Resistencia de Materiales. Estructuras. Tema 11. Inestabilidad en barras. Pandeo. Barra Empotrada-Empotrada.

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Rocío Redondo Herrero
hace 7 años
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1 Resistencia de Materiales. Estructuras Tema 11. Inestabilidad en barras. Pandeo Módulo 6 Barra Empotrada-Empotrada. En los módulos anteriores se ha estudiado el caso del pandeo en la barra articulada-articulada, el de la barra empotrada-articulada y el de la barra empotrada-libre y se ha deducido las cargas críticas de pandeo para estas barras con el siguiente procedimiento: 1) Se supone que la barra está pandeada (deformada con respecto a su directriz debido a una carga de compresión). 2) Se establece la ecuación de la diferencial de la deflexión, apoyándose en la. 3) Se resuelve la ecuación diferencial de la elástica de la barra obteniendo su solución general (que contiene dos constantes de integración) y si es necesario, su solución particular. 4) Se obtienen las constantes de integración mediante las condiciones de contorno de cada caso particular. 5) Se estudian las soluciones para cada conjunto de valores posibles de las constantes de integración y de las incógnitas pertinentes. Objetivo del módulo 6: El objetivo principal de este modulo es seguir el procedimiento antes descrito para llegar a la carga crítica de pandeo para el caso particular de la barra empotrada-empotrada. Para ello seguiremos los siguientes puntos: 1) Se supondrá una barra empotrada-empotrada deformada con respecto a su directriz debido a una perturbación, tal y como se representa en la figura 1. El vínculo en A impide el desplazamiento vertical, el horizontal y el giro. Sin embargo, el vinculo B permite el desplazamiento vertical para que puedan aparecer esfuerzos de compresión en la barra pero impide el desplazamiento horizontal y el giro. Dada la simetría estructural, se supondrá también simétrica la deformación debida a la perturbación, por lo que la deformación máxima se producirá en el centro de la barra. Al estar la barra deformada lateralmente y tener en los vínculos impedidos el giro, se producirán en ambos extremos unos momentos simétricos acorde a la deformación de la barra, tal y como se observa en la figura 2.

2 Sin embargo, se puede deducir (aplicando las tres ecuaciones de equilibrio de la estática en el diagrama del sólido libre de la figura 2) que las reacciones horizontales en ambos apoyos deben ser cero para que se pueda cumplir tanto la simetría como el equilibrio. Figura 1.- Barra solicitada a compresión Figura 2.- Reacciones en las vinculaciones exteriores Figura 3.- Corte en el punto x Si cortamos la viga en un punto x, se podrá obtener el momento flector en dicho punto haciendo equilibrio en x, de tal manera que la expresión del momento flector quedaría: 2) Con la solicitación M(x) y la ecuación se podrá establecer la ecuación diferencial de la elástica. 3) Una vez hallada la ecuación diferencial para el caso de la barra empotrada-empotrada, se deberá resolver obteniendo su solución general (que contiene dos constantes de integración) y su solución particular. 4) Para particularizarla al caso que se está estudiando (barra empotrada-empotrada), se tendrán que buscar tres condiciones de contorno que nos resuelvan las dos constantes de integración y el valor del momento en los vínculos exteriores. Estas condiciones de contorno vienen definidas por las deformaciones en la vinculación del extremo A, donde está impedido el giro y el desplazamiento y por el ángulo en el punto medio de la barra, donde la deformación es máxima, ya que sabemos que el ángulo debe ser cero (también podría haberse utilizado que la deformación y el ángulo en el extremo B es cero). Por tanto nos queda: Si aplicamos: tendremos:

3 Debe recordarse que 5) Nótese que cuando aplicamos las dos primeras condiciones y se obtienen C 1 y C 2, la ecuación de la deformada se expresa como: Obsérvese que el momento en el empotramiento M 0, depende de la carga P y de la deformada y por tanto pasa a ser una variable indefinida que no influirá en la expresión final de la carga crítica de pandeo. La obtención de la carga crítica de pandeo se obtiene al aplicar la tercera condición de contorno que en su primer modo de pandeo poseerá el valor: 6) Se relacionará la carga crítica de pandeo de la barra empotrada-empotrada con la carga crítica de la barra articulada-articulada por medio de la longitud efectiva, siendo esta la distancia entre los puntos de inflexión (puntos de cambio de curvatura en la deformada que coinciden con los puntos de momento nulo) en su curva de deflexión. Si se iguala la carga crítica deducida para la barra empotrada-empotrada, con la carga crítica de la barra articulada-articulada se obtiene una longitud efectiva de 0,5L, tal y como se representa en la figura 4. Figura 4.- Longitud efectiva para la barra empotrada-empotrada. 7) En este punto (donde se conoce la expresión de la carga crítica de pandeo para el caso de la barra empotrada-empotrada) se va a indicar otra forma más sencilla para el cálculo de dicha carga crítica. Partiendo de la barra empotrada-empotrada deformada con respecto a su directriz debido a una perturbación, tal y como se representa en la figura 5, se observa que debido a su simetría los puntos de inflexión también deben ser simétricos. Si suponemos los tramos AC y BD como barras cuyo comportamiento es similar al caso de la barra empotrada-libre (módulo 5), tendríamos que cada una de ellas llegaría al pandeo cuando P valiese:

4 El tramo CD se comporta como una barra articulada-articulada, así que este tramo pandearía (módulo 3) cuando P llegase a: Como la carga crítica para los dos casos debe ser la misma, igualando ambas expresiones se obtiene: que junto con 2L 1 + L 2 = L permite obtener: Si se sustituyen ahora los valores de L 1 y L 2 en las expresiones de la carga critica de pandeo empotrada-libre y articulada-articulada respectivamente, se obtiene la misma carga critica de pandeo para la barra empotrada-empotrada que se ha obtenido en el punto 5. Figura 5.- Simetría de puntos de inflexión de la barra empotrada-empotrada. Ejercicios de aplicación de la teoría: 1) La columna AB, que se encuentra empotrada en sus dos extremos, está sometida a una carga centrada P en B tal y como indica la figura 6. El perfil transversal de la columna está compuesto por dos perfiles L en forma de cuadrado como indica la figura 7. Suponiendo una perturbación previa que haga que la columna no esté totalmente recta, se pide: qué carga habría que aplicar para que aún eliminando dicha perturbación la columna no recobrará la rectitud? calcular para las dos direcciones, la carga crítica de pandeo y observar cuál es más desfavorable. cuál es la longitud efectiva de la barra?

5 Figura 6. Barra comprimida Figura 7. Perfil transversal Datos: L=2m E=210 kn/mm2 Solución: Pcry=493,5 KN Pcrz=953,2 KN El plano será el formado por el eje longitudinal x y el transversal y de la sección. Le=1 m. 2) La barra AB de aluminio, se encuentra integrada en un mecanismo unido a un motor tal y como se representa en la figura 8. Este motor le transmite una carga axial centrada. El perfil transversal de la columna está compuesto por un perfil tubular hueco 60.4 como indica la figura 9. Hasta qué carga podría transmitir el motor a la barra antes de producirse el pandeo? Cuál es la longitud efectiva de la barra? Figura 8. Barra comprimida Figura 9. Perfil transversal Datos: L=2m E= N/mm 2 Solución: Pcry= Pcrz=123,37 KN Le=1 m. Bibliografía: James M. Gere. Timoshenko. Resistencia de Materiales (quinta edición). Thomson (2008).

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