SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Transcripción

1 SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES Tanques interconectados Dos grandes tanques, cada uno de los cuales contiene 24 litros de una solución salina, están conectados entre sí mediante unos tubos. El primer tanque recibe agua pura a razón de 6 litros/minuto y el líquido sale del segundo tanque con la misma razón; además, se bombean 8 litro/minuto de líquido del primer tanque al segundo y 2 litros/minuto del segundo tanque al primero. Los líquidos dentro de cada tanque se mantienen bien revueltos, de modo que cada mezcla es homogénea. Si inicialmente el primer tanque contiene 20 kilogramos de sal y el segundo 12 kilogramos de sal, determine expresión que permite hallar la cantidad de sal en cada tanque en cualquier minuto. Se definen los siguientes elementos para llegar a la solución. Variables Tiempo: t. Variable Independiente. Cantidad de sal en el primer tanque: x = x(t) Variable Dependiente. Cantidad de sal en el segundo tanque: y = y(t) Variable Dependiente. Parámetros Volumen de solución salina en cada tanque: 24 litros. Flujo de entrada al primer tanque: 6 litros por minuto y 2 litros por minuto. Flujo de entrada al segundo tanque: 8 litros por minuto. Flujo de salida del primer tanque: 8 litros por minuto. 1

2 2 Flujo de salida del segundo tanque: 6 litros por minuto y 2 litros por minuto. Concentración de sal de entrada al primer tanque: 0 kilogramos litro. Ecuación diferencial Como se estudió en el caso de un solo tanque en ecuaciones lineales, se utiliza la siguiente relación: Variación de sal dentro de cada tanque=razón de entrada de sal - Razón de salida de sal Así que las ecuaciones diferenciales planteadas son: Primer tanque = 6 litros minuto 0kilogramos + 2 litros litro minuto y kilogramos 8 litros 24 litros minuto x kilogramos 24 litros Segundo Tanque = 1 12 y kg min 1 3 x kg min = 1 3 x y = 8 litros minuto x kilogramos 2 litros 24 litros minuto y kilogramos 6 litros 24 litros minuto y kilogramos 24 litros Sistema de ecuaciones Condiciones iniciales = 1 3 x kg min 1 12 y kg min 1 3 y kg min = 1 3 x 1 3 y = 1 3 x y = 1 3 x 1 3 y Cantidad inicial de sal en el primer tanque: 20 kilogramos de sal, x(0) = 20. Cantidad inicial de sal en el segundo tanque: 10 kilogramos de sal, y(0) = 12. Solución para el ejemplo Al despejar y de la primera ecuación = 1x + 1 y y derivar con respecto al tiempo, resulta 3 12 y(t) = x(t) = x 12d

3 Al reemplazar en la segunda ecuación del sistema y despejar se obtiene una ecuación de segundo orden homogénea como se muestra a continuación = 1 3 x 1 3 y 12 d2 x = 1 3 x 1 3 (12 + 4x) 12x + 8x + x = 0 Cuya solución general es x(t) = C 1 e t/6 + C 2 e t/2. Como y(t) = x(t) se obtiene y(t) = 12 ( 16 C 1e t/6 12 ) C 2e t/2 + 4(C 1 e t/6 + C 2 e t/2 ) 3 y(t) = 2C 1 e t/6 2C 2 e t/2 Al utilizar las condiciones iniciales x(0) = 20 y y(0) = 12. C 1 + C 2 = 20 2C 1 2C 2 = 12 Con la solución C 1 = 13 y C 2 = 7. De modo que La cantidad de sal en el primer tanque x(t) = 13e t/6 + 7e t/2. La cantidad de sal en el segundo tanque y(t) = 26e t/6 14e t/2. Primer tanque Segundo tanque

4 4 Ahora se muestra el comportamiento de la cantidad de sal en los dos tanques (hasta los 15 minutos aproximadamente) sobre un mismo plano. El eje horizontal representa la cantidad de sal en el primer tanque y el eje vertical la cantidad de sal en el segundo tanque. Se observa que la tendencia es que ambos tanques se queden sin sal después de cierto tiempo.

5 En qué parejas la razón de cambio en el primer tanque es cero? La respuesta se muestra en la siguiente gráfica y corresponden a la recta h Y para el segundo tanque? La respuesta corresponde a la recta i En qué parejas las dos razones de cambio dan cero? Estas rectas dividen al primer cuadrante en tres sectores. Dado si la cantidad inicial de sal en cada tanque se encuentra en uno de estos tres sectores, en la siguiente gráfica se muestran las tendencias que presentarían las cantidades de sal en cada tanque. Para mostrar estas tendencias NO es necesario resolver el sistemas de ecuaciones diferenciales Este corportamiento es consistente con la gráfica anterior? 5 Ejercicios 1. Repita el ejemplo resuelto suponiendo que la cantidad inicial de sal en el primer tanque es de 10 kilogramos y en el segundo tanque es de 40 kilogramos, manteniendo los demás valores iguales. Qué diferencias se encuentran en las soluciones halladas? Dos grandes tanques, cada uno con 100 litros de líquido, están conectados entre sí mediante tubos, de modo que el líquido fluye del tanque A al tanque B a razón de 3 litros/minuto y de B al A a razón de 1 litro/minuto. El líquido dentro de cada tanque se mantiene bien revuelto. Una solución salina con una concentración de 0.2 kilogramos/litro de sal fluye hacia el tanque A a razón de 6 litros/minuto. La solución (diluida) sale del sistema del tanque A a 4 litros/minuto y del tanque B a 2 litros/minuto. Si en un principio, el tanque A contiene agua pura y el tanque B contiene 20 kilogramos de sal, determine la cantidad de sal en cada tanque en cualquier instante de tiempo.

6 6 Diagramas de Fase En el estudio de los sistemas de ecuaciones diferenciales, también se puede realizar un análisis cualitativo para sistemas de ecuaciones autónomos (aquellos en los que en las funciones del lado derecho no aparece la variable independiente) parecido al de campo de direcciones realizado anteriormente. = f(x, y) = g(x, y) Una solución de este problema es un par de funciones x(t) y y(t) que satisfacen el sistema para todo t dentro de algún intervalo I. Estas soluciones como dependen del parámetro t, se pueden visualizar en el plano xy obteniendo una trayectoria solución. Para el sistema anterior, los puntos críticos son aquellos (a, b) donde ambas derivadas son iguales a cero (a, b) = f(a, b) = 0 (a, b) = g(a, b) = 0 Nótese que si (a, b) es un punto crítico, entonces x(t) = a y y(t) = b es una solución del sistema. Para cada pareja en el plano xy se puede calcular las derivadas = f(x, y) y = g(x, y) determinar si x o y crecen o decrecen en ese punto. Según el comportamiento presentado en las trayectorias cercanas a un punto de equilibrio, estos se clasifican en: 1. Nodo Estable

7 7 2. Nodo Inestable 3. Punto de Silla 4. Centro

8 8 5. Espiral Estable 6. Espiral Inestable CRITERIO PARA CLASIFICAR PUNTOS CRÍTICOS Dado un sistema = f(x, y) = g(x, y)

9 9 al calcular ( los ) valores propios λ 1, λ 2 de la matriz Jacobiana f J = x f y g x g y se puede determinar la naturaleza del punto de equilibrio según: 1. Nodo Estable. λ 1 < 0 y λ 2 < Nodo Inestable. λ 1 > 0 y λ 2 > Punto de Silla. λ 1 < 0 y λ 2 > Centro. λ 1,2 = ±βi 5. Espiral Estable. λ 1,2 = α ± βi,con α < Espiral Inestable. λ 1,2 = α ± βi,con α > 0. Ejemplo Modelo Depredador-Presa Una de las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones diferenciales es el concerniente a los modelos depredador-presa. Estos modelos suponen la interacción de dos especies: depredadores x(t) y y(t) presas. A continuación se presenta un ejemplo de un modelo de Lotka-Volterra. = 0,1x + 0,02xy = 0,2y 0,025xy Donde las poblaciones x(t) y y(t), se miden en miles. Los puntos críticos son (0, 0) y (8, 5). (El de mayor importancia para el análisis es (8, 5) ya que x(t) 0, y(t) 0) ( ) 0,1 + 0,02y 0,02x La matriz Jacobiana es J = 0,025y 0,2 0,025x ( ) 0,1 0 Evaluada en (0, 0), J(0, 0) = cuyos valores propios son -0.1 y 0.2, por lo 0 0,2 tanto ( este punto ) crítico se clasifica como un punto de silla. Evaluada en (8, 5), J(8, 5) = 0 0,16 cuyos valores propios son±0,14i, así que este punto crítico corresponde a 0,125 0 un centro. Se muestra las direcciones alrededor del punto (8, 5). En el siguiente gráfico, las flechas horizontales indican el crecimiento(hacia la derecha) o decrecimiento(hacia la izquierda) de la población de depredadores. Y las verticales aumento (hacia arriba) o disminución (hacia abajo) de la población de presas.

10 10 Estas direcciones se indican sobre el campo de direcciones de la función f g a continuación.

11 Se muestran las direcciones alrededor de (0, 0). Teniendo en cuenta que los cuadrantes III y IV, no tienen sentido en el crecimiento de las poblaciones. Se muestran para ilustrar el por qué del punto de silla. 11 Ejercicios 1. Determine que sucede con la población de depredadores y presas en el ejemplo, si la población inicial de depredadores es de 9 y la de presas es de 4. Determine los puntos críticos, clasifíquelos, haga un bosquejo del diagrama de fase. 2. = 5x 3y 2 = 4x 3y 1

12 = y(y 2) = (x 2)(y 2) = x2 1 = xy = y2 3y + 2 = (x 1)(y 2) 6. Considere el modelo de competencia = 2x 0,4x2 0,3xy = y 0,1y2 0,3xy donde las poblaciones x(t), y(t) se miden en miles y el tiempo en años. Determine los puntos críticos, clasifíquelos y haga un bosquejo del diagrama de fase. Además, determine qué sucede con las poblaciones si se tienen las condiciones A. x(0) = 1,5, y(0) = 3,5. B. x(0) = 4,5, y(0) = 0,5.