Mecánica de Materiales I

Transcripción

1 Tema 5 - Defleión en Vigas Mecánica de Materiales I Tema 5 Defleión en vigas

2 Tema 5 - Defleión en vigas Sección - Ecuación diferencial de la elástica Ecuación diferencial de la elástica Para comenzar este tema se debe recordar la ecuación deducida en el tema, en la cual se relaciona la curvatura de la superficie neutra con el momento flector en una viga sometida a fleión pura: M ( ) E I (5..) Donde es el radio de curvatura, E el módulo de elasticidad del material del que se compone la viga, I el momento de inercia de la sección transversal de la viga y M() el momento flector al que está sometida la misma. Observemos que este último término se ha designado como dependiente de la longitud medida desde un etremo de la viga ( ).

3 Tema 5 - Defleión en vigas Sección - Ecuación diferencial de la elástica Para deducir la ecuación de la elástica es necesario recordar del cálculo elemental, que el radio de curvatura de una curva plana en un punto P(,y) puede determinarse mediante la epresión dy d d y d d y d Donde, dada la relación y = f() : Corresponde a la primera derivada de la función Corresponde a la segunda derivada de la función dy d 3 (5..)

4 Tema 5 - Defleión en vigas Sección - Ecuación diferencial de la elástica Como las defleiones son muy pequeñas, podemos despreciar el término relativo a la primera derivada; obtenemos entonces que: d y d M ( ) E I (5..3) Esta es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden, y gobierna el comportamiento de la curva elástica, la cual describe las defleiones que eperimenta una viga cuando es sometida a cargas transversales.

5 Tema 5 - Defleión en vigas Sección Método de Doble Integración Método de Doble Integración Es el más general para determinar defleiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y defleión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la defleión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máima defleión.

6 Tema 5 - Defleión en vigas Sección - Método de Doble Integración Recordando la ecuación diferencial de la elástica: d y d M ( ) E I El producto E I se conoce como la rigidez a fleión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe epresarse en función de antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la fleión es constante. Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a. Planteamos: E I dy d M ( ) d C 0 (5..3) (5..)

7 E I dy d Donde C es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se eplicará más adelante. Como la variación de las defleiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproimación: dy d 0 M ( ) d C tg( ) De modo que con la epresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud de la viga. Tema 5 - Defleión en vigas Sección - Método de Doble Integración (5..) (5..)

8 Tema 5 - Defleión en vigas Sección - Método de Doble Integración Integrando nuevamente en ambos lados de la epresión anterior, tenemos: E I y( ) M ( ) d C d C (5..3) 0 0 Mediante esta epresión podemos conseguir la defleión para cualquier distancia medida desde un etremo de la viga. El término C es una constante de integración que, al igual que C, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la defleión y/o el ángulo de defleión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información.

9 Tema 5 - Defleión en vigas Sección - Método de Doble Integración En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un etremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones: Del apoyo en A puede establecerse: = A y = 0 Y, debido al apoyo en B : = B y = 0 Debido al empotramiento A : = A y = 0 = A = 0

10 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo Método de Área de Momento El método de área-momento proporciona un procedimiento semigráfico para encontrar la pendiente y el desplazamiento en puntos específicos sobre la curva elástica de la viga. a aplicación de este método requiere el cálculo de áreas asociadas con el diagrama de momento flector de la viga; si el diagrama consta de formas geométricas sencillas, el método resulta muy fácil de usar. Normalmente este es el caso cuando la viga está cargada con fuerzas y momentos concentrados. El método es bastante rápido y simple, pero en general se usa para calcular la defleión de solo uno a unos cuantos puntos de la viga. Su uso requiere un elevado nivel de comprensión del principio de momentos y de las técnicas para preparar diagramas de momento flector.

11 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo a figura muestra una curva elástica en la que se han seleccionado dos puntos cualquiera ( A y B ) y se han trazado rectas tangentes a los mismos. Puede observarse que B/A es el ángulo que forma la tangente que pasa por el punto B respecto a la que pasa por A. De forma análoga se define el ángulo A/B. Es importante notar que ambos tienen la misma magnitud, y se miden en sentido contrario. Recordando que las defleiones son muy pequeñas, podemos plantear la ecuación de la elástica de la forma: d d dy d M ( ) d d E I (5.3.)

12 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo Si integramos la epresión anterior, obtenemos: B A d B A M ( ) E I d (5.3.) Planteando que: B / A B A (5.3.3) Podemos finalmente rescribir la epresión anterior de la forma: B / A B A M ( ) E I d (5.3.4)

13 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo B / A B A M ( ) E I d (5.3.5) Esta ecuación es la base del primer teorema del método de área de momento: El ángulo entre dos rectas tangentes a dos puntos cualquiera sobre la curva elástica es igual al área bajo el diagrama M/(E I) entre esos dos puntos

14 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo uego, como se observa en la figura, puede considerarse aceptable la aproimación: dt d (5.3.6) Donde d es el ángulo que eiste entre dos tangentes de dos puntos separados una distancia d y es la distancia medida desde el punto A hasta el elemento diferencial en cuestión. Al sustituir d queda: dt M ( ) E I d (5.3.7)

15 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo Finalmente, al integrar la epresión anterior queda: t A/ B B A M ( ) E I d (5.3.8) o cual puede rescribirse de la forma: t A/ B A B A M ( ) E I d (5.3.9) Donde A es la distancia (medida sobre la dirección ) que eiste entre el punto A y el centroide del área bajo la curva M E/I.

16 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo a ecuación supone la base del segundo momento: teorema de área a desviación vertical de la tangente en un punto A sobre la curva elástica con respecto a la tangente prolongada desde otro punto B es igual al momento de área bajo el diagrama ME/I entre los puntos A y B. Este momento se calcula respecto al punto A donde va a determinarse la desviación vertical t A/B.

17 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 3 - Método de Area de Mometo De forma análoga, podría hallarse la desviación del punto B respecto a la tangente que pasa por A. Para ello, se calcularía el momento de área bajo el diagrama ME/I respecto al punto B, es decir: t A B M ( ) E I d B / A B (5.3.9) Donde B es la distancia que eiste desde el punto B hasta el centroide de la figura. Es importante mencionar que, si el resultado de la ecuación es positivo, el punto B (en el que se calcula la defleión) se encuentra por encima de la recta tangente que pasa por el A (y viceversa).

18 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Método de Tres Momentos Con este método puede analizarse una viga sostenida por cualquier número de apoyos. De hecho, el teorema soluciona los momentos flectores en los apoyos sucesivos entre sí, y con las cargas que actúan en la viga. En el caso de una viga con tres apoyos únicamente, este método permite el cálculo directo del momento en el apoyo intermedio. as condiciones de los etremos proporcionan datos para calcular los momentos en ellos. uego pueden usarse los principios de estática para determinar las reacciones. En el caso de vigas con más de tres apoyos, el teorema se aplica en sucesión a juegos de tres apoyos adyacentes, para obtener un juego de ecuaciones que se puede resolver simultáneamente para los momentos desconocidos. Se puede usar el teorema de los tres momentos para cualquier combinación de cargas.

19 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Consideremos una viga cargada como se muestra en la figura. Se han elegido tres puntos cualquiera sobre la viga (, y 3 ), donde realizaremos cortes transversales y estableceremos las cargas a las que están sometidas estas secciones, manteniendo las que están aplicadas sobre los tramos y 3.

20 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Se tendría entonces: Note que los momentos flectores ( M, M, M 3 ) se han dispuesto en su sentido positivo, según el convenio establecido. as fuerzas cortantes V i y V d no son necesariamente iguales; depende de la condición de apoyo ó carga que eista en el punto.

21 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos uego, planteamos las cargas y los momentos flectores de forma separada, agregando y quitando fuerzas, como se muestra en la figura. En el caso mostrado, se ha asumido que M <M y M <M 3.

22 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Posteriormente, se realizan los diagramas de momento flector para los casos anteriormente mostrados. Recordamos nuevamente que se ha asumido M <M y M <M 3.

23 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Ahora, observemos una representación eagerada de la curva elástica entre los puntos y 3. Puede notarse que se cumple la relación de triángulos: h t/ t3/ h3 (5.4.) 3

24 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos Posteriormente podemos establecer las epresiones de defleión de los puntos y 3 respecto a la tangente que pasa por : ) ( / d I E M t (5.4.) 3 ) ( 3/ d I E M t / 3 3 A M M I E t / 3 3 A M M I E t (5.4.3)

25 Tema 5 - Defleión en vigas Sección 4 - Método de Tres Momentos M Finalmente, al sustituir t / y t 3/ en la ecuación 5.4., se obtiene: M ( 6 E I 3 ) M h Esta ecuación epresa la una relación general entre los momentos flectores en tres puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se llama ecuación de los tres momentos. Si los puntos, y 3 están al mismo nivel en la viga fleionada, los términos h y h 3 se anulan, con lo cual el miembro derecho de la ecuación se hace cero. 3 h A (5.4.4) 6A 3 3 3