Flexión de placas planas

Transcripción

1 Método de los Elementos Finitos para Análisis Estructural Fleión de placas planas Teoría clásica

2 Definición Dominio continuo plano (XY), espesor pequeño h. Fuerzas (F z ) y deformaciones (w) perpendiculares al plano Momentos (M, M y ) y giros (θ, θ y ) contenidos en el plano 1

3 Definición Hipótesis: Tensión perpendicular a la placa nula: σ z =0. Secciones rectas perpendiculares al plano medio permanecen rectas.

4 Tensiones y deformaciones unitarias Fleión σ σ = σ y τ y Cortadura τyz τ = τ z X Z σ y Y σ τ y σ σ y τ z τ yz h ε ε γyz = ε y γ = γ z γ y 3

5 Momentos: flectores y torsor + h/ + h/ M = σ zdz My = σyzdz h/ h/ M y + h / = h / τ y zdz σ σ y τ y X Z Y M M y M y M y M y M 4

6 Momentos: flectores y torsor M + h/ σ + h/ M = σ zdz M = σ zdz y y h/ h M τ / y y σ σ y τ y X Z Y M M y M y M y M y M 5

7 Esfuerzos cortantes Q + h / z τz = dz Q τ zy zy h / Q z Q yz Z X Y + h / Q = h/ τ dz 6

8 Teoría clásica de fleión de placas Hipótesis: Secciones rectas perpendiculares al plano medio se mantienen rectas y perpendiculares a dicho plano medio Giro == pendiente de la deformada w θ w w = θy = y d Z Y w θ θ Y X 7

9 Estado de deformación θ = w y θ = y w d Punto P (distancia z del plano medio) θ = δw δy = θ = u z y z d v = zθ = z w w y X Z θ Y v u θ y 8

10 Deformaciones unitarias ε ε y u = = z v = = z y w w y ε y γ y ε ε y ε z w = = z 0 ε γ y u v w = + = z y y γ γ yz z v w w w = + = + = 0 z y y y w u w w = + = + = 0 z Esta teoría no predice la deformación de cortadura vertical asociada al Q 9

11 Deformaciones unitarias Sólo 3 deformaciones unitarias, en el plano XY Variación lineal con z 10 w ε w ε = ε z = = z y y γ y w y Curvaturas b(,y) ε ε = ε y = z w = z w y γ y y b ε y ε γ y ε ε y

12 Tensiones (I) Estado de tensión plana, variable linealmente con z Sin temperatura σ = Dε σ 1 ν 0 ε E σy = ν 1 0 ε y 1 ν τ y 0 0 (1 ν)/ γ y σ y τ y σ σ y w w + υ y σ σ y = + 1 υ y τ y w (1 υ) y E w w υ z σ 11

13 Tensiones (II) Según esta teoría no hay deformaciones cortantes γ verticales Pero debe haber τ y Q, para equilibrio vertical Se está suponiendo G = τ z τ yz τ G γ z z τ = zy G γzy Q z Q yz 0 = 0 1

14 Tensiones (III) Temperaturas: Nuevo término, conocido, en la relación tensión - deformación σ = D( ε ε ) σ 1 ν 0 αt ε E σy ν 1 0 ε y αt = 1 ν τ y 1 ν γ y ατ ατ ατ ατ 13

15 Relación fuerza-deformación M = σzdz = D( ε ε ) zdz = Db z dz D ε zdz 0 0 ε = z b 3 h M = Db+ M 1 0 M w w D ν + y M M 0 w w = M = D + ν + M y 0y y M y M 0y w D(1 ν) y Rigidez de placa D = Eh 3 1(1 ν ) Ecuación de la elástica para placas 14

16 Esfuerzos de origen térmico Temperatura lineal en el canto: T = T + zt m g Tm zt g 1 + M D ε D D = 0zdz = α T m + ztg zdz = 0 1 αtgz dz M M Eh αt g = M = 1 1(1 ν) M 0y 0 0 0y X Z Y M 0y M 0 M 0y Sólo el gradiente térmico produce momentos M 0 15

17 Ecuaciones de equilibrio (I) σ σiy σ i iz q = 0 i (, y, z) vi y z Equilibrio X σ σ y σz = 0 y z Multiplicando por z e integrando entre -h/ y +h/: M M σ y z y z + + z dz = σ z dz = σ dz + zσ = σ dz + = Q z z + t / [ ] t z z 0 / z z 0 M My + = Q y z 16

18 Ecuaciones de equilibrio (II) Equilibrio Y My My Qyz + = y Equilibrio Z σ z σzy q vz = 0 y Integrando entre -h/ y +h/: σ σ + + = y z zy dz dz qvzdz 0 Q z Q zy + + qz = y 0 Sustituyendo Q 17

19 Ecuaciones de equilibrio (III) M My M y q 0 z = y y Sustituyendo M en función de w w w w qz + + = 4 4 y y D Ecuación de la fleión de placas w w D ν + y M w w M = D + ν y y M y w D(1 ν) y 18

20 Energía elástica U = ε Dεdv ε Dε dv 1 T T 0 En función de las deformaciones D w w w w w U (1 ) = ν ν da U y y y T En función de los esfuerzos internos U 1 T T = MD M M D M h ( 1 1 ) da 19

21 Soluciones analíticas Theory of Plates and Shells Timoshenko, Woinowsky, Krieger Teoría. Varios casos resueltos. Theory and Analysis of Plates R. Szilard Teoría. Muchos casos resueltos. Formulas for Stress and Strain R. Roark Varios casos resueltos. 0

22 Elemento placa rectangular de 4 nudos Y 3 w 3 w θ 3 Y3 θ Y X 4 1 b ξ 1 grados de libertad δ e = η a θ4 4 θ 3 w 4 w 1 θ Y1 θ Y4 θ 1 { W θ θ W θ θ W θ θ W θ θ 1 1 y1 y 3 3 y3 4 4 y4} 1 T θ Polinomio interpolante para w, con 1 parámetros α. Grado 4, incompleto. w = α + α + α y + α + α y + α y α + α y + α y + α y + α y + α y w = R α 1

23 Placa de 4 nudos. Interpolación R : coeficientes del polinomio. α : parámetros R = 1 y y y y y y y y w = R α α α 1 =... α 1 Particularizando a los 4 nudos: W = α + α + α y + α + α y + α y + i 1 i 3 i 4 i 5 i i 6 i + α + α y + α y + α y + α y + α y i 8 i i 9 i i 10 i 11 i i 1 i i 1 ecs. Coordenadas nudos δ e = C α θ = α + α + α y + α + α y + 3α y + α + 3α y 3 i 3 5 i 6 i 8 i 9 i i 10 i 11 i 1 i i θ = α α α y 3α α y α y 3α y α y 3 yi 4 i 5 i 7 i 8 i i 9 i 11 i i 1 i 1 e α= C δ

24 Placa de 4 nudos. Funciones N 1 e α= C δ w = R α w = RC δ = Nδ 1 e e N N N N N = N 1 ( 1)( 1)( = ξξ + ηη + + ξξ + ηη ξ η i i i i i ) aξ ( ξξ + 1) ( ξξ 1)( ηη + 1)... i i i i ξ η = ( )/ a = ( y y )/ b c c... ( 1)( 1) ( 1) i i i i aη ξξ + ηη + ηη 3

25 Placa de 4 nudos. Deformaciones unitarias ε = z w = z Nδ = z RC δ = Bδ e 1 e e ε ε = ε y γ y B N N N N N N N N = z y y y y N N N N y y y y y 0 0 6y 0 B = z RC = z y 0 6y C y 0 6 6y 1 1 Variación bilineal de M, M y y cuadrática de M y 4

26 Placa de 4 nudos. Matriz de rigidez K = B D B dv = C z R D R d dy dz C Integrando en z v T T T T 1 3 h T T T K= C d dy 1 R D R C Eiste epresión analítica eplícita. v Vector de fuerzas nodales. Carga distribuida vertical q 1 s P = N q ddy = C R s T T T s q ddy 5

27 Placa de 4 nudos. Compatibilidad Estudio de las deformaciones en el lado =0 w α α y α y α y Y = = w θ = α α y 3α y ( = 0) = y Nudo (y=0) = 0 w θ = α α y α y α y y ( = 0) = = w = α θ = α 1 3 A 1 θ = α y X w θ 3 B Nudo 3 (y=b) w = α + αb + αb + α b θ = α + α + α b 3 b θ = α α b α b α b y

28 Placa de 4 nudos. Compatibilidad Flecha w y giro θ definidos unívocamente en todo el lado =0 Variación cúbica de w y cuadrática de θ definidas sólo por las 4 deformaciones de los nudos y 3. w = α + α y + α y + α y = θ 3 w 3 Y w θ = α 1 = α 3 w = α + αb + αb + α b A θ 3 θ α α α = + b + 3 b w X B 7

29 Placa de 4 nudos. Compatibilidad Giro θ y no definido unívocamente en todo el lado =0 Variación cúbica de θ y no queda definida sólo por las 4 deformaciones de los nudos y 3. Variación cúbica de θ y diferente para cada elemento. 4 θ y3 Y θy = α α y α y α y A θ y A θ y B 3 4 parámetros ecuaciones θ y X θ y B θ = α y θ = α α b α b α b y

30 Problemas de compatibilidad de las placas Incompatibilidad del giro normal a la cara: No se puede evitar, con el tipo de polinomio interpolante usado para la N. θ nb B θna θ nb A θ na Empleando otro polinomio diferente: Se puede llegar a hacer compatible el giro normal, pero se pierde la unicidad de la derivada segunda cruzada en las esquinas. En general: Es imposible, usando sólo la flecha y los giros en los nudos como g.d.l, definir un polinomio para N que garantice la compatibilidad total. 9

31 Elementos conformes Otros grados de libertad además de flecha y giros w θ θ y w,y w θ θ y w,y w θ θ y 16 gdl w θ t θ nt 18 gdl w θ t θ nt w θ θ y w θ θ y w θ t θ nt w θ θ y w,y w θ θ y w,y w θ θ y w θ θ y w, w, yy w, y θ t θ t 1 gdl 18 gdl w θ θ y θ t w θ θ y 30