ECUACIONES DIFERENCIALES CARLOS RUZ LEIVA

Transcripción

1 ECUACIONES DIFERENCIALES CARLOS RUZ LEIVA

2 Definición de ecuación diferencial Una ecuación que relaciona una función desconocida y una o más de sus derivadas se llama ecuación diferencial. Instituto de Ciencias Básicas 2

3 Ejemplo 1 dx La ecuación diferencial x t dt dx xt () como a su primera derivada x () t =. dt 2 2 = + incluye tanto a la función desconocida 2 d y La ecuación diferencial y = 0 incluye la función desconocida y 2 dx dx de la variable independiente x y las primeras dos derivadas y y y de y. Instituto de Ciencias Básicas 3

4 Ejemplo 2 x Si C es una constante y yx ( ) = Ce, (1) 2 2 x x Entonces C( 2 xe ) (2 x) ( Ce ) 2xy dx = = =. 2 Así, toda función yx ( ) de la forma (1) satisface a la ecuación diferencial = 2xy. Es decir, es una solución de la ecuación diferencial, para toda x. dx En particular, la ecuación diferencial (1) define a una familia infinita de soluciones diferentes de esta ecuación diferencial, una para cada elección de la constante arbitraria C. Instituto de Ciencias Básicas 4

5 En el gráfico se muestran dos soluciones; una que pasa por el punto (0,2), la otra pasa por el punto (0,-2). Instituto de Ciencias Básicas 5

6 Ejemplo 3 1 Si C es una constante y yx ( ) = C x 1 2 = = y 2 dx ( C x) 1 yx ( ) = C x, entonces si x C. Así 2 define a una solución de la ecuación diferencial = y para cualquier dx intervalo de números reales que no contenga al punto x= C. Con x = 1 1 obtenemos la solución particular yx ( ) = 1 x que satisface la condición inicial y (0) = 1. Como se indica en la figura siguiente, esta solución es continua en el intervalo ],1[, pero tiene una asíntota vertical en x = 1. Instituto de Ciencias Básicas 6

7 Instituto de Ciencias Básicas 7

8 Definición de orden El orden de una ecuación diferencial es el orden de la derivada más alta que aparezca en ella. dx 2 2 = x + t, es de primer orden. dt 2 d y y = 0, es de segundo orden. 2 dx dx (5) (3) 2 y xy + x y = cos x, es de quinto orden. La forma general de una ecuación diferencial de orden n con variable independiente x y función desconocida o variable dependiente y = y( x) es ( n) F( x, y, y, y,..., y ) = 0 (2) donde F es una función específica con valores reales de 2 n + variables. Instituto de Ciencias Básicas 8

9 Se dice que la función u = u( x) es una solución de la ecuación diferencial en (2), en el intervalo I siempre y cuando las derivadas ( n) existan u, u,..., u ( n) en I y F( x, u, u, u,..., u ) = 0 para toda x en I. Más brevemente, decimos que u = u( x) satisface la ecuación diferencial en (2) sobre I. Toda las ecuaciones diferenciales que hemos mencionado hasta ahora son ecuaciones diferenciales ordinarias, queriendo decir que la función desconocida (variable dependiente) depende solamente de una sola variable independiente. Si la variable dependiente es una función de dos o más variables independientes, entonces la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial parcial (aparecen en la ecuación derivadas parciales). Instituto de Ciencias Básicas 9

10 Por ejemplo, la temperatura u = u( x, t) en el punto x y en el tiempo t de una varilla larga y uniforme satisface (en condiciones simples y apropiadas) la ecuación diferencial parcial u t = k 2 u 2 x, donde k es una constante (difusividad térmica de la varilla). Instituto de Ciencias Básicas 10

11 En este capítulo estudiaremos ecuaciones diferenciales de primer orden de la forma f( x, y) dx =. También, estudiaremos problemas con condiciones iniciales, de la forma f ( xy, ) dx =, yx ( 0) = y0. (3) Resolver este problema, significa determinar una función diferenciable y = y( x) que satisfaga ambas condiciones de la ecuación (3) en algún intervalo que contenga x 0. Instituto de Ciencias Básicas 11

12 Ejemplo 4 1 Dada la solución yx ( ) = de la ecuación diferencial C x problema con condición inicial dx = y 2, resuelva el y =. 2 y dx =, (1) 2 Los métodos, que estudiaremos a continuación, nos permitirán resolver este tipo de problemas y otros de mucho interés en Ciencia y en Ingeniería. Instituto de Ciencias Básicas 12

13 Integrales como soluciones generales y particulares La ecuación diferencial f ( xy, ) dx =, toma una forma particular sencilla si la función f depende sólo de la variable independiente x : f( x) dx =. En este caso, la solución general es y = y( x) = f ( xdx ) + C. Formato básico para usar en la ClassPad 300 Instituto de Ciencias Básicas 13

14 La solución particular de la ecuación diferencial con condición inicial f( x) dx =, yx ( 0) = y0 es y = y( x) = f ( xdx ) + C, donde C 0 se obtiene reemplazando x= x0 y 0 y = y 0 en la solución general. Formato básico para usar en la ClassPad 300 Instituto de Ciencias Básicas 14

15 Ejemplo 1 Resuelva el problema con condición inicial Solución: 3x 2 dx = +, y (1) = x La solución general es y = y( x) = (3x+ 2) dx+ C = + 2x+ C x La solución particular es y = y( x) = + 2x+ C0, donde C 0 se encuentra 2 reemplazando x = 1 y y = 5 en la solución general obtenida. 2 3(1) y(1) = + 2(1) + C0 = De aquí se obtiene C 0 =. 2 Instituto de Ciencias Básicas 15

16 La solución particular de la ecuación diferencial = 3x + 2, con condición dx 2 3x 3 inicial y (1) = 5, es y = y( x) = + 2x Instituto de Ciencias Básicas 16

17 Ejemplo 2 En la figura siguiente se muestra la gráfica de la solución particular del problema = 3x + 2, con distintas condiciones iniciales. Cuál es la distancia dx vertical entre dos curvas contiguas? Qué tiene que ver esta distancia vertical con el valor de la constante C? Instituto de Ciencias Básicas 17

18 Campos direccionales y curvas solución Un campo de direcciones de una ecuación diferencial f( x, y) dx =, está formado por un conjunto de segmentos de rectas, dibujados en cada punto ( x, y ) del plano XY, con una pendiente igual a f ( x, y ), como se muestra en la figura. La pendiente de este segmento es igual a f(x,y). Instituto de Ciencias Básicas 18

19 Ejemplo 1 Las figuras siguientes muestran los campos de direcciones y las curvas de solución para la ecuación diferencial dx = ky con los valores k = 2, 0.5, y 1. Observe que el campo de direcciones produce una importante información cualitativa acerca del conjunto de todas las soluciones de la ecuación diferencial. Instituto de Ciencias Básicas 19

20 Instituto de Ciencias Básicas 20

21 Instituto de Ciencias Básicas 21

22 Isoclinas Una isoclina de la ecuación diferencial = f( x, y) es una curva de la forma dx f ( x, y) = c ( c es una constante) en la cual la pendiente y ( x) es constante. Instituto de Ciencias Básicas 22

23 Ejemplo 2 La isoclina típica de la ecuación diferencial 2 2 x y dx = + tiene la ecuación x 2 + y 2 = c> 0, y por tanto es un círculo con centro en el origen y radio r siguiente. = c. Varios de estos círculos se presentan en la figura Instituto de Ciencias Básicas 23

24 Ejemplo 3 Dibuje, en una ventana de visualización 5 x 5, 5 y 5, el campo de direcciones, curvas de solución y las isoclinas correspondientes a la ecuación diferencial sin( x y) dx = Instituto de Ciencias Básicas 24

25 Existencia y unicidad de las soluciones Suponga que una función con valores reales f( x, y) es continua en algún rectángulo, en el plano XY, que contiene al punto ( ab, ) en su interior. Entonces el problema con condición inicial f( x, y) dx =, y( a) = b tiene al menos una solución definida en algún intervalo J que contiene al punto a. Si además, la derivada parcial f es continua en ese rectángulo, y entonces la solución es única en algún (tal vez más pequeño) intervalo abierto J 0 que contiene al punto x= a. Instituto de Ciencias Básicas 25

26 Nota 1: Para la ecuación diferencial = y, la función (, ) dx f x y = y y la f derivada parcial = 1 son funciones continuas en todas partes, por lo que y el teorema 1 implica la existencia de una solución única que pasa por el punto ( ab, ). Aunque el teorema asegura la existencia sólo en algún intervalo abierto que contenga a x está definida para toda x. = a, cada solución y( x) = Ce x realmente Nota 2: Para la ecuación diferencial = 2 y, la función (, ) 2 dx f x y = y es f 1 continua si y > 0, pero la derivada parcial = es discontinua cuando y y y = 0, y por lo tanto en (0,0). Es por lo que es posible que ahí existan dos soluciones diferentes y ( x) 1 la condición inicial y (0) = 0. x = 2 y 2 ( ) 0 y x =, cada una de las cuales satisface Instituto de Ciencias Básicas 26

27 Ecuaciones separables La ecuación diferencial de primer orden dx = H( x, y) se denomina separable a condición de que H( x, y ) pueda escribirse como el producto de una función de x y una función de y : dx g( x) = gx ( ) φ( y) =, f( y) 1 donde φ ( y) =. En este caso las variables x y y pueden separarse, f( y) escribiendo de manera informal la ecuación Instituto de Ciencias Básicas 27

28 que entendemos será una notación concisa para la ecuación diferencial f( y) g( x) dx =. Integrando ambos miembros con respecto a x : o en forma equivalente, f ( y) dx = g( x) dx + C dx ; f ( y ) = g ( xdx ) + C. De aquí se obtiene la solución general en la forma implícita ϕ ( xyc,, ) = 0. Instituto de Ciencias Básicas 28

29 Ejemplo 1 Resuelva el problema con condición inicial 6xy dx =, y (0) = 7. Cuál será la solución de este problema si la condición inicial es y (0) = 4? El gráfico de la figura muestra el campo de direcciones y las curvas solución en estos dos casos. Instituto de Ciencias Básicas 29

30 Ejemplo 2 Resuelva el problema con condición inicial 4 2x = 2 dx 3y 5, y (1) = 3. Instituto de Ciencias Básicas 30

31 Ejemplo 3 Determine todas las soluciones de la ecuación diferencial 2/3 6 xy ( 1) dx =. Instituto de Ciencias Básicas 31

32 Ecuaciones lineales de primer orden La ecuación lineal de primer orden tiene la forma P( xy ) Qx ( ) dx + = donde P y Q son funciones continuas en algún intervalo real. Método de resolución: P( xdx ) 1. Calcular el factor de integración ρ( x) = e. 2. Multiplicar ambos miembros de la ecuación diferencial por ρ ( x). 3. Identificar el miembro izquierdo de la ecuación resultante como d [ ( xyx ) ( )] ( xqx ) ( ) dx ρ = ρ. 4. Integrar la ecuación ρ( x) y( x) = ρ( x) Q( x) dx+ C. 5. Despejar la y, para obtener la solución general de la ecuación diferencial original. Instituto de Ciencias Básicas 32

33 Ejemplo 1 Resuelva el problema con condición inicial 11 x /3 y = 8 e, y (0) = 1. dx Instituto de Ciencias Básicas 33

34 Ejemplo 2 Determine una solución general de 2 ( x + 1) + 3xy = 6x. dx Instituto de Ciencias Básicas 34

35 Ejemplo 3 Analice los campos de direcciones en los ejemplos anteriores. Instituto de Ciencias Básicas 35

36 Ecuaciones homogéneas Una ecuación diferencial homogénea de primer orden es una que puede escribirse en la forma y = F dx x. Si hacemos las sustituciones v y =, y = vx, x dv = v+ x, dx dx entonces la ecuación diferencial se transforma en la ecuación separable dv x F() v v dx =. Instituto de Ciencias Básicas 36

37 Ejemplo 1 Resuelva la ecuación diferencial 2 2 2xy 4x 3y dx = +. Instituto de Ciencias Básicas 37

38 Ejemplo 2 Resuelva el problema con condición inicial donde x 0 > x y x y dx = +, yx ( 0) = 0 Instituto de Ciencias Básicas 38

39 Ejemplo 3 Resuelva la ecuación diferencial 2 ( x y 3) dx = + +. Instituto de Ciencias Básicas 39

40 Ejemplo 4 Resuelva la ecuación diferencial x y 1 =. dx x + y + 3 Instituto de Ciencias Básicas 40

41 Ejemplo 5 Resuelva la ecuación diferencial x y + 1 = dx 2( y x) + 3. Instituto de Ciencias Básicas 41

42 Ecuación de Bernoulli La ecuación diferencial de primer orden de la forma P( xy ) Qxy ( ) n dx + = se denomina ecuación de Bernoulli. Si n = 0 o n = 1, entonces la ecuación es lineal. En caso contrario, la sustitución v = 1 n y transforma la ecuación diferencial dada en la ecuación lineal dv (1 npxv ) ( ) (1 nqx ) ( ). dx + = Instituto de Ciencias Básicas 42

43 Ejemplo 6 Resuelva la ecuación diferencial 2 2 2xy 4x 3y dx = +. Instituto de Ciencias Básicas 43

44 Ejemplo 7 Resuelva la ecuación diferencial 4/3 x 6y 3xy dx + =. Instituto de Ciencias Básicas 44

45 Ecuaciones diferenciales exactas Supongamos que las funciones M ( x, y ) y N( x, y ) son continuas y tienen derivadas parciales de primer orden continuas en el rectángulo abierto R : a< x< b, c< y < d. Entonces la ecuación diferencial M( x, y) dx+ N( x, y) = 0 es exacta en R si y sólo si M N = (1) y x en cada punto de R. Esto es, existe una función F( x, y) definida en R con F x = M y F y = N si y sólo si la ecuación (1) se cumple en R. Instituto de Ciencias Básicas 45

46 Ejemplo 8 Resuelva la ecuación diferencial (6 xy y ) dx + (4y + 3x 3 xy ) = 0. Instituto de Ciencias Básicas 46

47 Ecuación de Riccati La ecuación A xy Bxy Cx dx conoce una solución particular y 1 ( x ) de esta ecuación, la sustitución 2 = ( ) + ( ) + ( ) se llama ecuación de Riccati. Si se 1 y = y1 + v transforma la ecuación de Riccati en la ecuación lineal dv ( B 2 Ay ) v A 1 dx + + =. Utilice este método para resolver las ecuaciones de los ejemplos siguientes, dado que y ( x) x 1 = es una solución de cada una. Instituto de Ciencias Básicas 47

48 Ejemplo 9 Resuelva la ecuación diferencial 2 2 y 1 x dx + = +. Instituto de Ciencias Básicas 48

49 Ejemplo 10 Resuelva la ecuación diferencial 2 2 2xy 1 x y dx + = + +. Instituto de Ciencias Básicas 49

50 Aplicaciones de ecuaciones de primer orden Trayectorias ortogonales Dada la ecuación de una familia de curvas, f( xya=,, ) 0, puede determinarse la ecuación de otra familia de curvas, F( x, y, B ) = 0, que corten a las curvas de la familia original perpendicularmente. Las curvas F( x, y, B ) = 0 se llaman las trayectorias ortogonales a las curvas f( xya=,, ) 0. Ejemplo 1 Las líneas de corriente originadas por dos fuentes en un flujo bidimensional son las circunferencias x + ( y a) = a. Halle las líneas de igual potencial de velocidad. Instituto de Ciencias Básicas 50

51 Ejemplo 2 Halle las trayectorias ortogonales a la familia de curvas xy = A. Ejemplo 3 Halle las trayectorias ortogonales a la familia de elipses 2 2 4y + x = A. Instituto de Ciencias Básicas 51

52 Crecimiento exponencial La ecuación diferencial ky dx =, ( k una constante) sirve como modelo matemático para una amplia variedad de fenómenos naturales, como se muestra en los siguientes ejemplos: Ejemplo 4 En mayo de 1993 la población mundial alcanzó los 5.5 mil millones y a partir de entonces aumentó a la tasa de 250 mil personas por día. Suponiendo que las tasas de nacimiento y muerte fuesen constantes, para cuándo se esperaría una población mundial de 11 mil millones? Ejemplo 5 Suponga que un cuerpo mineral, formado en un antiguo cataclismo (quizá la formación de la Tierra misma) originalmente contenía el isótopo de uranio U (cuya vida media es de años), pero no contenía plomo, que es 238 el producto final de la desintegración del U. Si la proporción actual de los 238 átomos de U al plomo en ese cuerpo mineral es de 0.9, cuándo ocurrió el cataclismo? Instituto de Ciencias Básicas 52

53 Circuitos eléctricos Un circuito básico formado por una fuente electromotriz, que proporciona un voltaje de E() t voltios en el instante t ; un resistor con una resistencia R ohms; un inductor con una inductancia de L henrys y un capacitor con una capacitancia de C farads, se muestra en la figura siguiente. Instituto de Ciencias Básicas 53

54 Ejemplo 6 Un circuito tiene una resistencia R ohmios y una inductancia de L henrios y está conectado a una batería de voltaje constante, E. Halle la corriente, i, en amperios, que circula por el circuito t segundos después de cerrarlo. Ejemplo 7 Un condensador de C faradios de capacidad, al voltaje v 0, se descarga a través de una resistencia de R ohmios. Muestre que si la carga del condensador es de q coulombios, la intensidad de corriente es de i amperios y v es el voltaje al tiempo t, q = Cv, v = Ri y Muestre que, por tanto, v v0e RC =. dq i =. dt t Instituto de Ciencias Básicas 54

55 Mezclas químicas Ejemplo 8 Un tanque contiene 1000 litros (L) de una solución que consta de 100 kg de sal disueltos en agua. Se bombea agua pura hacia el tanque a razón de 5 L/s y la mezcla - que se mantiene uniforme mediante agitación - se extrae a la misma razón. Cuánto tiempo pasará antes de que queden solamente 10 kg de sal en el tanque? Instituto de Ciencias Básicas 55

56 Ejemplo 9 Un tanque de 400 gal contiene inicialmente 100 gal de salmuera, la cual contiene a su vez 50 lb de sal. Entra salmuera, cuya concentración es de 1 lb de sal por galón a razón de 5 gal/s, y la salmuera mezclada en el tanque se derrama a razón de 3 gal/s. Qué cantidad de sal contendrá el tanque cuando esté lleno de salmuera? Instituto de Ciencias Básicas 56