Problemas de enfriamiento

Transcripción

1 Problemas de enfriamiento De acuerdo con la ley de enfriamiento de Newton, la tasa de cambio de la temperatura T de un cuerpo respecto del tiempo, en un instante t, en un medio de temperatura constante A, es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio y la del cuerpo, es decir, proporcional a A T. La ecuación diferencial que nos da la variación de temperatura de un cuerpo viene dada por: dt = (A T) donde > 0 es la constante de transferencia de calor. Ejemplo 1: La sala de disección de un forense se mantiene fría a una temperatura constante de 5 C. Mientras se encontraba realizando la autopsia de una víctima de asesinato, el propio forense es asesinado. A las 10 am el ayudante del forense descubre su cadáver a una temperatura de 23 C. A las 12 am su temperatura es de 17 C. Suponiendo que el forense tenía en vida la temperatura normal de 37 C, veamos a qué hora fue asesinado. Solución: Aplicando la ley de enfriamiento de Newton llegamos a la ecuación diferencial de variables separable. Tenemos: Integrando de ambos lados dt = (5 T) dt = (5 T) dt = (5 C T) Ln[5 C T] = t + c Ln[5 C T] = t c e Ln[5 C T] = e t c (5 C T) = ce t T(t) = 5 C ce t Tenemos las condiciones iniciales, t=0 las 10 am, T(0)=23 C. 23 C = 5 C c 1

2 Con esto la ecuación se reescribe como: c = 5 C 23 C = 18 C T(t) = 5 C + 18 Ce t Y con la segunda condición inicial se puede obtener. Al cabo de 2h la temperatura es de 17 C, esto quiere decir: T(2) = 17 C. Por lo anterior, la ecuación queda: 2h T(2) = 17 C = 5 C + 18 Ce 2h 12 C = 18 Ce 12 C 18 C = 2 = e 2h 3 ln ( 2 ) = 2h 3 = 1 2h ln (2 3 ) T(t) = 5 C + 18 Ce 1 2h ln(2 3 )t Para saber la hora a la que fue asesinado el forense, sabemos que la temperatura del cuerpo es de 37 C. 37 C = 5 C + 18 Ce 1 2h ln(2 3 )t t = 2hln(16 9 ) ln( 2 3 ) 37 C 5 C 18 C = e 1 2h ln(2 3 )t 16 9 = e 1 2h ln(2 3 )t ln( 16 9 ) = 1 2h ln(2 3 )t = h = 2h 50min Tenemos un tiempo negativo, ya que el asesinato ocurrió antes de las 10 am, que fue cuando hallaron el cuerpo. El forense fue asesinado a las 7:10 am. t = 10h 2h 50min = 7h 10min 2

3 Mecánica Newtoniana La Mecánica estudia el movimiento de los objetos bajo el efecto de las fuerzas que actúan sobre ellas. La Mecánica Newtoniana o clásica estudia el movimiento de objetos que son grandes comparados con un átomo y cuyo movimiento es lento comparado con la velocidad de la luz. Planteamos las ecuaciones del movimiento de un cuerpo utilizando la segunda ley de Newton: F = ma donde el término de la izquierda representa la fuerza resultante que actúa sobre el cuerpo en el instante t, en la posición x y con velocidad v = dx. Para aplicar las leyes de Newton a un problema de mecánica, tenemos que considerar lo siguiente: 1. Las fuerzas que actúan sobre el objeto. 2. Elegir un sistema de ejes coordenados apropiados y representar el movimiento del objeto y las fuerzas que actúan sobre él. 3. Aplicar la segunda ley de Newton F = ma para determinar las ecuaciones del movimiento del objeto. Nota: Consideramos que la aceleración de la gravedad es constante y su valor es g = 9.8 m s 2. Ejemplo 2: Lanzamos un objeto de masa m con una velocidad inicial v 0 dirigida hacia abajo. Suponiendo que la fuerza debida a la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del objeto, determinemos: 1. La ecuación que modeliza el movimiento de dicho objeto. 2. La distancia recorrida por el objeto en función del tiempo. 3. La velocidad del objeto en función del tiempo. Solución: Sobre el objeto actúan dos fuerzas: una fuerza constante debida a la acción de la gravedad, dirigida verticalmente hacia abajo y de módulo F 1 = mg, y una fuerza correspondiente a la resistencia del aire, contraria al movimiento y proporcional a la velocidad del objeto, F 2 = v(t) = dx/, siendo x(t) la distancia recorrida por el objeto en su caída en un instante t. Considerando como eje de coordenadas un eje vertical con el valor x = 0 en la posición desde donde lanzamos el objeto hacia abajo, correspondiente al instante inicial t = 0. 3

4 Figura 1: Diagrama de cuerpo libre para la caída de un objeto. Tenemos que la fuerza total que actúa sobre el cuerpo es la suma de las fuerzas. Aplicamos la segunda ley de Newton. Con la condición inicial v(0) = v 0. Dividimos todo entre m. Resolvemos por factor integrante. Tenemos que: F = F 1 + F 2 = mg v F = mg v = m dv dv v = g m dv + v m = g p(t) = v m μ = e m = e t m La ecuación queda: d [vet m] = ge t m ve t m = g e t m = m g t e m + c 4

5 v(t) = mg Como la condición inicial es v(0) = v 0, tenemos: + t ce m v(0) = v 0 = mg v (t) = mg c = v 0 mg + c + (v 0 mg ) e Esta es la ecuación que describe la velocidad en función del tiempo. Para obtener la ecuación de la posición aplicamos: v(t) = dx dx = mg + (v 0 mg ) e x (t) = ( mg x(t) = gmt t m t m + (v 0 mg ) t e m) t e Ahora tenemos que la condición inicial es: x(0) = 0 Sustituyendo esto en la solución, tenemos: x(t) = gmt mm( gm + v 0 ) + c 2 0 = m( gm + v 0) 2 + c c = m( gm + v 0) 2 t e mm( gm + v 0 ) 2 + m( gm + v 0) 2 x(t) = gmt + m( gm + v 0) 2 (1 e t m) La cuál describe la posición del objeto en función del tiempo. 5

6 Ejemplo 3: Suponga que un automóvil viaja a 50m/hr cuando aplica los frenos en el tiempo t = 2. Determina la distancia recorrida. Suponga una desaceleración no constante a = 6t (-6 es la constante de proporcionalidad, con unidades 1 s 2 m h ). Solución: Sabemos que la aceleración se puede escribir como: Y por lo planteado en el problema tenemos La velocidad en función del tiempo es: a = dv dv = 6t v(t) = 6t + C v(t) = 3t 2 + C Para determinar C, sabemos que v 0 = 50 m h, t = 0 La ecuación de la velocidad queda como: 50 m h = 3(0)2 + C C = 50 m h v(t) = 3t m h Para saber la distancia que recorrió, sabemos que la velocidad se puede reescribir como: Ahora tenemos v = dx dx = 3t m h x(t) = ( 3t m h ) + K Integrando x(t) = t 3 + (50 m h ) t + K La condición inicial es x(0)=0 6

7 x(0) = 0 = (0) 3 + (50 m h ) (0) + K K = 0 Por lo tanto, la ecuación de la posición en función del tiempo es: x(t) = t 3 + (50 m h ) t Como deseamos saber la distancia que recorrió el automóvil en 2s, sustituimos en la ecuación anterior y considerando las unidades de la constante de proporcionalidad. x(2s) = (2s) 3 1 s 2 m h + (50 m h ) (2s) x(2s) = 8s 3 1 s 2 m h m h s x(2s) = 8s m h m h s = 92 m h s = 92 m 3600s s x(2s) = m = m = m

8 Determinación de edades por el método de carbono 14 Willard Libby ideo un método en 1950, el cual usa carbono radiactivo para determinar la edad de los fósiles. La teoría se sustenta en que el isótopo de carbono 14 (C 14 ) se produce en la atmósfera por la acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. El cociente de la cantidad de C 14 y la cantidad de carbono ordinario C 12 presentes en la atmósfera es constante, por lo cual la proporción de isótopo presente en los organismos vivos es la misma que en la atmósfera. Cuando un organismo muere, la absorción del C 14 cesa. Comparando dicha proporción de C 14 de un fósil con la proporción constante encontrada en la atmósfera, se puede determinar una aproximación de su edad. Para ello se requiere conocer la vida media del C 14, la cual es (aproximadamente) 5600 años. Ejemplo 4: Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1/1000 de la cantidad original de carbono 14. Determina la edad del fósil. Solución: Sea M(t) la cantidad de C 14 presente a un tiempo t y sea M(0) = M 0 la cantidad inicial de C 14 que tenía el fósil. Tenemos la siguiente ecuación diferencial: dm(t) Resolviendo por separación de variables Integrando Y despejando para M(t) dm(t) M(t) Aplicando la condición inicial M(0) = M 0, t=0. = M(t) = ln(m(t)) = t + C M(T) = e t+c = Ce t La ecuación queda M(0) = M 0 = Ce (0) = C C = M 0 M(t) = M 0 e t El problema dice que el fósil contiene M 0 de C 14, del cual su vida media es de 5600 años. Entonces 8

9 M(5600) = M 0 2 De esto tenemos M 0 2 = M (5600 años) 0e 1 años) = e ( ln ( 1 ) = (5600 años) 2 = ln (1 2 ) 5600 años La ecuación queda como ( ln(1 2 ) 5600 años )t M(t) = M 0 e Como queremos saber el tiempo que ha transcurrido para que el fósil tenga M 0, entonces Por lo tanto Despejando t La edad del fósil es ( ln(1 2 ) 5600 años )t ( ln(1 2 ) 5600 años )t M0 = M 0 e = e ln (0.001) = ln (1 2 ) 5600 años t ln(0.001)(5600 años) t = ln ( 1 2 ) t = Años 9

10 Problemas de mezclas Sea x(t) la cantidad de sustancia presente en un tanque al instante t y sea dx la rapidez con que cambia x respecto del tiempo. Para un tiempo t, la velocidad con la que cambia la sustancia dentro del tanque, dx, debe ser igual a la velocidad a la que dicha sustancia entra al tanque menos la velocidad a la que sale. La ecuación diferencial para modelar este problema es: Donde dx(t) = v e v s v e (cantidad t) = velocidad de entrada del fluido(vol t) x concentración al entrar (cantidad vol) v s (cantidad t) = velocidad de salida del fluido(vol t) x concentración al salir (cantidad vol) La concentración de salida es la cantidad de sustancia x(t) dividida por el volumen total en el tanque en dicho instante t. Ejemplo 5: Tenemos un tanque, para el cual a un tiempo inicial t = 0, contiene Q 0 g de sal disuelta en 100 litros de agua. Si en el tanque entra agua con 1 g de sal por litro, a razón de 3 4 litros/minuto y que la solución bien mezclada sale del tanque a la misma velocidad. Halla una expresión que proporcione la cantidad de sal que hay en el tanque al tiempo t. Halla también una expresión que proporcione la concentración de sal en el tanque en cada instante t. Solución: Sea x(t) la cantidad de sal (g) que hay en el tanque al instante t. Si la velocidad de cambio de sal en el tanque para un tiempo t, x (t) debe ser igual a la velocidad de entrada de la sal en el tanque menos la velocidad de salida. Entonces Del problema tenemos dx(t) = v e v s v e = 1 g 4 l x3 l min v s = x(t) g 100 l x3 l min 10

11 Figura 2: Mezcla en el tanque. Sabemos que el volumen del agua permanece constante dentro del tanque (100 litros), debido a que entra la misma cantidad que sale de agua por minuto. Por lo que tenemos la siguiente ecuación diferencial: dx(t) Ésta ecuación se puede reescribir, Calculamos el factor integrante Resolvemos la ecuación diferencial = v e v s = ( 1 x 3) (x(t) x 3) dx(t) = x(t) dx(t) x(t) = 3 4 μ = e = e t ( dx(t) x(t) = 3 4 ) e t d (e t x(t)) = 3 4 e t x(t) = 3 4 e t + C e t x(t) = 3 4 (100 3 ) e t + C 11

12 e t x(t) = 25 e t + C Tenemos que x(t) = 25 + Ce t Ahora aplicamos la condición inicial x(0) = Q 0 x(0) = Q 0 = 25 + C C = Q 0 25 Así que la ecuación que indica la cantidad de sal en el tanque es x(t) = 25 + (Q 0 25)e t Cuando t crece, este término se aproxima a 25. Físicamente, éste será el valor límite de x a medida que el tanque se llena con la solución que tiene 1 g/l de sal. La concentración, 4 C(t), de sal al instante t es: C(t) = x(t) 100 puesto que el volumen del tanque es 100 litros. 12