Celosía plana. Definición

Transcripción

1 Celosías planas

2 Celosía plana. Definición Modelo idealizado de una estructura reticular, formada por barras rectas de canto despreciable frente a su longitud. Barras unidas en sus extremos mediante articulaciones ideales: sólo se transmiten fuerzas, no se transmite momento. Eje centroidal de todas las barras contenido en un mismo plano (XY) Ejes de las barras pasan por el centro de las articulaciones extremas. Fuerzas aplicadas en los nudos, y contenidas en el plano de la estructura (F X, F Y ). Fuerzas no en los nudos: se estudian de forma independiente, para cada barra y se superponen a las fuerzas en los nudos. 1 Celosías planas

3 Celosía plana. Definición Y X Comportamiento: Las barras sólo tienen esfuerzo axial (si sólo fuerzas en los nudos): se deduce del equilibrio de fuerzas de cada barra Deformación de los nudos: desplazamientos X e Y. 2 Celosías planas

4 Celosías planas. Estabilidad Balance de fuerzas incógnitas y ecuaciones de la estática Fuerzas incógnitas: Axial en cada barra (b) Reacciones en los apoyos (r) Ecuaciones de la estática: 2 en cada nudo (2 n) A b+r < 2n Inestable B Isostática b+r = 2n C Hiperestática b+r > 2n Además de cumplirse B o C, la disposición de las barras debe evitar toda inestabilidad. Es posible cumplir B, y ser a la vez inestable e hiperestática. 3 Celosías planas

5 Celosías planas. Estabilidad b=3 r=3 n=3 b=2 r=4 n=3 Isostática Isostática b=3 r=6 n=4 Hiperestática h=1 b=9 r=3 n=6 Isostática b=15 r=3 n=8 Hiperestática h=2 4 Celosías planas

6 Celosías planas. Estabilidad b=13 r=3 n=8 b+r=2 n Isostática. Estable Hiperestática int. + Inestable intern. Hiperestática ext. + Inestable ext. Hiperestática + Inestable (int. y ext) 5 Celosías planas

7 Celosías. Clasificación Isostáticas (b+r=2n) Simples: mosaico de triángulos Compuestas: unión de varias celosías simples Complejas: resto Hiperestáticas (b+r > 2n) 6 Celosías planas

8 Celosías simples Mosaico de triángulos adosados unos a otros Partiendo de un triángulo, ir añadiendo nuevos triángulos adosados a él: Se añaden cada vez dos nuevas barras y un nuevo nudo Sustentación con 3 reacciones Cumplen siempre b+r=2n y son isostáticas y estables A C B Nudo añadido no puede estar alineado con los dos nudos de apoyo: zona añadida es inestable A C B 7 Celosías planas

9 Celosías simples Triángulo de partida pueden ser dos barras unidas al suelo: Un lado se sustituye por el suelo. Sustentación con 4 reacciones b=1 r=4 n=7 Las barras añadidas pueden cruzar (sin unirse) a las existentes b=11 r=3 n=7 8 Celosías planas

10 Celosías simples. A dos aguas Pratt a dos aguas (inglesa) Howe a dos aguas (belga) Warren a dos aguas 9 Celosías planas

11 Celosías simples. A dos aguas - Voladizo Warren a dos aguas con montantes Tijera Voladizo 1 Celosías planas

12 Celosías simples. Rectangulares Pratt Pratt inferior Howe 11 Celosías planas

13 Celosías simples. Rectangulares Warren Warren con montantes Warren inferior con montantes 12 Celosías planas

14 Celosías simples. Rectangulares Cercha K Baltimore 13 Celosías planas

15 Celosías simples. Dientes de sierra 14 Celosías planas

16 Celosías simples. Torre b=3 r=4 n=17 Isostática si todos los nudos son articulados En realidad muchos nudos están empotrados (cordones exteriores) 15 Celosías planas

17 Celosías compuestas Unión de varias celosías simples mediante vínculos adecuados Vínculos: fuerzas de unión entre las celosías simples Una barra: un vínculo Un nudo común: 2 vínculos Fuerzas de conexión en los vínculos entre las celosías simples: v Reacciones: r Incógnitas en la unión entre celosías simples: v+r Ecuaciones de equilibrio entre las celosías simples: 3 n s Si cumplen v+r=3n s son isostáticas y estables 16 Celosías planas

18 Celosías compuestas v+r=3n s isostáticas y estables n s =2 r=4 v=2 Las 3 n s ecuaciones permiten hallar las v fuerzas en los vínculos y las r reacciones Los vínculos deben ser independientes (no cortarse) para poder resolver las ecuaciones 17 Celosías planas

19 Celosías compuestas Dos celosías simples unidas mediante 3 articulaciones n s =2 r=4 v=2 18 Celosías planas

20 Celosías compuestas Dos celosías simples con 3 vínculos Fink n s =2 r=3 v=3 b=35 r=3 n=19 Polonceau n s =2 r=3 v=3 19 Celosías planas

21 Celosías compuestas Dos celosías simples atirantadas n s =2 r=3 v=3 2 Celosías planas

22 Celosías compuestas. Múltiples n s =3 r=3 v=6 b=45 r=3 n=24 n s =3 r=4 v=5 b=44 r=4 n=24 21 Celosías planas

23 Celosías compuestas. Cubierta atirantada n s =3 r=3 v=6 n s =4 r=3 v=9 22 Celosías planas

24 Celosías compuestas Cercha Houx n s =3 r=7 v=2 A 1 B 2 3 C Puente n s =3 r=6 v=3 b=56 n=31 23 Celosías planas

25 Celosías compuestas. Torres n s =6 r=4 v=14 Isostáticas si todos los nudos son articulados n s =4 r=4 v=8 En realidad muchos nudos están empotrados (cordones principales) 24 Celosías planas

26 Celosías compuestas Torre de energía eléctrica (parte superior) n s =3 r=3 v=6 25 Celosías planas

27 Celosías compuestas. Varias n s =2 r=3 v=3 26 Celosías planas

28 Celosías complejas No se identifica ningún mosaico de triángulos adosados Muchas veces no se identifica ningún triángulo Si cumplen b+r = 2 n son isostáticas y estables, pero Para una topología dada, son sensibles a la orientación de las barras (estables o inestables) 27 Celosías planas

29 Celosías complejas (1) b=8 r=8 n=8 b=8 r=6 n=7 b=11 r=3 n=7 28 Celosías planas

30 Celosías complejas (2) b=9 r=3 n=6 b=9 r=3 n=6 Hexágono con 3 diagonales 29 Celosías planas

31 Celosías hiperestáticas b=14 r=4 n=8 h=2 b=31 r=3 n=16 h=2 b=7 r=4 n=5 h=1 3 Celosías planas

32 Celosías. Elección del método de cálculo Clasificar. Hallar b, n, r, v, n s Isostática (b+r=2n): Siempre se puede aplicar el equilibrio de los n nudos. Planteamiento conjunto de las (2 n) ecuaciones Celosía simple: Planteamiento individual del equilibrio de los n nudos uno tras otro, 2 ecuaciones en cada uno. Celosía compuesta: Aislar las n s celosías simples. 3 n s ecuaciones de equilibrio: hallar vínculos y reacciones Para cada celosía simple: equilibrio de los nudos Celosía compleja: Método de la barra sustituida Hiperestática: flexibilidad o rigidez. 31 Celosías planas

33 Métodos de cálculo de celosías Método de cálculo Tipo de celosía Basados sólo en las ecuaciones de la estática Flexibilidad Rigidez Equilibrio de los nudos Planteamiento individual n x (2 ecs) Equilibrio de los nudos Planteamiento conjunto (2n) ecs. Secciones: Aislar trozos Barra sustituida Isostática simple Siempre Siempre Puede ayudar a veces No No aplicable Siempre Isostática compuesta No (excepto en algún caso particular) Siempre Siempre. Aislar las celosías simples No No aplicable Siempre Isostática compleja No Siempre No Siempre No aplicable Siempre Hiperestática No No No No Siempre Siempre 32 Celosías planas

34 Dependencia de las magnitudes en celosías Tipo Esfuerzo axial (N) depende de: Tensión (s) depende de: Deformación (D) depende de ISOS HIPER Fuerzas exteriores Ángulos entre las barras NO influyen: - Longitud de las barras - Material - Área de las barras - Temperatura - Deformaciones de los apoyos Fuerzas exteriores Ángulos entre las barras q Rigidez axial relativa: r i r j = (EA) j L i (EA) i L j Temperaturas E A a T Deformaciones de los apoyos D E A D / L Esfuerzo axial (N) Área de la barra (A) NO influyen: - Longitud de las barras - Material (E) - Temperatura - Deformaciones de apoyos Esfuerzo axial (N) Área de la barra (A) Esfuerzos en las barras (N) Flexibilidad de las barras L / E A Temperaturas: a T L Deformaciones de los apoyos 33 Celosías planas

35 Observación al modelo ideal de nudos articulados (1) Nudos articulados: facilidad de cálculo (sólo N axial) En realidad muchos nudos (casi siempre) se ejecutan soldados (economía) Hay posibilidad de transmitir un pequeño momento entre las barras, y éstas trabajan a tracción y algo de flexión. Se pueden calcular los momentos (secundarios) que aparecen, empleando un modelo de nudos rígidos (pórtico). Muy complejo: mediante computador h= h=12 34 Celosías planas

36 Observación al modelo ideal de nudos articulados (2) A pesar de ello, el modelo de nudos articulados es válido si: Las cargas están sólo en los nudos: no hay flexión local Los ejes de las barras se cortan en el nudo La inercia de los perfiles es pequeña Estas condiciones se cumplen en la práctica 35 Celosías planas

37 Estudio de la barra articulada plana

38 Introducción Pieza prismática esbelta recta articulada en ambos extremos Elemento estructural constituyente de las celosías planas Fuerzas en los nudos (lo más habitual), o sobre la propia barra. Estudio en su sistema local X L Y L 1 Estudio de la barra articulada plana

39 Estática de la barra articulada plana (1) Barra sin fuerzas aplicadas sobre ella: SF YL = SM P = Cortantes nulos Q 1 = Q 2 = SF XL = N 1 =N 2 =N Esfuerzo axial N uniforme en la barra. Tensión uniforme La barra no proporciona el valor de N N A Y L N X L N 2 Estudio de la barra articulada plana

40 Estática de la barra articulada plana (2) Barra con fuerzas aplicadas sobre ella: SF YL = SM P = Cortantes Q 1, Q 2 Cortantes conocidos, no nulos, función de las fuerzas exteriores. La barra proporciona los valores de M y Q en su interior SF XL = N 2 + F XL = N 1 Esfuerzos axiales pueden ser diferentes si hay fuerzas s/x La barra no proporciona los axiales, sólo su diferencia Y L Q 1 F XL Q 2 N 1 N 2 Q 1 Q 2 F YL 3 Estudio de la barra articulada plana

41 Deformación de la barra articulada plana (1) Deformaciones en los nudos extremos: U 1 V 1, U 2 V 2 Pequeñas deformaciones: Traslación axial: U 1 Alargamiento: D L =U 2 - U 1 Traslación lateral: V 1 Rotación: q=(v 2 -V 1 )/L No produce cambio de longitud YL q v V 2 U 1 V 1 u U 2 X L 4 L Estudio de la barra articulada plana L+DL

42 Deformación de la barra articulada plana V 2 X L q u v U 2 Y L V 1 L L+DL U 1 5 Estudio de la barra articulada plana

43 Deformación de la barra articulada plana (2) Deformación lineal entre los extremos deformados U U L 2 1 u U1 x Rotación constante: dv V V dx L 2 1 v V1 x 2 1 V V L YL q v V 2 U 1 V 1 u U 2 X L 6 L Estudio de la barra articulada plana L+DL

44 Deformación de la barra articulada plana (3) En sus sistema de ejes local q Centro de gravedad G: P y q= dv dx u( x) v( x) Punto P cualquiera: dv up u y u y dx vp v y G P u v 7 Estudio de la barra articulada plana

45 Deformaciones unitarias de la barra articulada plana Punto P cualquiera: x up du d U2 U1 y x dx dx L L L y v y P y e X D L /L xy u y P v x P Deformación unitaria e uniforme en toda la barra, debida sólo a su alargamiento D L La deformación lateral v y la rotación q no producen deformaciones unitarias L L 8 Estudio de la barra articulada plana

46 Ecuación constitutiva Relación entre la tensión s y la deformación unitaria e Material lineal. Ecuación constitutiva es una línea recta. E s e 9 Estudio de la barra articulada plana

47 Material lineal con temperatura Deformaciones iniciales térmicas s T s=e(e-e ) Relación tensión deformación unitaria e s/e e E E T Deformación unitaria total: suma de deformación unitaria térmica at y la debida a la tensión s/e /E 1 Estudio de la barra articulada plana

48 Comportamiento N-D de la barra articulada Esfuerzo axial N. Sustituyendo la ecuación constitutiva: EA N A EA L TL L N k A L N k A EA L TL l k A D L Rigidez axial de la barra Alargamiento inicial debido a T, con N nulo D L -l 11 Estudio de la barra articulada plana

49 Elasticidad en 1 dimensión. Ecuaciones de equilibrio (1) Tensión s x (x). Fuerzas de volumen q vx Equilibrio estático del cubo diferencial X L dx dy dz dy dz q dx dy dz x x x vx x x x q vx s x dy s x + ds x dx dx dx q vx dz Es necesario definir el comportamiento del material 12 Estudio de la barra articulada plana

50 Elasticidad en 1 dimensión. Ecuaciones de equilibrio (2) Equilibrio estático x x q vx Material elástico lineal E Pequeñas deformaciones du dx Ecuación de equilibrio E 2 du q 2 vx dx Sin fuerzas aplicadas s/x 2 du 2 dx u Ax B Deformación u lineal 13 Estudio de la barra articulada plana

51 Cálculo de deformaciones en celosías planas Método de flexibilidad

52 Punto de partida Estructura ya resuelta: Fuerzas exteriores P Esfuerzos interiores N conocidos (valores numéricos) Teorema de Crotti- Engesser: Energía complementaria. Propiedades uniformes: r U P r * N 2 * i i L U i N TL i i 2 EA i No se conoce N en función de P, luego no se puede derivar. Puede que no haya una P r en la dirección D r. 1 Deformaciones en celosías planas

53 1. Planteamiento Añadir al sistema una fuerza virtual V, en la dirección de la deformación buscada, para poder derivar U*(V) respecto a ella, y luego hacer V=. Nuevo sistema RV = R + V Caso real Caso virtual D V N V V + V= N N N V RV V i i i N V : esfuerzos para V=1 U * RV i i RV ( N ) i 2 2 i i N RV i 2 Deformaciones en celosías planas

54 2. Desarrollo ( N N V ) V 2 * RV i i i V U i Ni Ni V i 2 i ( ) Deformación buscada r U V * RV V U * RV r V V V V i ( Ni Ni V ) Ni i Ni V i i V N N N V V r i i i i i i i 3 Deformaciones en celosías planas

55 3. Resultado N N N V V r i i i i i i i D Caso real (N) V=1 Caso virtual N V Nuevo caso a resolver: caso V (con V=1) Es isostático si la estructura lo es (N V fácil) Es hiperestático si la estructura lo es (N V difícil) La expresión anterior es de aplicación directa a estructuras isostáticas Se debe elaborar más para estructuras hiperestáticas 4 Deformaciones en celosías planas

56 Ejemplo. Celosía isostática. Deformación Caso real (Tn) Deformación vertical en E Caso Virtual E E.44 D EY E= kg/cm 2 Tubo A=4.13 cm 2 i N N N V V i i i i i i 3 3 r ( 2 1 )(.55) 5/ EA / EA... r EA cm 5 Deformaciones en celosías planas

57 4. Deformaciones en celosías hiperestáticas (1) N N N V V r i i i i i i i Resolución del nuevo caso V (hiperestático) Se aplica el método general para grado h Descomposición en casos:, 1, 2, h Elegimos cualquier incógnita X j N N X N V V j i i j i j 1, h Caso V: Isostático con la carga exterior V=1. Nuevo Casos 1, 2, h: ya resueltos cuando se calculó la celosía 6 Deformaciones en celosías planas

58 4. Deformaciones en celosías hiperestáticas (2) 1 D E F N N X N V V j i i j i j 1, h V Caso V V=1 A B C D + E F N V = 1 1-1/ 2-1/ 2 A 1/2 B 1/2 C Casos 1 y 2: ya calculados cuando se calcularon los esfuerzos en la estructura 2 D + -1/ 2 1 E 1 1-1/ 2 1 F -1/ 2 A B -1/ 2 C 7 Deformaciones en celosías planas

59 4. Deformaciones en celosías hiperestáticas (3) N N N V V r i i i i i i i Sustituyendo N V N N X N V V j i i j i j 1, h N N X N N X N V j V j r i i i j i i i j i i j 1, h i j 1, h Reordenando S N N N X N N N V V j j r i i i i i j i i i i i i i j 1, h i i Siempre = Condición de compatibilidad de X j. 8 Deformaciones en celosías planas

60 4. Deformaciones en celosías hiperestáticas N N V V r i i i i i i i No hace falta hallar N V. Basta con hallar los N V Caso V fácil (isostático) N Caso real (N) Caso V (isostático) D D E F ?? A B C 9 Deformaciones en celosías planas

61 Ejemplo. Celosía hiperestática (h=2) Caso real (N) D Deformación D DX Caso V (isostático) D -1 E F / 2-1/ A 1/2 B 1/2 C N N N V V DX i i i i i i i E A 2 1 kg/cm 1 cm DX EA 2 EA 2 EA 2 EA 2 DX.2644 cm 1 Deformaciones en celosías planas

62 Ejemplo. Celosía hiperestática (h=1) 8 Caso real (N) 5 B A Caso V (isostático) B A C D C D Otra incógnita hiperestática (N AC ) N N N V V BX i i i i i i i BX (5.39)(1) ( 7.128)( 2) EA EA EA 11 Deformaciones en celosías planas