Universidad Nacional de La Plata

Transcripción

1 1 Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Naturales Museo Cátedra de Matemática Elementos de Matemática Asignatura: Matemática Contenidos de la Unidad Temática nº 7 Diferencial: definición, significado geométrico relación con el incremento. Aplicaciones de la diferencial al cálculo de errores. Variación de las funciones de una variable. Determinación de máimos mínimos relativos. Ing. Carlos Alfredo López Profesor Titular

2 Cátedra de Matemática Elementos de Matemática Asignatura: Matemática Unidad Temática nº 7 Ing. Carlos Alfredo López DIFERENCIALES: Supongamos que la función f () tenga derivada f (). Vamos a definir Diferencial Diferencial que simbolizaremos d d respectivamente. Por definición : d = d = f () es decir, el valor de d coincide con el incremento de el valor de depende de la derivada de la función en del incremento. d Gráficamente resulta: P δ A C B f () d d > AB > CB + AB tg δ = = f ' ' = ( ) AB = f ( ) = d d AB

3 3 La diferencial de ( d ) puede ser maor, igual o menor que. P f () A = C d = B P C A B f () d + + d = ; AC = CB d < ; BA < BC De la definición de diferencial tenemos que: d = f ( ) d Esta igualdad epresa a la derivada como cociente de dos diferenciales. '( ) f = CÁLCULO DE ERRORES MEDIANTE DIFERENCIALES.: Si dos magnitudes e están vinculadas por = f (), a una variación corresponde una variación. Si es el error cometido en la medición de, será el error cometido en f (). En lugar de calcular = f ( + ) - f () es más cómodo calcular d que, si bien no es idéntico a, se aproima cuando se consideran pequeños incrementos de, es decir d. d d Ejemplo: Manera de aproimar la raíz cuadrada de un número. = + d, de donde: + 1 d + 1 d + = d = 1 d

4 4 Ejemplo: Calcular usando diferenciales 10 Elegimos como valor de un cuadrado perfecto: 9 como d = 1. Por lo tanto: ( 1) 3 10 = = = 316, El valor eacto es 3, APLICACIONES DE LA DERIVADA. Es importante recordar el concepto de derivada de una función en un punto su interpretación geométrica. DEFINICIÓN: Se llama derivada de una función continua en un punto al límite del cociente incremental cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. Es decir: La derivada de la función f() en 0 se representa por f ( 0 ) de acuerdo con la definición es: Este límite finito es un número. b g bg f + f f ( 0 ) = lim INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA: Sea f () una función continua que admite derivada en el punto 0. A este punto le corresponde el punto de la curva P. A b 0 + gle corresponde el punto Q. Se traza la recta PQ secante de la curva. ( + ) 0 Q PQ

5 5 f = f ( + ) f ( ) Observamos que el cociente incremental es la pendiente de la recta secante PQ. Cuando se hace más pequeño, el punto Q se aproima a P. Cuando 0 la recta secante pasa a ser tangente en P determina el ángulo α ( con el semieje positivo de las ). tangente Q secante P α Por lo tanto, el límite del cociente incremental cuando 0,o sea la derivada en 0, es un número que mide la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P. Actividad: Qué ocurre si la derivada de una función en un cierto 0 es cero? Y si es 1 o -1? PUNTOS CRÍTICOS: Se llaman así a aquellos puntos en que la derivada es cero o no está definida.

6 6 Ejemplos: Determinar los puntos críticos de la función a) f()= Derivando se tiene: f ( ) = La derivada está definida para todo. Hacemos f ( ) = = 0 Simplificando tenemos: = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado: b b ac = ± 4 a 4 = ± = 3 = 1 por lo tanto f ( ) se anula para 1 = 3 =1, luego 1 son los puntos críticos de f ( ). b) f ( ) = 1 ( 1) f '( ) = ( 1) = = ( 1) ( 1) La derivada no está definida en = 1; además se anula cuando el numerador es igual a cero, es decir: - = 0 ( - )= 0 1 = 0 = Por lo tanto la función tiene tres puntos críticos : 1 =0 ; =1 ; 3 =. MÁXIMOS Y MÍNIMO RELATIVOS.

7 7 Si f ( 0 ) > 0 α ángulo agudo función creciente P f () α 0 Si f ( 0 ) < 0 α ángulo obtuso función decreciente f () P α 0 Conclusión: Si la derivada de una función en un punto es positiva, la función es creciente en dicho punto; si la derivada es negativa, la función es decreciente. Si a la izquierda de un punto la derivada es positiva a la derecha del mismo es negativa, en ese punto eiste un máimo relativo.

8 8 tg 0 Si a la izquierda del punto la derivada es negativa a la derecha es positiva, en ese punto eiste un mínimo relativo. tg 0 Si en el punto en que la función tiene un máimo o un mínimo relativo eiste derivada, ésta debe ser cero; es decir, la tangente en dicho punto es horizontal.

9 9 m = 0 m = 0

10 10 CRITERIO DE LA DERIVADA SEGUNDA: En los siguientes gráficos hemos representado una función F simultáneamente, en correspondencia con la misma, hemos dibujado las gráficas que describen aproimadamente el comportamiento de las funciones derivadas primera segunda, respetando únicamente el significado geométrico de las mismas. Sea la función : f() : + k1 si + k si 3 + k3 si ]a,c[ ]c, e[ ]e,g[ B F G f() A C E D a b c d e f g f () a b c d e f g f () a ( - ) b c ( + ) ( + ) d e ( - ) f g Observamos que si f (b) < 0 entonces la función derivada primera es decreciente en b siendo f (b) = 0 la derivada primera pasa de positiva a negativa entonces f () pasa de creciente a decreciente en el punto B, luego en f (b) eiste un máimo relativo. Análogamente si f (d) > 0 entonces f () es creciente en d siendo f (d) =0 la derivada primera pasa de negativa a positiva entonces f () pasa de decreciente a acreciente en el punto D, luego en f (d) eiste un mínimo relativo. Si la derivada segunda se anula conjuntamente con la derivada primera nada podemos afirmar.

11 11 En conclusión Si en el punto en que se anula la primera derivada, la segunda derivada es distinta de cero, eiste un máimo o un mínimo relativo. * Si el valor de la segunda derivada es maor que cero la función presenta un mínimo relativo. * Si el valor de la segunda derivada es menor que cero, la función presenta un máimo relativo. Luego para hallar un máimo o un mínimo relativo se procede de la siguiente forma: 1) Se halla f (). ) Se hace f () = 0 se obtienen los puntos críticos. 3) Se halla f (). 4) Se evalúa f () en los puntos críticos. Si en ellos f () es maor que cero eiste mínimo relativo, si es menor que cero eiste máimo relativo. Ejemplo: Determinar los máimos los mínimos relativos de la función f () = f () = f () = = 0 = 14 ± f () = = 1/3 = -5 puntos críticos f (1/3)> 0 mínimo en 1 = 1/3 f (-5) < 0 máimo en = -5

12 1 PROBLEMA DE APLICACIÓN. Con un rollo de alambre de 48 m. de longitud construir junto a una pared un recinto rectangular de superficie máima. Sup. rectángulo =. S (, ) =. (1) Debemos construir una variable de acuerdo a las condiciones del problema. e están vinculadas de manera tal que podemos escribir una en función de la otra. De acuerdo con el problema será + = 48 m = 4 - /. Reemplazando en (1) F () = 4 = 4 F () = 4 Esta es la función que debemos maimizar. F () =4 Luego F () = = 0 = 4 m. Por lo tanto, será = 4 4 = 1 m. Superficie máima = = 4m 1m = 88m Actividad. Resolver el problema anterior aprovechando el ángulo de una pared.

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