TEMA 3: ENLACES Y EQUILIBRIO

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1 TEMA 3: ENLACES Y EQUILIBRIO ESTRUCTURAS I ANTONIO DELGADO TRUJILLO ENRIQUE DE JUSTO MOSCARDÓ PURIFICACIÓN ALARCÓN RAMÍREZ Departamento de Mecánica de Medios Continuos, Teoría de Estructuras e Ingeniería de Terreno. E. T. S. de Arquitectura. Universidad de Sevilla.

2 ÍNDICE 1 OBJETIVOS DE APRENDIZAJE PRIMERA PARTE: LOS ENLACES SEGUNDA PARTE: EL EQUILIBRIO [1] Las soluciones de enlace [6] Equilibrio estático [2] Coacción y reacción [7] Vectores fuerza y resultantes [3] Tipos de enlaces exteriores [8] Equilibrio estático y ecuaciones de equilibrio [3.1] El apoyo [3.2] La articulación [3.3] El empotramiento [4] Tipos de enlaces interiores [4.1] La unión articulada [4.2] La unión rígida [5] Cómo sostener una estructura [5.1]Estructuras planas [5.2]Número de coacciones [5.3] Estructura isostática [5.4] Estructura hiperestática [5.5] Mecanismo [5.6] Disposiciones de los enlaces [9] Cómo calcular las reacciones en una estructura isostática. [9.1]Cómo calcular las reacciones [9.2]Carga puntual, uniforme y triangular [9.3]Cálculo de reacciones en una ménsula [9.4] Cálculo de reacciones en una viga biapoyada [9.5]Cálculo de reacciones en un pórtico isostático [9.6] Cálculo de reacciones en cables o bielas

3 OBJETIVOS DE APRENDIZAJE Determinar qué reacciones y coacciones implica cada una de las soluciones de enlace. Calcular las reacciones en una estructura isostática con las ecuaciones de equilibrio. 2

4 PRIMERA PARTE: LOS ENLACES 3

5 1_LAS SOLUCIONES DE ENLACE Los enlaces se pueden definir como: Las soluciones de unión de los elementos estructurales entre sí (enlaces interiores) o entre los elementos y el medio externo que los recibe (enlaces exteriores). Enlace interior Enlace exterior Terreno Las funciones de los enlaces son: Asegurar el equilibrio de la estructura. Transmitir las cargas de unas barras a otras (enlaces interiores) y al suelo (enlaces exteriores). 4

6 2_COACCIÓN Y REACCIÓN Los enlaces tienen una doble característica: En el campo de los movimientos, el enlace implica un desplazamiento o un giro impedido. En el campo de las fuerzas, el enlace implica una fuerza o un momento, que es necesario realizar para impedir el desplazamiento o el giro. COACCIÓN: es el desplazamiento o giro impedido en el enlace. REACCIÓN: es la fuerza o momento necesario para impedirlo. El enlace, por tanto, lleva siempre consigo una COACCIÓN y una REACCIÓN (o varias). Dado un enlace, su coacción existe siempre, en cambio su reacción, en algunos casos, no se produce (si no hay ninguna acción que intente el movimiento o giro en ese punto). 5

7 2_COACCIÓN Y REACCIÓN 6 DEFINICIÓN DE GIRO, DESPLAZAMIENTO Y DEFORMADA. P P Giro Desplazamiento vertical Dirección original de la barra ᶿ Deformada Tangente DESPLAZAMIENTO : movimiento de traslación de un punto de la barra al deformarse (a menudo se descompone en componentes). Deformada GIRO: Ángulo que forma la tangente en un punto de la deformada de la barra con la dirección original de la barra. DEFORMADA: posición de la barra después de la deformación que alcanza al aplicarle las cargas.

8 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES Los distintos tipos de enlace se caracterizan por el nivel de coacción que ejercen contra el movimiento de la barra o barras que llegan a él. Se definen tres tipos básicos de enlaces exteriores: 1. Apoyos 2. Articulaciones 3. Empotramientos 7

9 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES [3.1] EL APOYO Tipos de representación: 8

10 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES COACCIONES DEL APOYO: El apoyo impide: El desplazamiento en la dirección perpendicular al plano de apoyo. Eje de movimiento impedido Reacción Permite: El desplazamiento en la dirección de su plano de apoyo. El giro. 9

11 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES 10 REACCIONES DEL APOYO: La reacción del terreno en un apoyo es una sola fuerza en la dirección perpendicular al plano de apoyo (necesaria para impedir el desplazamiento en esa dirección). A B VA VB

12 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES 11 USO DEL APOYO: Normalmente el uso del apoyo está relacionado con la necesidad de permitir el movimiento horizontal de la estructura debido a las acciones térmicas. Δt ΔL

13 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES Viaducto AVE Madrid-Segovia La enorme longitud del pórtico hace recomendable permitir los desplazamientos horizontales para evitar esfuerzos muy importantes de origen térmico (flexión en los pilares). 12

14 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES 13 Edificio Tygesa (Sevilla) Los apoyos de neopreno permiten el desplazamiento horizontal de las cerchas al dilatarse por efecto de la temperatura. En caso de estar coaccionado este movimiento podría producirse el pandeo de estas fuera de su plano (las cerchas son muy poco rígidas a flexión en su plano perpendicular).

15 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES [3.2] LA ARTICULACIÓN Tipos de representación: 14

16 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES COACCIONES DE LA ARTICULACIÓN La articulación impide: El desplazamiento en todas direcciones. Permite: El giro. Giro 0 15

17 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES 16 REACCIONES DE LA ARTICULACIÓN. Las reacciones del terreno son: Dos fuerzas perpendiculares. H V O una fuerza, resultante de las dos anteriores. R ß Nota: Según nos convenga podemos trabajar con las dos componentes, o con su resultante. En ambos casos tenemos dos incógnitas: 1. H y V 2. R y ß

18 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES 17 USO DE LA ARTICULACIÓN. Su uso está relacionado con: La facilidad de construcción (en acero es fácil construir articulaciones, y en hormigón empotramientos). La conveniencia de hacer la estructura isostática. NO transmitir momentos al terreno o al muro donde apoya la estructura. - - M Diagrama de momento flector de un pórtico articulado: el flector es cero en las articulaciones.

19 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES [3.3] EL EMPOTRAMIENTO. Tipos de representación: 18

20 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES 19 COACCIONES DEL EMPOTRAMIENTO El empotramiento impide: El desplazamiento en todas direcciones. Movimientos impedidos El giro. Giro=0 Giro=0

21 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES REACCIONES DEL EMPOTRAMIENTO Las reacciones del terreno son: Dos fuerzas perpendiculares. Un momento. 20

22 3_TIPOS DE ENLACES EXTERIORES 21 USO DEL EMPOTRAMIENTO Su uso está relacionado con: La facilidad constructiva. La conveniencia de hacer la estructura hiperestática. La necesidad de estabilizar la estructura frente a acciones horizontales. Esta estructura es inestable (mecanismo). Si hay cargas horizontales, gira y cae al suelo. Esta estructura es estable.

23 4_TIPOS DE ENLACES INTERIORES Los enlaces interiores son la unión entre dos o más elementos estructurales entre sí. Los elementos más comunes a unir son barras y, más concretamente, la viga y el pilar. Se definen dos tipos básicos de enlaces interiores: 1. Unión articulada. 2. Unión rígida. 22

24 4_TIPOS DE ENLACES INTERIORES [4.1] LA UNIÓN ARTICULADA También llamada rótula o rótula interna. Tipos de representación. Nudo articulado 23

25 4_TIPOS DE ENLACES INTERIORES COACCIONES DEL NUDO ARTICULADO 24 En este nudo, la viga gira... Impide el desplazamiento relativo entre las dos barras que une. Permite el giro relativo entre las dos barras que une....y el pilar, no gira. El nudo se desplaza. FUERZAS DEL NUDO ARTICULADO La unión articulada transmite fuerzas (en dos direcciones perpendiculares, en el caso más general), pero no transmite momentos. El flector es cero siempre en la rótula. La viga no gira El pilar gira

26 4_TIPOS DE ENLACES INTERIORES [4.2] LA UNIÓN RÍGIDA También llamada unión empotrada Tipos de representación 25

27 4_TIPOS DE ENLACES INTERIORES COACCIONES DEL NUDO RÍGIDO 26 En este nudo, la viga gira... El nudo rígido impide el desplazamiento relativo entre las dos barras que une Impide el giro relativo entre las dos barras que une. Eso significa que:...y el pilar está obligado a girar lo mismo. Las dos barras giran lo mismo, o que El ángulo que forman las barras en el nudo se conserva. Permite el desplazamiento del nudo. Después de deformarse, el ángulo entre las barras sigue siendo 90º. El nudo se desplaza. FUERZAS DEL NUDO RÍGIDO La unión rígida transmite fuerzas (en dos direcciones perpendiculares) y un momento. Viga y pilar giran igual.

28 5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA 27 [5.1] ESTRUCTURAS PLANAS En todo lo que sigue a continuación nos referiremos a estructuras planas. Una estructura es plana si, tanto la estructura como las cargas, están contenidas en un plano. En estructuras planas el número de ecuaciones de equilibrio es 3 (suma de fuerzas horizontales, de fuerzas verticales y de momentos respecto a un punto = 0). Estructura plana Estructura espacial

29 5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA 28 [5.2] NÚMERO DE COACCIONES El número mínimo de coacciones que deben tener los enlaces de una estructura para que se sostenga es c = 3 (c = nº coacciones). A A B La viga biapoyada tiene dos coacciones en la articulación A y una en el apoyo B: B La ménsula tiene tres coacciones en el empotramiento A: Desplazamiento horizontal de A impedido Desplazamiento horizontal impedido Desplazamiento vertical de A impedido Desplazamiento vertical impedido Desplazamiento vertical de B impedido Giro impedido Nota: la viga biapoyada suele denominarse así, pero en realidad es apoyada-articulada. Ambas estructuras se sostienen perfectamente. En ambas, c = 3.

30 5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA 29 POR QUÉ C=3? Los 3 grados de libertad de un sólido son el desplazamiento vertical, el desplazamiento horizontal y el giro. La estructura es un sólido, el cual coaccionamos para que NO esté en movimiento. Necesitamos coartar: 1. El desplazamiento en dirección horizontal 2. El desplazamiento en dirección vertical 3. El giro Las tres coacciones que llevan a cabo los enlaces son estrictamente necesarias. En el caso de la viga biapoyada, si prescindiéramos del apoyo B, la barra no se desplazaría, pero sí giraría respecto a A. A B A B

31 5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA 30 [5.3] ESTRUCTURA ISOSTÁTICA Si una estructura tiene el número estrictamente necesario de coacciones para estar en equilibrio, se dice que es isostática. El número estrictamente necesario es c = 3 Ejemplos: P MA RAX RAX RAY RAY Las estructuras isostáticas tienen por tanto 3 reacciones. En ellas, las reacciones pueden calcularse con las ecuaciones de equilibrio. RB

32 5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA 31 [5.4] ESTRUCTURA HIPERESTÁTICA Si la estructura tiene un exceso de coacciones con respecto a las estrictamente necesarias para estar en equilibrio estable, se dice que es hiperestática. El grado hiperestático es el número de coacciones en exceso. H = C -3 MA RAX H = grado hiperestático C = nº de coacciones RAY RBY RBX Las estructuras hiperestáticas tienen más de 3 coacciones. RBY En ellas, las reacciones NO pueden calcularse con las ecuaciones de equilibrio. Ejemplo: las estructuras de la figuras tienen 4 coacciones - son hiperestáticas de grado 1. RAX RAY

33 5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA 32 [5.5] MECANISMO Los mecanismos no están en equilibrio estático, por tanto, al aplicarles la carga se ponen en movimiento sin deformarse. En un mecanismo, las reacciones son incapaces de equilibrar a la carga externa. El equilibrio no se alcanza. Para que una estructura sea estable (no sea un mecanismo) son necesarias dos condiciones: El número de coacciones debe ser igual o mayor de 3. Las coacciones deben estar deben estar dispuestas de forma adecuada para impedir la traslación y el giro. P P A A B B RAX RAY Mecanismo: C=2 Mecanismo: C = 3, pero las coacciones no impiden el desplazamiento. RB

34 5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA 33 Para saber si una estructura es un mecanismo basta con aplicarle las ecuaciones de equilibrio. En un mecanismo, las reacciones son incapaces de alcanzar el equilibrio con la carga. P A B RAX RAY Mecanismo: La carga es horizontal. En los apoyos, las reacciones sólo pueden ser verticales. Las fuerzas horizontales no suman cero. Mecanismo: En B sólo puede haber reacción horizontal. Si calculamos momentos respecto a A, la suma no es cero. RB

35 5_CÓMO SOSTENER UNA ESTRUCTURA 34 [5.5] DISPOSICIONES DE LOS ENLACES QUE DEBEN EVITARSE En general, todas las disposiciones de los vínculos son válidas EXCEPTO aquellas en las que las líneas de acción de las reacciones sean paralelas o concurrentes. P A Líneas de acción de las reacciones: son paralelas B Líneas de acción de las reacciones: son concurrentes en A P A Mecanismo: la barra se desplaza libremente B Mecanismo: la barra gira libremente respecto a A

36 SEGUNDA PARTE: EL EQUILIBRIO 35

37 6_EQUILIBRIO ESTÁTICO 36 Las estructuras son artilugios para conducir las fuerzas desde los puntos del edificio donde actúan hasta el terreno donde son finalmente resistidas. En su interior hay sistemas de fuerzas que están en un estado de equilibrio estático. En la estructura de la figura (puente del V Centenario), la fuerza (peso del camión) se transmite a través de la viga del puente a los pilares, y a lo largo de estos hasta el terreno.

38 7_VECTORES FUERZA Y RESULTANTES Una fuerza es un vector, y por lo tanto, para definirla es preciso especificar su magnitud, dirección y sentido. Se representa gráficamente por una flecha cuya longitud es proporcional a la magnitud de la fuerza. F ᶿ 37

39 7_VECTORES FUERZA Y RESULTANTES 38 Cuando dos o más fuerzas no paralelas actúan juntas, su efecto combinado es equivalente al de una sola fuerza que es la resultante del sistema de fuerzas original. La magnitud y dirección de la resultante se puede obtener gráficamente mediante suma de vectores en un triángulo de fuerzas o un polígono de fuerzas. a) b) F2 c) R Resultante de dos fuerzas: F1 F1 F2 a) b) F3 R F1 Resultante de tres fuerzas: F3 F1 F2 c) F2 La resultante es el vector necesario para cerrar el triángulo o el polígono de fuerzas.

40 7_VECTORES FUERZA Y RESULTANTES 39 DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN COMPONENTES Una fuerza puede ser dividida en partes invirtiendo el proceso anterior, y considerando a la fuerza original como la resultante de dos o más componentes. Esta técnica se conoce como descomposición de una fuerza en sus componentes y es muy útil para simplificar los sistemas de fuerzas en dos conjuntos de fuerzas actuando en direcciones perpendiculares, lo cual permite realizar la suma de fuerzas algebráicamente en lugar de gráficamente. a) b) v F F ᶿ ᶿ h= F.cos ᶿ v= F.sen ᶿ h Descomposición de la fuerza F en sus dos componentes perpendiculares: horizontal y vertical.

41 7_VECTORES FUERZA Y RESULTANTES 40 MOMENTO DE UNA FUERZA RESPECTO A UN PUNTO Las fuerzas ejercen un efecto de giro respecto a un punto que no está en su línea de acción, llamado momento. La magnitud de este efecto es igual al producto de la magnitud de la fuerza por la distancia entre el punto y la línea de acción de la fuerza, y se conoce como Momento. M A A F d El momento de la fuerza F respecto al punto A es M = F d

42 8_EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ECUACIONES DE EQUILIBRIO 41 Toda estructura debe tener una cimentación que sea capaz de producir el número suficiente de reacciones para equilibrar las cargas. La naturaleza de las reacciones que se producen depende de las características del sistema de cargas y del tipo de enlaces que se disponen. Las reacciones cambian cuando cambian las cargas exteriores.

43 8_EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ECUACIONES DE EQUILIBRIO 42 Para que un sistema de fuerzas esté en equilibrio, debe satisfacer dos condiciones: No puede haber una fuerza resultante neta en ninguna dirección. Se cumple si las componentes de las fuerzas en dos direcciones perpendiculares cualesquiera suman cero. 10kN A B 2m En dirección vertical, las fuerzas suman cero. 4m 6kN En dirección horizontal, no hay fuerzas (por tanto, también suman cero). 4kN Las fuerzas no deben ejercer un efecto de vuelco sobre la estructura. Se cumple si la suma de momentos de las fuerzas respecto a un punto cualquiera es cero. 20kN 80m.kN 4m 10kN 20kN 10kN En dirección vertical y horizontal las fuerzas suman cero. Además, la suma de momentos respecto a A, es también cero (Hay un momento antihorario de 80 m kn que se compensa con el momento de 20 4 que hace la carga vertical de 20 kn).

44 8_EQUILIBRIO ESTÁTICO Y ECUACIONES DE EQUILIBRIO 43 ECUACIONES DE EQUILIBRIO Es normal que para comprobar el equilibrio de un sistema de fuerzas algebraicamente, se descompongan estas en dos direcciones perpendiculares (normalmente horizontal y vertical). Las tres ecuaciones que deben cumplirse son: Fx = 0 Fy = 0 M = 0 Y se llaman ECUACIONES DE EQUILIBRIO. Las tres ecuaciones de equilibrio son las relaciones fundamentales en las que se basan todos los métodos de análisis estructural.

45 9_CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA ESTRUCTURA ISOSTÁTICA 45 [9.1] CÓMO CALCULAR LAS REACCIONES ECUACIONES DE EQUILIBRIO: Para calcular las reacciones en una estructura isostática, basta con dibujar todas las fuerzas que actúan sobre la estructura (acciones + reacciones), y aplicar las ecuaciones de equilibrio para calcular las reacciones (que son las incógnitas). 10kN 10kN 10kN 10kN 5kN 5kN 20kN 20kN R3 Estructura R1 Fuerzas (acciones + reacciones) R2-3 incógnitas: R1, R2 y R3-3 ecuaciones: FH = 0 FV = 0 M = 0 Al conjunto de fuerzas (acciones + reacciones) que actúan sobre un cuerpo, se le llama SOLICITACIONES.

46 9_CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA ESTRUCTURA ISOSTÁTICA 46 [9.2] CARGA PUNTUAL, UNIFORME Y TRIANGULAR. Son los tres tipos de cargas que podemos encontrar en edificación. P (kn) q (kn/m) q (kn/m) La carga uniforme (y la triangular) pueden sustituirse por su resultante para calcular las reacciones (pero no para calcular los esfuerzos internos).

47 9_CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA ESTRUCTURA ISOSTÁTICA 47 [9.3] CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA MÉNSULA. El único enlace en las ménsulas es un empotramiento, con una reacción horizontal, una vertical y un momento. Para calcular la reacción horizontal, aplica el equilibrio de fuerzas horizontales. Para calcular la reacción vertical, aplica el equilibrio de fuerzas verticales. Para calcular el momento en el empotramiento, aplica el equilibrio de momentos respecto al punto de empotramiento. L B P P1 MA RAX A L B P2 L RAY FH = 0 RAX = P2 FV = 0 RAY = P1 MA = 0 MA = P1. L RA A MA FH = 0 RA = P MA = 0 MA = P. L

48 9_CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA ESTRUCTURA ISOSTÁTICA 48 [9.4] CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA VIGA BIAPOYADA Las vigas biapoyadas tienen dos enlaces: Una articulación (con una reacción horizontal y otra vertical). Un apoyo (con una reacción vertical). Para calcular la reacción horizontal, aplica el equilibrio de fuerzas horizontales (en el caso de la figura, es nula). Para calcular la reacción vertical en el punto B (apoyo), aplica el equilibrio de momentos respecto a A (articulación). Para calcular la reacción vertical en A, aplica equilibrio de fuerzas verticales. 20kN A B 2m 1m MA = 0 RB. 2 = RB = 30 KN FV = 0 RA + RB = 20 RA = -10 KN RA Rb

49 9_CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA ESTRUCTURA ISOSTÁTICA 49 [9.5] CÁLCULO DE REACCIONES EN UN PÓRTICO ISOSTÁTICO Ejemplo de carga vertical Ejemplo de carga horizontal 10kN/m 5m 5m 5m 5m A RA 5kN/m 4m A B RB RAV B RAH RB Por simetría, RA = RB FH = 0 RAH = 4. 5 RAH = 20 KN FV = 0 RA + RB = 10 5 RA = 25 KN FV = 0 RAV + RB = 0 RAV = - RB RB = 25 KN MA = = RB. 5 RB = 8 KN

50 9_CÁLCULO DE REACCIONES EN UNA ESTRUCTURA ISOSTÁTICA 50 [9.6] CÁLCULO DE REACCIONES EN CABLES O BIELAS En estructuras soportadas por cables, o bielas, que sólo pueden transmitir fuerza en la dirección de su eje, por tanto las reacciones tienen siempre LA DIRECCIÓN DEL EJE DEL CABLE/BIELA. Se calculan haciendo equilibrio de fuerzas horizontales y verticales. R R ß ß Las reacciones en cables/bielas tienen siempre la dirección del eje de la barra P FV = 0 P = R.senß + R.senß R = P / 2senß