potenciales φ y ψ son soluciones de la ec. de onda en la forma: φ α t φ r ψ r ψ α Si φ y ψ funciones armónicas en el tiempo: φ(x i, t) φ(x i )exp(ωt) t ( + k α ) φ 0 ( + k β ) ψ 0 Ec. de Helmholtz i

19 TEMA : PROPAGACIÓN DE.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S En función de los cosenos directores: φ Aexp i k ( ν x α t) + ε { α } Onda P { β } ( ψ, ψ, ψ ) ( B, B, B ) exp i k ( ν x β t) + η 3 3 Onda S u u P + u S con u P φ y u S ψ De las anteriores ecuaciones se deduce que:.- Los desplazamientos de las ondas P son longitudinales coincidentes con la dirección de propagación..- Los desplazamientos de las ondas S están en un plano normal a la dirección de propagación.

20 TEMA : PROPAGACIÓN DE.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S En Sismología se acostumbra a referir los componentes de los desplazamientos de las ondas P y S con respecto a un sistema de ees geográficos en la dirección Norte(X), Oeste(X) y zénit(x3). tg ε SH SV

21 TEMA : PROPAGACIÓN DE.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S La relación entre la dirección del rayo ν i ν sen i cos α ν sen i sen α ν 3 cos i con los cosenos directores: La componente SV y la onda P se mueven en el plano de incidencia. La componente SH es normal a éste en el plano horizontal. Si un rayo se propaga en el plano de incidencia (x, x 3 ) u φ ψ P u + u x x 3 SV u 3 φ ψ P u + u x x 3 SV 3 3 u u SH

22 TEMA : PROPAGACIÓN DE.3 DESPLAZAMIENTO DE LAS ONDAS P Y S Si las ondas se propagan en la dirección positiva de x y x 3 φ Aexp ikα ( seni x + cos ix3 αt) ψ B exp ik β ( seni x + cos ix3 βt) u C exp ik ( seni x + cos ix βt) β 3 Luego eligiendo un sistema de ees en el que el rayo esté contenido en el plano (x, x3) se simplifica la solución de muchos problemas de propagación de ondas ya que de esta forma se pueden estudiar por separado los desplazamientos en el plano de incidencia (P y SV) y normales a él (SH),

23 TEMA : PROPAGACIÓN DE.4 PROPIEDADES DE LAS ONDAS AL CAMBIAR DE MEDIO DE PROPAGACIÓN sólidos Ley de Snell: cosε cos f cos ε' α β α' cos f β' ' líquidos M M ρ ρ Medios líquidos (sólo onda P) φ Ao exp ikα (cos ex + sen ex α t) + + Aexp ik (cos ex sen ex α t) α 3 φ' A'exp ik (cos e' x sene' x α' t) α ' 3

24 TEMA : PROPAGACIÓN DE.4 PROPIEDADES DE LAS ONDAS AL CAMBIAR DE MEDIO DE PROPAGACIÓN Definiendo los coeficientes de reflexión VA/Ao y de Transmisión WA/Ao V ρ' tg e ρ tg e' ρ tg e' + ρ tg e W Si la incidencia es normal e π / V α' ρ' αρ α' ρ' + αρ W Bao contraste de densidades V 0 y W Alto contraste de densidades V y W 0 ρ tg e ρ tg e' + ρ ' tg e α' ρ α' ρ' + αρ Mucha Transmisión Mucha Reflexión

25 TEMA : PROPAGACIÓN DE.4 PROPIEDADES DE LAS ONDAS AL CAMBIAR DE MEDIO DE PROPAGACIÓN Si α > α Angulo límite para los rayos transmitidos e c, llamado ángulo crítico cos e c α / α El rayo se llama refractado crítico y se propaga paralelo a la superficie de separación. Para ángulos e < e c toda la energía se reflea y no existen rayos transmitidos al medio M

26 TEMA : PROPAGACIÓN DE.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS. TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA Para deducir la ecuación fundamental que regula la trayectoria de un rayo sísmico aplicamos el principio de Fermat: i: ángulo con la vertical en un punto seni p ν v : velocidad en dicho punto vcte icte p: parámetro del rayo vcambia icambia Tierra: vcambia con la profundidad Conocidas v(z) y x, se puede obtener la distancia recorrida a lo largo del rayo S, la profundidad máxima h y el tiempo t que tarda en llegar la onda.

27 TEMA : PROPAGACIÓN DE.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS. TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA Capas planas de velocidad constante Si la dist. epicentral < 500 km Rayos sólo penetran corteza y parte superior del manto. Consideramos la corteza formada por capas planas de v cte. t ) Rayo Directo ) Rayo Refleado en la base de la capa 3) Rayo Refractado Crítico a lo largo de la superficie superior de medio x t v x H + t v 4 3 x + v H v v v v

28 TEMA : PROPAGACIÓN DE x.5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS. TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA Variación continua de la velocidad con la profundidad En el interior de la Tierra (sobre todo el manto) la velocidad varía de forma continua con la profundidad. z dz S 0 cos i h h pdz tgi dz 0 0 η p t h dz i 0 ν cos h 0 η dz η p

29 Variación continua de la velocidad con la profundidad Trayectoria de Rayos que aumenta con la profundidad Domocrona Curva (p,x) correspondiente

30 .5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS. TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA Variación continua de la velocidad con la profundidad Según la figura anterior: Consideremos dos rayos contiguos de parámetros p y p+dp, que llegan a distancias x y x-dx, si el recorrido del frente de onda a lo largo del rayo de parámetro p en un dt es : ds v dt seni dt dx ds v dt dx dx Y, por tanto, dt dx sen i v Hay una relación entre la pendiente de la domocrona y p. Cuando i90º (pto más profundo del rayo con velocidad v h ) p v La pendiente de la domocrona es la h inversa de la velocidad máxima que alcanza el rayo. p

31 .5 PROPAGACIÓN DE LOS RAYOS SÍSMICOS. TRAYECTORIAS Y TIEMPOS DE LLEGADA Variación continua de la velocidad con la profundidad Asumiendo una distribución de aumento lineal de la velocidad con la profundidad, en la corteza y manto de la Tierra: v vo +kz La trayectoria de rayos es circular con radio igual a h+vo/k, luego la expresión del tiempo con la distancia será: t k senh kx v o Medio esférico Para estudiar comportamiento de ondas sísmicas en el interior de la Tierra, se ha de considera un medio esférico La distancia entre dos puntos se toma como la distancia angular y las domocronicas son ahora (t, )

32 Medio esférico Rayos en un medio esférico de velocidad constante Domocrona: Curva limitada al intervalo 0 < < π Sea una esfera homogénea de radio R y velocidad cte v: t R v sen

33 Medio esférico Trayectoria de un rayo en regiones esféricas de velocidad constante (V < V < V 3 ) seni v sen f v Triángulos PQO y SQO r seni r sen f r seni p v

34 Medio esférico Trayectoria de un rayo en un medio esférico de velocidad que aumenta de forma continua con la profundidad a lo largo del radio ds dr + ( r d ) r seni p Usando L.Snell r v d ds p Además ds dr v η d η p dr p r η p

35 Medio esférico Elementos de un rayo en un medio esférico de velocidad variable. Integrando a lo largo del rayo desde La superficie (r o ) al punto más profundo (r p ): : Distancia angular a la que aflora el rayo cuyo pto más profundo está a r r p del centro. t: tiempo de recorrido. S: Distancia recorrida a lo largo del rayo ro rp p r η dr p t ro rp S ν η ηdr ro rp p ηdr η p

36 Medio esférico La distancia r p corresponde al pto del rayo donde i90º rp dt p ηp cosh v p d p ro d π ln Fórmula de o η r Herglotz-Wiechert r Resuelta la integral v se obtiene de: v dt d Inversión: Determinación de la distrib. de velocidades en el interior Distribución de la Rayos Domocrona de la Tierra Velocidad con el a partir de los Radio tiempos de Aplicación de la fórmula de Herglotz-Wiechert llegada