Vigas Hiperestáticas

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1 Vigas Hiperestáticas November 11, 7 En el tipo de vigas que vamos a analizar en esta sección, el número de incógnitas es mayor que el número de ecuaciones. Por tanto, hemos de buscar algún método que nos permita establecer tantas relaciones independientes, como ecuaciones necesitemos para calcular las reacciones. Las relaciones geométricas con el momento flector 1, o los Teoremas de Castigliano que explicaremos a continuación, son los métodos que utilizaremos para encontrar las ecuaciones necesarias para resolver las vigas hiperestáticas. 1 Teoremas de Castigliano Sea un cuerpo elástico en R 3 sobre el que actúan un conjunto de fuerzas generalizadas X 1,..., X n aplicadas sobre los puntos del sólido A 1,..., A n y llamamos U T (X 1,..., X n ) a la energía potencial elástica o potencial interno. Entonces la relación entre la deformación δ i del punto A i y X i viene dada por : I II δ i = U T X i (1) X i = U T δ i () 1 ecuación1 Las fuerzas generalizadas se refieren tanto a las fuerzas como a los momentos de las fuerzas. En el caso de las primeras, X i = F i, la deformación δ i = y i es la distancia entre dos puntos, antes y después de la deformación, como se muestra en la figura 1. Si X i = M i es un momento aplicado en i, entonces δ i = dy i, es decir la tangente dx de la deformación en el punto de aplicación del momento. 1

2 Figure 1: deformación 1.1 Ejemplo 1: Sistema isoestático En la figura 1 se muestra una viga de longitud L empotrada en su parte izquierda, y sometida a una carga F en su extremo. Vamos a calcular la deformación inducida utilizando el primer teorema de Castigliano. La energía potencial elástica almacenada en la viga puede calcularse mediante la expresión: M(x) dx U T = (3) EI x= En este caso el momento flector es M(x) =F (x L) Según el primer teorema de Castigliano, δ i = U T F = 1 EI F dx, por lo que: δ i = F EI (x L) dx y por tanto la deformación δ i = y i es, y i = FL3 3EI

3 Sistemas hiperestáticos Se dice que un sistema tiene grado de hipersestaticidad G, cuando son necesarias G ecuaciones extras, además de las correspondientes a las condiciones de equilibrio 3..1 Sistemas de primer orden.1.1 Ejemplo 1 En la viga de la figura, el vínculo B introduce una nueva incógnita en el sistema de ecuaciones estáticas: ÿ F = Ra + R b = ρ o L, (4) Figure : ejemplo ÿ M = L (R b R a ) M a =, (5) x= L como se deduce del diagrama de cuerpo libre de la figura 3. Para calcular las reacciones en los vínculos, podemos volver a utilizar el primer teorema de Castigliano. En este caso podemos utilizar el desplazamiento o su derivada 4. Primer método; La deformación δ i en A es igual a cero, 3 En equilibrio estático: δ i = U T = M M dx =, (6) x= Nÿ F i =, i=1 Mÿ M j =, Si N + M es el número de ecuaciones independientes y V es el número de incógnitas (en nuestro caso, reacciones en vínculos), G = V N M. 4 En los empotramientos δ e =y δ e/ x = j=1 3

4 Figure 3: DCL Esta última expresión nos permite conocer una nueva relación entre las incógnitas (R a,r b,m a ). Pero antes tenemos que calcular el momento flector y su deriva respecto a R a en el único tramo de la viga. M(x) =M a + R a x ρ ox, (7) M(x) = + x, (8) La expresión 8, utilizando la relación 5 para conocer la derivada parcial de M a respecto a R a, queda como: M(x) = x + L 3 4 Rb 1, y de 4, obtenemos: M(x) = x L, Por tanto, ya podemos integrar la expresión 6: de donde obtenemos: x= A M a + R a x ρ ox B (x L) dx =, M a + R al 3 = ρ ol 1, (9) Las relaciones 4, 5 y 9 permiten conocer las reacciones en los vínculos. Solicitación 5 Segundo método; La derivada de la deformación también se anula en el empotramiento, 5 solicitar: (Del lat. sollicitāre). Real Academia Española RAE dδ a dx = U T = M M dx =, (1) x= 4

5 En este caso particular es fácil demostrar que M(x)/ = cte M(x)/, y por tanto: A L cte M a + R a x ρ ox B (x L) dx =, x= igual que antes..1. Ejemplo Igual que en el caso anterior, la viga de la figura 4 tiene grado de hiperestaticidad uno. Las Figure 4: Ejemplo ecuaciones de equilibrio establecen las relaciones entre los vínculos: Figure 5: DCL ÿ F = Ra + R b + 3ρ o =, ÿ M = M a R a =, (11) x= En el primer tramo: M(x) = M a + R a x ρ ox 3 18, (1) 5

6 como se deduce de la figura 6, Para calcular M(x)/ tendremos en cuenta que: Figure 6: Primer Tramo = 1, como podemos deducir de la ecuación 11. Una vez que hemos calculado el momento, utilizamos dδ a /dx =en el empotramiento, Esto es así porque M 3 dx = dx =en el segundo tramo. La integral da como resultado, (M a R a ) + ρ o 9 M a + 4R a 3 16ρ o 9 =, R a 3 + M a = 4ρ o 9, y el sistema de ecuaciones resuelto: R a = ρ o 3 (N) M a = ρ o 15 (Nm) R b = ρ o 15 (N) Es importante saber interpretar los signos negativos de estas expresiones. El resultado es correcto, pues al ser negativos R a y M a actúan en sentido contrario al supuesto en la figura 5. 6

7 Figure 7: Doble empotramiento Figure 8: Primer tramo. Sistemas de orden En el primer tramo: M(x) =R a x M a ρ ox, (13) si además si suponemos que R a = R b, entonces R a = ρ o L/, Figure 9: DCL M(x) = M a + ρ ox (L x), 7

8 Nos basta con una ecuación para relacionar M a y ρ o ; U T = 1 EI dx, M(x)dx =, M a = ρ ol 4 1, (14) También podríamos comprobar que mediante la condición de desplazamiento nulo ena, llegamos al mismo resultado 6. dx, xm(x)dx =, (15)..1 Reducción de un sistema de quinto orden Figure 1: DCL Si en la viga 7 introducimos un vínculo a L/ de uno de los empotramientos, tendremos tres incógnitas y solo una ecuación. Sólo R a y R b están relacionadas. Por tanto, podemos utilizar dos de las siguientes relaciones: δ a = δ b =, dδ a dx = dδ a dx =, La expresión para el momento en primer tramo es la misma que en la ecuación 13 además solo hemos de integrar de a L/ 7 ; A U L/ T = R a x M a ρ ox B dx =, (16) U T R b = A L/ R a x M a x ρ ox 3 B dx =, (17) 6 En este caso, además de considerar R a y M a como variables independientes, R a tiene que aparecer explícitamente en el integrando de la ecuación 15, como se aclara en el siguiente ejemplo 7 Demuéstrelo 8

9 Este mismo razonamiento nos hubiera llevado a la misma solución que en el apartado anterior. Ejercicio propuesto: Demuestre como llegar a la ecuación 17 Utilice las ecuaciones 16 y 17 para encontrar la solución 14 del ejercicio anterior. 9