FUNDAMENTOS TICOS ECUACIONES DIFERENCIALES

Transcripción

1 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS TICOS TEMA 6: INTRODUCCIÓN N A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

2 INTRODUCCIÓN

3 El pasado lunes al mediodía la policía científica encontró el cadáver de J.D.M. cadáver en un contenedor en el que la temperatura ambiente era de 1ºC. En el momento del descubrimiento del cadáver, el comisario Marcos, tras observar las lesiones múltiples que presentaba el cuerpo, tomo su temperatura observando que esta era de 4.4ºC. Una hora después este comisario procedió de nuevo a tomar la temperatura del cuerpo, y esta había descendido 0.4ºC. A qué hora se produjo el fallecimiento de J.D.M.? Ley de enfriamiento de Newton: La variación de la temperatura, T, de un cuerpo con respecto al tiempo, t, es proporcional a la diferencia entre la temperatura, T y la temperatura ambiente, T a.

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5 A escala humana... Poder destructivo de los volcanes Nevado del Ruiz, Colombia (1985)

6 INTRODUCCIÓN La experiencia adquirida en volcanes vigilados indica claramente que las erupciones volcánicas están precedidas y acompañadas de cambios geofísicos y/o geológicos medibles del estado del volcán

7 INTRODUCCION (a)la expansión volumétrica del edificio volcánico comienza cuando el magma alcanza la cámara. (b) Cuando la cámara alcanza su límite de expansión, el terreno circundante comienza a fracturarse para acomodar este incremento de volumen. Este proceso puede dar lugar a que se produzcan pequeños terremotos en la zona. (c) La cámara comienza a recuperar su forma original cuando el magma se mueve lateralmente hacia una zona de fractura, lo que puede dar lugar a que el magma se deposite en dicha zona o a que se produzca un episodio eruptivo.

8 INTRODUCCIÓN

9 INTRODUCCIÓN INDICADORES GEODÉSICOS Deformaciones: Variaciones de forma y/o dimensiones de un cuerpo que se produce como respuesta a los esfuerzos a los que está sometido. Varios ordenes de magnitud (cm-m). Variaciones de gravedad: vigilancia de variaciones locales del campo de gravedad asociadas con cambios de masa y densidad. Son normalmente pequeñas, típicamente del orden de µgal.

10 MODELO MODELO ELÁSTICO- GRAVITATORIO Desplazamientos + variaciones de potencial gravitatorio en un medio elástico, isótropo y homogéneo (4) 1 u + u + 1 ν ρ0g µ (1) () (3) ( ue. z ) (5) (6) 4 o ρ0 φ µ ρ0g ez u = µ ν = φ = πρg u λ ( λ + µ ) (1) Interacción con el campo gravitatorio ambiente (pre-existente) asociada al desplazamiento vertical del medio () Interacción con el campo gravitatorio ambiente asociada las variaciones de densidad que produce la dilatación (3) Contribución del desplazamiento elástico del medio frente al campo hidrostático inicial. Acoplamiento (4) Ecuación de equilibrio de Navier (5) Laplaciano del potencial del potencial perturbador (6) Término fuente variaciones de densidad asociados con la dilatación 0

11 MODELOS

12 APLICACIÓN

13 APLICACIÓN Red GPS permanente instalada por el ITER en la caldera de Las Cañadas

14 APLICACIÓ APLICACIÓN

15 DEFINICIONES BÁSICAS Y TERMINOLOGÍA

16 Definiciones básicas y terminología Definición de ecuación diferencial ordinaria: Una ecuación diferencial ordinaria (E.D.O.) es una relación entre la variable independiente x, una función desconocida y(x) y sus derivadas y,y,, y (n), que puede escribirse simbólicamente en la forma: F( x, y, y', y'',..., y ( n) ) = 0 siendo F una función real. El orden de una ecuación diferencial ordinaria es igual al de la derivada de más alto orden que figure en la ecuación. ó dy d y F x, y,, dx dx,..., n d y n dx Observación: Las ecuaciones que establecen una relación entre una función desconocida z, dependiente de dos o más variables x, y,, las propias variables x, y,, y las derivadas parciales de z respecto de sus variables se llaman ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. = 0

17 Definiciones básicas y terminología Definición de solución de una ecuación diferencial ordinaria: Se llama solución o integral de la ecuación diferencial ordinaria F(x,y,y,,y (n) ) = 0 en un intervalo I a toda función y = g(x) tal que F(x,g(x),g (x),, g (n) (x)) = 0 en I. Definiciones: 1. En general, una ecuación diferencial tiene infinitas soluciones, así, se define la solución general de una EDO como la familia paramétrica de soluciones de la ecuación: y = y( x, C) donde C es una constante real (parámetro), de modo que para cada valor fijo de C = C o la función y(x,c o ) es una solución particular de la EDO.

18 Definiciones: Definiciones básicas y terminología. Desde el punto de vista geométrico, la solución general representa a una familia de curvas en el plano, que reciben el nombre de curvas integrales de la EDO. Las soluciones particulares son las diferentes curvas de la familia. Y dy dx = y y = Ce x X

19 Definiciones: Definiciones básicas y terminología. Desde el punto de vista geométrico, la solución general representa a una familia de curvas en el plano, que reciben el nombre de curvas integrales de la EDO. Las soluciones particulares son las diferentes curvas de la familia. Y Y X c 0 c < 0 X y' x y = 0 y x 4 = + C

20 Definiciones: Definiciones básicas y terminología 3. Solución singular: Las soluciones, si existen, que no se obtengan de la integral general reciben el nombre de soluciones singulares. Y Y X c 0 c < 0 X y' x y = 0 x 4 y = + C La solución y = 0 es una solución singular de la EDO, ya que no se obtiene de la solución general para ningún valor de la constante C.

21 Definiciones básicas y terminología Definiciones: 4. La relación x + y 16 = 0 es una solución implícita de la ecuación diferencial x + yy = 0 en el intervalo I = (- 4,4) pues derivándola implícitamente respecto de x resulta x + yy = 0. Esta relación define dos funciones, y 1 (x) e y (x), que son soluciones explícitas de x + yy = 0 en el intervalo I: y1( x) = 16 x y( x) = 16 x 5. La relación x + y + 16 = 0, derivada implícitamente respecto de x, también satisface formalmente la ecuación diferencial x + yy = 0. Sin embargo, no es solución implícita de esta ecuación ya que no define ninguna función en ningún intervalo. En este caso, se dice que la relación es una solución formal de la EDO.

22 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

23 Ecuaciones diferenciales de primer orden Definiciones: En su forma más general, una EDO de primer orden puede escribirse en la forma: F ( x, y, y' ) = 0 donde y es una función derivable en un dominio D R y x D. Si puede despejarse y, la ecuación adquiere la forma normal: y ' = f ( x, y) o equivalentemente: dy = dx f ( x, y) La solución general es una relación de la forma G (x, y, C) = 0, siendo C un parámetro. Toda función obtenida de la solución general dando a la constante C un valor determinado es una solución particular de la EDO.

24 Interpretación Geométrica: Ecuaciones diferenciales de primer orden Dada una EDO y = f (x,y), para todo P (x,y) del plano, la ecuación proporciona el valor de la derivada y, es decir, el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva solución que pasa por el punto P. Así pues, en cada punto es posible determinar la dirección de la recta tangente a la curva sin conocer la curva. De esta forma la ecuación diferencial define un conjunto de direcciones en plano, que suele llamarse campo de direcciones. Campo de direcciones y' = x y

25 Ecuaciones diferenciales de primer orden Definición. Problema de Cauchy o del valor inicial: Se llama problema de Cauchy o del valor inicial al conjunto formado por una ecuación diferencial ordinaria y una condición inicial: PVI y' = y( x0) f ( x, y) = y 0 EDO VALOR INICIAL y'= y x y'= y( ) = y x 3/ y = Cx Solución 3 y = x 8 Problema del valor inicial

26 Ecuaciones diferenciales de primer orden Teoremas de existencia y unicidad de soluciones: Teorema de Picard Consideremos un rectángulo cerrado del plano XY que contiene al punto (x 0,y 0 ) en su interior. Si f (x,y) y f y (x,y) son continuas sobre el rectángulo, entonces el problema de valor inicial tiene una única solución y (x) en algún intervalo cerrado de centro x 0. Teorema de Peano Consideremos un rectángulo cerrado del plano XY que contiene al punto (x 0,y 0 ) en su interior. Si f (x,y) es continua sobre el rectángulo, entonces el problema de valor inicial tiene al menos una solución y (x) en algún intervalo cerrado de centro x 0.

27 ECUACIONES DE VARIABLES SEPARABLES

28 Ecuaciones de variables separables Resolución de EDO de primer orden: 1. Tipo y ' = f ( x) Si la función f(x) es continua en el intervalo I R, entonces f(x) es integrable en I, siendo: y = f ( x) dx. Tipo variables separables de primer orden M ( x) dx = N( y) dy Si las funciones M(x) y N(y) son continuas en sus respectivos dominios, entonces: N ( y) dy = M ( x) dx Observaciones: 1. En la mayoría de los casos, la solución general así obtenida queda expresada en forma implícita.. En la solución general sólo aparece una constante C, que engloba las dos constantes de integración que aparecen al integrar en cada miembro.

29 Ecuaciones de variables separables Resolución de EDO de orden superior a uno: 1. Tipo ( ) y n = f ( x) Si la función f(x) es continua en el intervalo I R, entonces la solución general de la EDO en I es: y =... ( n ) ( n) f ( x) dx... dx Esta solución dependerá de las constantes C 1, C,, C n.. Problemas de valor inicial y de valores en la frontera: P.V.I ( ) y n = f ( x) P.V.F. y y'( x y''( x ( n 1) y( x ( x ) = ) = ) = M ) = y y y y ' '' ( n 1) 0 Se especifican los valores de la función y/o de sus derivadas parciales en distintos puntos

30 EJEMPLO: FLEXIÓN DE VIGAS

31 Ejemplo: Flexión de vigas. La curva elástica Consideremos una viga horizontal de sección transversal uniforme y de material homogéneo. Cuando está sometida a fuerzas como el peso u otras cargas, que están en un plano que contiene a su eje de simetría, la viga puede deformarse. A Eje de simetría B El eje de simetría resultante de la viga deformada se denomina curva elástica, para cuya determinación se utiliza la teoría de la elasticidad. A Curva elástica B PROBLEMA: Supongamos que una viga horizontal OB, cuyo eje de simetría coincide con el eje OX, está fija en el punto O (a). Debido a la acción de fuerzas externas F 1, F,, el eje de simetría se desplaza siguiendo la curva elástica, siendo u(x) el desplazamiento de un punto P del eje de simetría (P P ). El problema que queremos resolver consiste en encontrar la ecuación de la curva elástica. Y F 1 F F 3 F 4 F 5 Y F 1 O (a) P x B x = L X O F F 3 (b) P u(x) P x F 4 F 5 X B Curva elástica

32 Ejemplo: Flexión de vigas. La curva elástica Y F 1 F F 3 F 4 F 5 Y F 1 O (a) P x B x = L X O F F 3 (b) P u(x) P x F 4 F 5 B X La ecuación diferencial que permite encontrar la forma de la curva elástica, es una ecuación para el campo de desplazamientos que sufre el eje longitudinal de la viga desde su forma recta original a la forma curvada final. Para una viga de material elástico lineal sometido a pequeñas deformaciones esta ecuación diferencial viene dada por: d u M ( x) = dx EI u: Flecha o desplazamiento vertical respecto de la posición sin cargas M(x): Momento flector de la viga en la sección x (toda fuerza produce un momento respecto de cualquier sección transversal que es igual al producto de la fuerza por la distancia entre la sección dada y el punto de aplicación de la fuerza). I: Segundo momento de inercia. E: Módulo de elasticidad de Young, que depende del material.

33 PROBLEMA Una viga de longitud L = 4 m, apoyada en sus extremos, soporta una carga concentrada en su punto de medio de 6 Tn. Hallar la ecuación de la curva elástica sabiendo que es solución de la siguiente EDO: d u y' ' = dx = 3x 3x, 6( x ), 0 < x x u(x) Curva elástica