(ε c ) max. y b. (ε t ) max. Fig.11. Distribución de deformaciones unitarias por flexión en sección compuesta por dos materiales.

Transcripción

1 6. Vigas (Elementos) Compuestos por dos o más Materiales Las ecuaciones obtenidas en la Sección 3 se basan en la hipótesis que el material que forma la sección del elemento, además de ser lineal-elástico, es homogéneo con un módulo de elasticidad constante E. Si la sección transversal del elemento que está sometido a fleión pura esta hecha de dos o más materiales lineales-elásticos con diferentes módulos de elasticidad, el enfoque anteriormente utiliado para determinar la distribución de las tensiones normales en la sección debe ser modificado. Para estudiar la distribución de deformaciones unitarias tensiones normales en secciones formadas por diferentes materiales, se utilian los mismos conceptos que para el caso de secciones homogéneas: la sección transversal debe estar en equilibrio; se asume una geometría de deformación considerando una compatibilidad de deformación en la unión de los diferentes materiales que forman la sección; se utilian las lees constitutivas de los diferentes materiales, pero se modifica el concepto de las propiedades mecánicas de las sección estudiada. Considerar la sección rectangular formada por dos materiales diferentes que se muestra en la Fig. 11. Tal como fue mencionado con anterioridad, se asume una compatibilidad en el diagrama de deformación unitaria en la unión de los materiales que forman la sección (Fig. 11). (ε c ) ma E 1 ma b ma na : eje neutro, b : variables E 2 na (ε t ) ma Fig.11. Distribución de deformaciones unitarias por fleión en sección compuesta por dos materiales. De las lees constitutivas de los materiales de la hipótesis de deformación de la sección transversal (secciones planas permanecen planas) se cumplen las siguientes relaciones 1

2 σ = E ε = E φ = E( ) φ (20a) i i Para el caso de fleión pura, se tiene que el esfuero interno aial N en la sección debe ser cero. Entonces, N =σ d=0 (20b) N ( ) = 0 = E φ d (20c) De la Fig. 11 se tiene que la variable es igual a b na, entonces ( ) ( ) = 0 N = E φ d (20d) b na ( ) d φ E( ) d = 0 φ E (20e) na E ( ) ( ) b na= (20f) E d d b donde la Ec. (20b) permite localiar el eje neutro la Ec. (20f) localia el eje neutro de la sección compuesta define el centroide del módulo ponderado. Por lo tanto, el eje neutro de la sección compuesta pasa por el centroide de la sección considerando el concepto del módulo de elasticidad ponderado. La ecuación para determinar el momento interno de la sección transversal fue estudiada en Sección 2 está dada por la Ec. (5). Rescribiendo esta epresión se obtiene lo siguiente M ( d) = d = σ σ (21a) 2

3 Utiliando la epresión de la tensión normal σ en función de la curvatura φ del módulo de elasticidad E (), se tiene lo siguiente M 2 ( ) d E( ) d = E φ = φ (21b) M ( EI ) * = φ (21c) * 2 ( EI ) E( ) d = (21d) donde la Ec. (21c) establece la relación entre el momento flector M la curvatura φ de la sección transversal compuesta. Esta epresión es análoga a la Ec (7c) válida para secciones homogéneas. Manipulando en forma algebraica la Ec. (20b) que establece el equilibrio de las fueras longitudinales (normales) en la sección transversal compuestas, se obtiene lo siguiente N =σ d=0 (22a) ( ) = 0 N = E φ d (22b) ( ) E N = φ d Eref = 0 (22c) Eref E E ( ) ref d E ref = 0 (22d) ( ) n d Eref = 0 (22e) ( ( ) ) n d Eref = 0 (22f) donde n() = E()/E ref. Una viga (elemento) de sección transversal compuesta puede considerarse como elemento de sección homogénea con propiedades mecánicas del 3

4 material de referencia, siempre que las áreas diferenciales d se multipliquen por el factor n(). Después de transformar una sección transversal compuesta de esta manera, es aplicable el análisis elástico convencional (para secciones homogéneas). En la sección transformada, las tensiones normales varían linealmente desde el eje neutro de la sección. Las tensiones normales obtenidas en la seccion transformada son válidas para el material de referencia (asociado a E ref ). Para los restantes materiales que componen la sección transversal, se tiene lo siguiente ( ) k E k ( ε ) k σ = (23a) ( ) ref E ref ( ε ) ref σ = (23b) donde k representa a un material cualquiera que forma la sección compuesta. Por compatibilidad de deformaciones, se cumple que ( ) k ( ε ) ref ε = (23c) Por lo tanto, ( σ ) ( σ ) k ref = (23d) E k E ref E σ = (23e) E k ( ) ( ) k σ ref ref ( ) k n k ( σ ) ref σ = (23f) La Ec. (23f) dice que para calcular la tensión normal en un punto del material k que forma la sección compuesta, se debe multiplicar por el factor n k la tensión normal en el mismo punto, calculada en la sección transformada. 4

5 Ejemplo: Una viga de sección transversal rectangular de madera esta reforada con una placa de acero en su parte inferior, tal como lo muestra la Fig. 12. Si esta viga se somete a un momento de fleión de 30 KNm respecto a un eje horiontal, cuáles son las tensiones normales máimas en el acero en la madera? 150 mm 250 mm 10 mm madera acero Módulos de Elasticidad E a = 200 GPa E w = 10 GPa Fig. 12. Sección compuesta de acero madera sometida a fleión. 7. Comportamiento Inelástico de la Sección Transversal 7.1 Generalidades Cuando en la Sección 3 se derivó la fórmula de Navier (Ec. 8b), que permite determinar la distribución de tensiones normales en una sección transversal sometida a fleión, se asumió que la le de Hooke era válida para todo el elemento-viga. Si la tensión de fluencia es ecedida en alguna porción del elemento, o si el material que forma al elemento es frágil con una relación tensión-deformación nolineal, la le de Hooke deja de ser válida. El objetivo de esta sección es el de presentar un método general para determinar la distribución de tensiones normales en un elemento en fleión pura. La relación entre la deformación unitaria ε la curvatura φ no depende de la le constitutiva del material que forma la sección, sino que de la hipótesis relacionada con la deformación de la sección transversal en fleión pura. Por lo tanto, la distribución lineal de las deformaciones normales unitarias (Ec. (3f)) sigue siendo válida en este análisis, por lo que se tiene ε = φ (24a) na 5

6 ε = ( ε ) c ma (24b) donde es la distancia medida del eje neutro, c = ma (ε ) ma es la máima deformación normal unitaria (módulo). Sin embargo, a no se pude asumir que el eje neutro coincide centroide, a que esta propiedad fue deducida considerando deformaciones elásticas material homogéneo. En general, la localiación del eje neutro se realia mediante la técnica de prueba error hasta que la distribución de tensiones normales satisfaga las Ecs. (4) (5). El análisis que se presenta a continuación estará limitado al caso en que la sección transversal presente dos ejes de simetría el material que la forma tiene la misma relación tensión-deformación para la tracción compresión. Para este caso particular, el eje neutro coincide con unos de los ejes de simetría de la sección transversal. La distribución de tensiones normales en la sección transversal del elemento se obtiene de la siguiente manera. Se asume que (σ ) ma ha sido especificado, por lo que se calcula el correspondiente valor de (ε ) ma de la curva tensión-deformación. Luego, usnado la Ec. (24b) se obtiene al distribución de deformación normal unitaria en la sección transversal (Fig 13a). Para cada valor de ε calculado, se obtiene el valor de σ usando la curva tensión-deformación del material (Fig 13b). Finalmente, se grafica los valores de σ en función de la variable, medida desde el neutro (Fig. 13c). Para determinar el valor del momento flector que actúa en la sección transversal, asociado a la distribución de tensiones mostrada en la Fig. (13c), puede utiliarse la Ec. (5), a que ésta es independiente de la relación tensión- deformación (le constitutiva) del material que forma la sección. Considerando el caso particular de una sección transversal rectangular de ancho b, se tiene la que la Ec (5) se reduce a c M = b σ d (25) c donde σ es función de la variable, tal como los muestra la Fig. (13c). Debido a que σ es una función par de, la Ec. (25) puede rescribirse como 6

7 M c = 2b σ d (26) 0 (a) (b) (c) Fig. 13. (a) Distribución de deformación unitaria; (b) Relación tensióndeformación nolineal; (c) distribución de tensiones normales. Si se conoce la función analítica de σ con respecto a, la integral de la Ec. (26) puede obtenerse analíticamente. De lo contrario, el valor del momento de fleión M puede obtenerse a través de un proceso de integración numérica. 7.2 Caso Particular: Elementos Formados por Material Elasto-plástico De manera de comprender de mejor manera el comportamiento inelástico de un elemento en fleión, se considera el caso de un elemento formado por un material de comportamiento elasto-plástico. La curva idealiada de la relación tensión-deformación de un material con comportamiento elasto-plástico está representada en la Fig. 14, en que ésta está completamente definida por los parámetros σ E, que son la tensión de fluencia (límite de proporcionalidad) el módulo de elasticidad respectivamente. Siempre que la tensión normal no eceda el límite de fluencia, la le Hooke es válida la distribución de tensiones normales está dada por la ecuación de Navier (Ec. 8b). 7

8 σ σ Y Ruptura ε Y Ε Ε ε Fig.14. Relación tensión deformación para un material elasto-plástico perfecto. Si el momento de fleión M que actúa en una sección del elemento aumenta, eventualmente la máima tensión normal σ alcana un valor igual a σ tal como lo muestra la Fig. 15. El valor del momento de fleión M que resulta en la fluencia de la fibra con maor tensión normal esta dado por la siguiente relación M I c = σ (27) (ε ) ma =ε (σ ) ma = σ na φ = Μ /EI Eje neutro (na) Centroide Deformación Tensión Fig. 15. Distribución de deformaciones tensiones normales en la sección transversal de una viga debido a un momento flector que produce fluencia. 8

9 Si el momento de fleión M sigue aumentando en la sección, aumentará la curvatura φ, por consiguiente también aumentará la deformación (ε ) ma nuevas fibras alcanarán la tensión normal de fluencia σ, generando una sección parcialmente elástica. (Fig. 16). Fluendo (ε ) ma > ε (σ ) ma = σ Elástica na ε φ Eje neutro (na) Centroide Deformación Tensión Fig. 16. Distribución de deformaciones tensiones normales en una sección transversal parcialmente elástica. De acuerdo la Fig. 16, la le constitutiva del material que forma la sección no es única dependerá del estado en que se encuentran las fibras del material: elástico o fluendo. Por lo tanto, la le constitutiva del material queda representada de la siguiente forma: σ Eε ; ε ε = σ ; ε ε (28) Recordando que la ecuación de equilibrio longitudinal está dada por N =σ d=0 (29) La Ec. (29) a no se simplifica a na d= 0. Por lo tanto, no se garantia que el eje neutro coincida con el centroide la sección, cuando ésta se comporta en el rango inelástico. Sin embargo, la Ec. (29) sigue localiando la poción del eje neutro. 9

10 Tal como se eplicó en la Sección 7.1, para determinar el valor del momento flector que actúa en la sección transversal, asociado a la distribución de tensiones mostrada en la Fig. (16), puede utiliarse la Ec. (5), a que ésta es independiente de la relación tensióndeformación (le constitutiva) del material que forma la sección. Sin embargo, ésta ecuación a no se simplifica a M = EI φ (Ec. 7c), por lo que la fórmula de Navier (Ec. 8b), utiliada para determinar la distribución de tensiones normales en la sección, a no es válida en el rango inelástico. Considerar la Fig. 17 para estudiar la evolución de las deformaciones tensiones normales en una sección a medida que aumenta la curvatura φ, considerando un modelo de material elasto-plástico perfecto. C B Centroide Deformación σ σ σ σ B C M umento de curvatura φ σ σ M p Fig. 17. Comportamiento inelástico de un sección transversal de material elasto-plástico perfecto. 10

11 Para una sección transversal de material elasto-plástico perfecto, el máimo momento de fleión capa de desarrollar es cuando todas sus fibras han fluido. Para este caso, se dice que la sección está completamente plástica, el momento de fleión asociado se denomina M p, momento plástico. Tal como se mencionó con anterioridad, en el rango inelástico no se garantia que el eje neutro coincida con el centroide de la sección transversal. Para el caso de una sección completamente plástica, el eje neutro se denomina eje neutro plástico (PN) su ubicación se termina mediante la Ec, (29). Si se quiere determinar el momento plástico M p de una sección transversal, primero debe determinase la localiación del PN. Por lo tanto, N = σ = + d σ compdcomp σ tracdtrac= 0 (30a) comp trac Para el caso de una sección completamente plástica, σ comp = -σ σ trac = +σ. Si se tiene una sección homogénea la le constitutiva del material es la misma para la compresión la tracción, se tiene N = σ dcomp + σ dtrac = 0 (30b) comp trac comp= trac (30c) Por lo tanto, si se tiene una sección homogénea la le constitutiva del material es la misma para la compresión la tracción (σ es el mismo en toda la sección transversal), el PN se localia imponiendo la condición que el área arriba del PN debe ser igual al área bajo él. lgunas observaciones sobre el PN: Si la fleión es en torno a un eje de simetría, el PN coincide con el centroide de la sección. Para este caso, el eje neutro coincide con el PN. Si la fleión es en torno a un eje que no es de simetría, el PN no coincide con el centroide de la sección. 11

12 Si se tiene una sección híbrida (diferentes valores de σ en la sección), el PN debe ubicarse imponiendo la condición establecida por la Ec. (29). Para calcular el valor del momento plástico M p de la sección, se debe utiliar la Ec. (21a). Para el caso de una sección completamente plástica, se cumple que σ = ± σ. Entonces, M p = σ d (31) De manera similar al caso de comportamiento elástico de la sección transversal, siempre que se cumpla la condición N = 0, puede ser tomada desde cualquier eje conveniente. Sin embargo, es más conveniente medir desde el PN. Para medido desde el PN, tanto como σ cambian de signo en el mismo eje. Entonces, no es necesario mantener los signos de estas variables cuando se está evaluando la integral para calcular M p. Por lo tanto, M p = σ d (32a) Si σ es el mismo para toda la sección transversal, M p =σ d (32b) Definiendo el módulo plástico Z de la sección transversal, como Z = d (32c) con medido desde el PN. Entonces, el momento plástico M p de la sección transversal, puede ser calculado por 12

13 M p = Zσ (32d) Para la maoría de las secciones transversales de vigas, no es necesario calcular el valor de Z utiliando la Ec. (32c). En ve de calcular Z mediante la integral de la Ec. (32c), la sección puede dividirse en formas geométricas simples, por lo que la integral puede ser reemplaada por una sumatoria. Entonces, Z= i (32e) i i donde i es el área de un elemento e i es la distancia desde el PN al centroide de i (siempre considerado como número positivo). Ejemplo: Un elemento de sección uniforme rectangular de mm es solicitado por un momento de fleión de 36.8 KNm. sumiendo que la sección del elemento está hecha de un material elasto-plástico con una tensión de fluencia de 240 MPa módulo de elasticidad de 200 GPa, determinar: (a) región elástica de la sección; (b) radio de curvatura del eje neutro (superficie neutra). 13