Arcos planos. J. T. Celigüeta

Transcripción

1 Arcos planos J. T. Celigüeta

2 Arcos planos. Definición Directriz curva plana. Sección transversal despreciable. Curvatura pequeña: radio mucho mayor que el canto R>>h Varias condiciones de apoyo en los extremos. 1

3 Ejemplos Velódromo olímpico (Atenas) Puente del Milenio (Londres) Puente romano (Córcega) Puente Michigan (Detroit) L=8 m

4 Teoría básica Esfuerzos internos: N, M, Q Hipótesis de Navier: secciones perpendiculares a la directriz curva se mantienen perpendiculares a la directriz deformada R >> h Es aplicable la teoría de flexión de vigas, en un dominio curvo (ds sustituye a dx), pero hay acople entre N y M. Energía elástica: N M EA EI * U = ds + ds + NαTmds MαTds g 3

5 Ecuaciones de equilibrio q s M Q+dQ N ds M+dM Q N+dN Equilibrio radial: Nuevo término asociado a N dq ds = q + s N R Equilibrio de momentos: dm ds = Q 4

6 Arco triarticulado (I) Isostático C f B f A B A L A L B h Se aplica la fórmula de los pórticos planos b= n=3 r=4 c=1 6 b + r = 16 3 n + 3 b + c = 16 h= 5

7 Arco triarticulado (II) C Y C X C Y f B B f A h A L A L B ( AC ) M A = C f + C L + M = extac x A y A A ( BC ) M B = C f + C L + M = extcb x B y B B C X, C Y 6

8 Arco triarticulado simétrico. Carga uniforme (1) q q C X f A Y L A X Forma y(x) sin definir. Por simetría: C Y = Gran reacción horizontal en los apoyos (1/f) = = x y = = x y C C A A 8f 8f 7

9 Arco triarticulado sin momento flector () qx M = x y 8f q Q M N M = / 4 f ( ) y = Lx x Parábola simétrica L /8f x Q = qx cos α+ sin α cos α = 8f Sustituyendo forma parabólica 8

10 Arco triarticulado sin momento flector (3) N = qx sin α sin α cos α 8f 4 L L N = q x xl f 4 1/ N X = 8f N Y = qx Es siempre de compresión Proyección horizontal constante NA = L + f 8f ( 16 ) 1/ Valor máximo en los apoyos N Clave = 8f 9

11 Arco triarticulado parabólico. Deformación Fuerza virtual unitaria 1/ V=1 1/ L/f L/f N V L 1 = cos α f sin α Q V L 1 = sin α f cos α Δ = + ( ) EA = = EI EA V V V CY N N ds M M ds N N ds 1

12 Arco triarticulado parabólico. Deformación 1/ V=1 1/ N V L 1 = cos α f sin α L/f L/f 4 L L N = q x xl f 4 1/ 1 L 1 1 L 1 Δ CY = N cos α sin α ds N tan α = cos αds EA f EA f 1 L 4f Δ CY = N ( L x) dx EA f L 11

13 Simplificaciones habituales Rigidez axial infinita. Se desprecia la energía debida al esfuerzo axial 1 γ = = EA Momento de inercia variable según la ley de la secante Flexibilidad a flexión μ variable según la ley coseno 1 Simplifica las integrales pues : I I = I sec α = cos α 1 1 μ = = cos α = μ cos α EI EI μ = μ α = μ I : momento de inercia en la clave f ( x) ds f ( x) cos ds f ( x) dx

14 Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (1) q f q Q M N Q 1 M 1 N 1 L / h=1 X 1 =A x x 1 x q M = ( Lx x ) M 1 = y Parabólico Sin energía de esfuerzo axial. Inercia variable según la ley de la secante 4 f ( ) y = Lx x L 13

15 Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme () M 1 = y f11 = N γn ds + M μm ds = ( y) μds f = ( y) μ cosαds = y μ dx f = 8μ f L 15 Sin energía de esfuerzo axial. Inercia variable según la ley de la secante 14

16 Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (3) q M = ( Lx x ) q Q M N 1 1 D1 N γn ds M μm ds = = q D = 1 ( Lx x ) μ( y) ds q D1 = ( Lx x ) μ cos α( y) ds 3 qμf L D1 = 15 / x A X D f 1 = = f

17 Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (4) q Q M N Q 1 M 1 N 1 / x q M = ( Lx x ) 1 x M A X 1 = y = 8f q 4f M = M ya = X ( Lx x ) ( Lx x ) L 8f = Q = qx cos α+ sin α cos α = 8f Sustituyendo forma parabólica 16 Sin momento flector. Mismo comportamiento que el arco triarticulado

18 Arco biarticulado parabólico. Carga uniforme (5) Esfuerzo axial (igual que el triarticulado) N = qx sin α sin α cos α 8f 4 L L N = q x xl f 4 1/ N X = 8f Es siempre de compresión N Y = qx N N Clave = 8f NA = L + f 8f ( 16 ) 1/ 17 Valor máximo en los apoyos

19 Arco biarticulado parabólico. Carga puntual P 5Pμ f L D1 = ( L x) ( y) μ cosαds = 48 A X = 75PL 384f P 75x M = M yax = 7x 96 L P M neg Mmax =.53PL x = 9 L/ 5 Mclave =.547PL 18

20 Arco biarticulado. Cálculo de la rigidez (1) Cálculo de la columna 1: deformación unidad en δ IX K 1 K 41 IX=1 K 11 K 31 h=1 X = K 1 11 Caso 1 Sin energía de esfuerzo axial. 1 1 f = M μm ds = y μds 11 ( ) Condición de compatibilidad: f X = 1 X = K f = y μds

21 Arco biarticulado. Cálculo de la rigidez () Cálculo de la columna 1 K 1 K 41 IX=1 K 11 K 31 Condición de compatibilidad: f X = D + 1 D = X = 1 1 K f = y μds K31 = K11 K1 = K41 = K11 K1 = K = K K41 = 31 11

22 Arco biarticulado. Matriz de rigidez Columnas y 4 nulas Columna 3 igual a la 1 IY y JY Agrupando las 4 columnas IX JX K L = y μds 1 1 Sólo aporta rigidez en la dirección X Sin energía de esfuerzo axial. 1

23 Arco biarticulado parabólico. Rigidez Directriz parabólica. Inercia según la secante: I=I sec α I inercia en la clave y μds = y μ cos αds = y μdx = 8 f L 15EI K L EI = 8Lf 1 1 Si f se anula, no se obtiene la rigidez de la barra recta pues no se ha considerado la energía de axial

24 Arco biarticulado circular. Carga uniforme (1) q Q M N Q 1 M 1 N 1 y x / R e x 1 x h=1 X 1 =A x Longitud del arco S=Rα Inercia constante. Sin energía de axial L q M = ( Lx x ) M 1 = y f11 M M ds ( y) Rd f 11 = μ = μ θ = cos + 3 EI RS es elr y = R θ e x = Rsin θ + L/

25 Arco biarticulado circular. Carga uniforme () + α 1 q D1 = M M ds = ( Lx x ) ( y) Rd μ μ θ α q 3 D1 = ( RL 3LeS 6e RL+ 6R es) 4EI X = A = X q RL L es e RL + R es RS es elr Momento flector q M = M yax = ( Lx x ) ( Rcos θ e) A Momento máximo en la clave x=l/, θ= max M = L ( R e) AX = fax 4 q L L 4 8 X M M 1 =-ya x f A x /8

26 Arco biarticulado circular. Rigidez Directriz circular: Radio R, Luz L. Longitud del arco S=Rα Inercia constante Particularizando la expresión general de la rigidez del arco biarticulado y = Rcos θ e y ds = ( Rcos e) ds = + α ( Rcos e) Rd α μ θ μ θ μ θ 5 K L 1 1 EI = RS es 3eLR 1 1 +

27 Arco atirantado No se transmite reacción horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales Flexibilidad del tirante 1 ρ t = = K L E A t t t N = K Δ + N t t t t Pretensión de montaje en el tirante: N t Positiva a tracción Error en longitud del tirante: (positivo más largo) λ = N ρ t t t 6 ( ) N = K Δ λ t t t t

28 Arco atirantado. Cálculo por flexibilidad h=1 X 1 =N t q Q M N / q M = ( Lx x ) M N 1 1 = y = cos α f = M μm ds + N ρn = ( y) μds + (1) ρ (1) 11 qf μ L D1 = M M ds N N N = t t t t 8μfL 11 t f = y μdx + ρ = + ρ μ t ρt t λt t λt t Directriz parabólica Inercia según la secante: I=I sec α

29 Arco atirantado. Esfuerzo en el tirante La pretensión aumenta el esfuerzo final en el tirante X D 1 = = Nt = f11 qf μl 15ρ 8μ 15ρ 3 t fl t + N t + 1 Constante D > 1 Esfuerzo final en el tirante siempre positivo para q hacia abajo y pretensión de tracción Nota: Si ρ t = (tensor infinitamente rígido) sale N t = q L / 8f como en el arco biarticulado 8

30 Arco atirantado. Momento flector 1 q M = M + XM = M + Nt( y) = ( Lx x ) yn t Momento sin tirante (Punto A libre) El tirante hace disminuir el momento flector. Disminuye más cuanto más arriba (y) Momento en la clave C: M ( ) C = M x = L = f N 8 t M 1 =-yn t Similar al arco biarticulado: M biart C = f A 8 X M M=M y N t 9

31 Arco atirantado. Esfuerzo axial 1 N = N + XN = + qx sin α Nt Axial siempre de compresión cos α Axial sin tirante (Punto A libre) (negativo) La tracción del tirante aumenta el valor de la compresión en el arco. N C = N t N N 1 = - cos N=N N t cos 3

32 Arco atirantado. Deformación del apoyo A Es igual a la deformación del tirante N t Δ ρ t = + t N t N N t Despejando la deformación: t Δ = ( N N ) ρ t t t t Sustituyendo el valor del esfuerzo en el tirante: 3 qf μl 1 D ρt N Δ t = + t 15D D D= denominador de la expresión del esfuerzo en el tirante. D>1 31 Segundo sumando negativo. La pretensión hace disminuir la deformación del apoyo:

33 Arco atirantado pretensado. Resumen Sin reacción horizontal en A. Tampoco en B para cargas verticales Esfuerzo final en el tirante: - siempre positivo para q hacia abajo y pretensión de tracción - la pretensión aumenta el esfuerzo final en el tirante N t qf μ L N = + 15ρ D D 3 t t Aparece momento flector - el esfuerzo en el tirante hace disminuir el flector q M = ( Lx x ) yn t Axial siempre de compresión - La tracción del tirante aumenta el valor de la compresión en el arco N = + qx sin α N t cos α La pretensión hace disminuir la deformación del apoyo. 3 qf μl 1 D ρ N t t t Δ = + 15D D 3

34 Arco biempotrado q M N Q 1 M 1 N 1 B y Q y Caso Caso 1 A x 1 x 1 M = y N 1 = cos α X A X = A Y M A 1 y Q Caso M N y Q 3 M 3 N 3 Caso 3 x 1 x 33 M = x N = sin α 3 M = 1 3 N =

35 Arco biempotrado Ecuaciones de compatibilidad: fx = D N γcos αds αt cos αds αt yds M μyds + + I J I J I A N γ αds αt αds αt xds M μxds I 1 I1 I M A αtds g + M μds I J I11 J11 I 1 A m g + + x y = sin + m sin g m n I = μ x y ds m, n =,1, mn Jmn = m n γsin αcos αds Esfuerzos finales: M = M yax + xay MA N = N AX cos α AY sin α 34

36 Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme Energía axial nula j k fjk M μ M ds = 1 3 M = y M = x M = 1 Inercia según la ley de la secante A B f 8Lf L f Lf Lf L L = EI 3 3 Lf L L

37 Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme Coeficientes D = j Dj M μ M ds q M N D 3 f 4 = /8EI 3 /1EI /6EI M = qx y Q x X A X /8f = A Y / = M A Mismas reacciones que en el arco isostático No hay momento en los apoyos 36

38 Arco biempotrado parabólico. Carga uniforme Momento flector: nulo!! qx M M yax xay MA y x = + = + + = 8f Axial: igual que en el arco isostático 4 L L N = q x xl f 4 1/ Es siempre de compresión NA = L + f 8f ( 16 ) 1/ N N Clave = 8f 37 Valor máximo en los apoyos

39 Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez (1) Columna 1 de K h=3 y M Q N y Q 1 M 1 N 1 Caso Descargado Caso 1 x 1 x Q M N Q 3 M 3 N 3 X = A = K 1 X 11 y y X = A = K Y 1 X = M = K 3 A 31 1 Caso Caso 3 x 1 x 38

40 Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez () Sin energía de esfuerzo axial. Directriz parabólica. Inercia según la secante: I=I sec(α) i j fij M μm ds = La matriz f es la empleada para el cálculo del arco por flexibilidad. El vector D es nulo, pues el caso está descargado. Hay que considerar el desplazamiento impuesto en la dirección X fx=d+ Δ EI 8Lf L f Lf K Lf L L K = K 31 Lf L L 3 39

41 Arco biempotrado. Cálculo de la rigidez (3) Repitiendo para las columnas 1, y 3 de K en el nudo I: sólo cambia la deformación unidad Columna 1 Columna Columna 3 Deformación impuesta 8Lf L f Lf K11 K1 K Lf L L EI K1 K K3 = 1 f IIK II = I 3 3 Lf L K31 K3 K 33 1 L 3 1 K II = f II Flexibilidad en el nudo I Rigidez en el nudo I 4

42 Arco biempotrado. Rigidez Sin energía de esfuerzo axial. Directriz parabólica. Inercia según la secante. I=I sec(α) I inercia en la clave IY IX JY JX Lf Lf 4Lf Lf P IX δ IX 3 3 L L L L P IY δ IY 6 3 M I Lf Lf θ EI L L L L I = PJX δjx P 4Lf Lf 4Lf Lf JY δ JY M J θ 3 3 J L L L L Lf Lf L L L L I J

43 Ejemplo 1 q q f Y f X Rígido axialmente H H L L L Pilar central infinitamente rígido axialmente Arco parabólico, sin energía de esfuerzo axial, inercia según la secante. 4 E 45I 1I 15I 6I Lf H Lf H 1I A 6I X F X Δ + 3 L H L ΔY = FY 15I 6I 6I 9I 4I θ M + + Lf H L L H

44 Ejemplo 1. Fuerzas / M = / Fuerzas de fase en el arco debidas a la fuerza q /8f /8f / /8f /8f q / 8f F X F Y = M No hay momentos en la fase 43

45 Ejemplo 1. Esfuerzos finales en el arco f 4Lf Lf 4Lf Lf P 1 IX Δ 3 3 X P IY L L L L M ΔY I = Lf Lf + EI L L L L θ PJX P 8f 4Lf Lf 4Lf Lf JY M J 3 3 L L L L Lf Lf L L L L Hay momentos, producidos por las deformaciones del nudo I 44

46 Ejemplo 1. Flector en el arco P P IX IY M I 45EI ΔX 15EI θ = + 8f 4Lf Lf 1EI ΔY 6EI θ = L L 15EI ΔX 6EI ΔY 9EI θ = + + Lf L L qx M = PIY x PIX y MI f IY Variación parabólica en x I IX 45

47 Ejemplo C q Arco semi circular uniforme 1Y 1X R=L/ Y X K C EIC 16EI = = 3 RS Lπ C A L B H 3EI H + K K 3 C C Δ1X F1 X EA Δ 1Y F 1Y H = 3EI Δ F K X C + K X 3 C H Y F Δ Y EA H 46

48 Ejemplo. Fuerzas / 1 F F 1X L=R -F X 3 q RL 3L es 6e RL + 6R es 1X = = 1 RS+ es 3eLR 3π F F F X 1Y Y = 3π = = 47

49 Ejemplo. Ecuación de equilibrio q / / 3EI + K 3 C KC H 3π Δ 1X EA H Δ 1Y 3EI = K X C + K Δ 3 C H 3π Y EA Δ H 48

50 Ejemplo 3. Añadimos un tirante pretensado C q 1Y R=L/ Y 1X X K A B H L 49 3EI 3 C K C K + K + K ( N ) H 3π 1X EA Δ H Δ 1Y 3EI = KC K K X + 3 C + K Δ ( N ) H 3π Y EA Δ H Aumenta la rigidez (poco) Disminuyen las fuerzas exteriores