Tema 6: FLEXIÓN: DEFORMACIONES

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1 Tema 6: Fleión: Deformaciones Tema 6: FLEXÓN: DEFORCONES + Prof.: Jaime Santo Domingo Santillana E.P.S.-Zamora (U.SL.)

2 Tema 6: Fleión: Deformaciones NTRODUCCÓN Las deformaciones ha que limitarlas al igual que las tensiones, bien por raones de seguridad, de mantenimiento o simplemente de estética. sí, en numerosos casos, los elementos estructurales se dimensionarán aparte de a Resistencia, limitando sus tensiones máimas, (tal como hemos visto en el tema anterior), a RGDEZ, haciendo que las deformaciones máimas no sobrepases unos determinados valores admisibles. En diferentes normativas se fijan los valores admisibles de las deformaciones para diferentes elementos estructurales. Con el estudio de las deformaciones de una viga a Fleión, calcularemos los GROS (θ, θ ) que sufren las secciones transversales alrededor del eje neutro las FLECHS o DESPLZENTOS (, ) de sus centros de gravedad. θ Fleión en plano θ Fleión en plano Fig.6.1 Los métodos que desarrollaremos para el cálculo de las deformaciones son los siguientes: étodo de la Ecuación Diferencial de la Línea Elástica étodo de la Ecuación Universal de la Línea Elástica étodo de los Teoremas de ohr étodo energético del Teorema de Castigliano étodo energético de los Trabajos Virtuales Observación: Los dos métodos energéticos los estudiaremos más adelante, en el tema 9º, dado que son métodos de cálculo más generales tienen su aplicación en el estudio de las deformaciones, no sólo a Fleión, sino también en los casos de Tracción, Compresión, Torsión, etc.

3 Sección 6.: étodo de la Ecuación Diferencial de la Elástica 6..-ÉTODO DE L ECUCÓN DFERENCL DE L ELÁSTC Consideremos la viga de la figura sometida a Fleión Simple (R, ) Línea elástica = () Fig.6. Según vimos en la sección se denomina línea elástica: al eje de la viga (el que pasa por los centros de gravedad de todas las secciones transversales), una ve deformado. Tratemos ahora de calcular su ecuación: = () Vimos también en dicha sección, que para el caso de Fleión Pura (sólo momentos flectores), el radio de curvatura de la línea elástica venía dado por la ecuación (5.0): 1 = r E. pues bien, para el caso de la Fleión Simple (momentos flectores fueras cortantes), podremos utiliar la misma fórmula del radio de curvatura, pues la influencia que ejercen las fueras cortantes es pequeña la podremos despreciar en la maoría de los casos. Por otra parte sabemos por atemáticas que el radio de curvatura de una curva se puede obtener de la epresión: d 1 = (6.1) 3/ r d 1 + igualando las epresiones del radio de curvatura: d = (6.) 3 / d E. 1 + epresión obtenida que representa la ecuación diferencial de la línea elástica La integración de esta ecuación diferencial, no lineal, presenta grandes dificultades dado que en la maoría de los casos las deformaciones que se van a presentar, son pequeñas, podremos hacer las siguientes simplificaciones: 3

4 Tema 6: Fleión: Deformaciones θ = () θ tangente d = tagϑ ϑ (para pequeñas deformaciones) Giros de las secciones si las deformaciones son pequeñas: θ es pequeño tag θ es pequeño d/ es Fig.6.3 d pequeño 1+ 1 haciendo esta aproimación en la ecuación (6.) quedará: d d d d = (6.3) o bien: (6.4) = ϑ = E. E. E. Observación: con el sistema de ejes coordenados adoptado en el tema 5. para las vigas a fleión, resultará que: si si > 0 < 0 d d < 0 > 0 En efecto, supongamos: >0 1 θ Fig.6.4 tag 1 θ 1 tag si > > 0 además según se ve en la fig.6.4 : ϑ < ϑ dϑ < dϑ d con lo cual se cumplirá : < 0 o lo que es lo mismo : < 0 lo mismo se comprobaría para el caso: <0. 4

5 Sección 6.: étodo de la Ecuación Diferencial de la Elástica En virtud de ello en las ecuaciones (6.3) (6.4) deberemos introducir un signo (-) quedando finalmente como Ecuación diferencial de la línea elástica : d = E. dϑ (6.5) o bien: = (6.6) E. OSERVCONES: 1.- ntegrando una ve la Ecuación diferencial de la línea elástica obtendremos los Giros θ (ver ecuación 6.6). Si integramos dos veces dicha ecuación obtendremos las Flechas de los centros de gravedad de cada sección (ver ecuación 6.5) o lo que es lo mismo la Ecuación de la línea elástica: = ().- La ecuación de la línea elástica: = (), es una función continua (ver figura 6.5.a). Si fuera discontinua (ver figura 6.5.b), es que se habría roto Fig.6.5.a Fig.6.5.b 3.- La ecuación de los giros: θ = θ (), es también una función continua. Sería discontinua sólo si la elástica presentase un punto anguloso (ver fig.6.5.c) θ 1 tag 1 tag tag θ 1 θ punto anguloso Fig.6.5.c En un punto anguloso se ha de verificar: 1 mencionada, quedará: = r E. éste valor nunca se va a dar. = 1 = r,entonces la ecuación (5.0), antes para que esto se cumpla =. Pero d 4.- La ecuación diferencial de la elástica sea discontinuo. será discontinua en los puntos en que 5

6 Tema 6: Fleión: Deformaciones 5.- Si en una sección de una viga es = 0, la elástica presentará un punto de infleión en dicho punto d d = = 0 = 0 puntos de infleión de la elástica = ( ) E. 6.- Si la viga hubiese estado sometida a fleión simple en el plano : R,, las ecuaciones diferenciales (6.5) (6.6) de la elástica serían: d = E. (6.7) dϑ (6.8) = E. 7.- Si la viga estuviese sometida a fleión en ambos planos: habría que calcular por separado los giros flechas relativos a ambos planos con las ecuaciones: (6.5), (6.6), (6.7), (6.8). continuación se compondrían vectorialmente los giros: θ, θ las flechas:, giro total: flecha total: ϑ = ϑ + ϑ ϑ = ϑ + ϑ δ = + δ = + Elástica en plano debida a la fleión δ Elástica en plano debida a la fleión Fig.6.6 6

7 Sección 6.3: étodo de los Teoremas de ohr 6.3.-ÉTODO DE LOS TEORES DE OHR Primer Teorema de ohr: El primer teorema de ohr nos permite calcular el ángulo θ que forman entre sí dos secciones de una viga fleionada. Éste ángulo será el mismo que el que forman las tangentes a la elástica en los puntos θ θ tag en tag en θ θ Fig.6.9 La ecuación diferencial de la elástica es, según ecuación 6.6: dϑ. = dϑ = E. E. e integrando esta ecuación entre los puntos :.. dϑ = ϑ ( ) ϑ ( ) = o bien : E. E. ϑ ( ) = ϑ ( ) ϑ ( ) =. E. (6.15) 7

8 Tema 6: Fleión-Deformaciones Caso particular: En el caso de que el módulo de rigide de la viga sea constante: E. = cte, la ecuación se podrá epresar también de la siguiente manera:.. S ϑ ( ) = ϑ ( ) ϑ ( ) = = ( E. = cte) = = E. E. E. (6.16) ecuación que nos dice: el ángulo θ () que forman entre sí dos secciones de la viga fleionada, es igual al área del diagrama de momentos flectores comprendida entre : ( S ), dividido por el módulo de rigide de la viga: E. Observaciones: 1º.- En las epresiones del primer teorema de ohr se consideran positivos los ángulos θ que vaan en sentido horario, siempre que la sección esté situada a la iquierda de la sección. º.- En el caso de una viga en la que conocamos una sección que no gire (por ejemplo casos de empotramientos), podremos conocer mediante este teorema, de forma directa, el giro de cualquier otra sección de la misma θ θ =0 Fig.6.10 ϑ = ϑ ϑ = (como ϑ = 0) = ϑ 8

9 Sección 6.3: étodo de los Teoremas de ohr Segundo Teorema de ohr: El segundo teorema de ohr nos da la distancia en vertical, δ, que ha desde un punto de la elástica a la tangente en otro punto de la elástica. C D 0 1 δ dθ tag en D θ tag en C - tag en Fig.6.11 Para calcular δ haremos lo siguiente: por dos puntos C D de la elástica, mu próimos, situados a una distancia: + respectivamente, traamos las tangentes, las cuales interceptan al segmento = δ en el segmento diferencial 1, cua longitud será: = = ( ). tagϑ ( ). tag( ϑ dϑ) para el caso de pequeñas deformaciones ( ). ϑ ( ).( ϑ dϑ) = ( ). dϑ 1 sumando las longitudes de los segmentos diferenciales 1 al mover los puntos C D desde hasta, tendremos la longitud total δ que queremos calcular. sí: δ = = ( ). dϑ si finalmente se sustitue el valor absoluto de dθ obtenido en el primer teorema de ohr:.( ). δ = (6.17) E. 9

10 Tema 6: Fleión: Deformaciones Caso particular: En el caso de que el módulo de rigide de la viga sea constante: E. = cte, la ecuación se podrá epresar también de la siguiente manera: δ.( )..( ). Q = = ( E. = cte) = = E. E. E. (6.18) ecuación que nos dice: la distancia en vertical: δ que ha desde un punto de la elástica a la tangente en otro punto de la misma, es igual al momento estático respecto del primer punto del área del diagrama de momentos flectores comprendida entre ambos puntos: Q, dividido por el módulo de rigide a fleión de la viga: E. Observaciones: 1º.- En las epresiones del segundo teorema de ohr, cuando δ >0, indicará que el punto está situado por encima de la tangente en, independientemente, en este caso, del orden en que estén situados los puntos. º.- En el caso de una viga en la que conocamos una sección que no gire (por ejemplo casos de empotramientos), podremos conocer mediante este teorema, de forma directa, la flecha en un punto cualquiera de la misma. tag en δ = Fig.6.1 3º.- Si la fleión de la viga fuera debida a un momento flector por tanto la elástica estuviera en el plano las epresiones de los teoremas de ohr: (6.15), (6.16), (6.17) (6.18), serían las mismas, sin más que cambiar: E. E. los giros flechas obtenidos serían: θ θ 4º.- Si la fleión de la viga fuese debida a conjuntamente se procedería de forma análoga a lo indicado para los otros dos métodos epuestos. 10