Ecuaciones Diferenciales (MA-841)

Transcripción

1 Ecuaciones Diferenciales (MA-841) Ecuaciones de Departmento de Matemáticas / CSI ITESM Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 1/16

2 Ecuaciones de Iniciaremos nuestras técnicas de solución a ED con las ecuaciones más sencillas de resolver. Este tipo de ecuaciones son resueltas directamente mediante una o dos integraciones. Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 2/16

3 Definición Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden de la forma: y = F(x,y) se dice de si es posible factorizar F(x,y) en la forma: F(x,y) = f(x) g(y) Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 3/16

4 Una EDO de variables separables puede resolverse usando la siguiente estrategia: - Procedimiento: - Entrada: Una EDO en la forma y = F(x,y) - Salida: La solución de la ED. Paso I: Factorizar el segundo miembro Factorizar F(x,y) = f(x) g(y), si tal factorización no es posible, se concluye que la ED no es de variables separables y el procedimiento no continua. Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 4/16

5 Paso II: Separar las variables Hacer álgebra para poner variables diferentes en lados diferentes: 1 g(y) y = dx dx = F(x,y) = f(x) g(y) = f(x) Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 5/16

6 aso III: Integrar Integrando la expresión anterior con respecto a x obtenemos: 1 g(y) o simplemente: 1 g(y) = dx dx = f(x)dx f(x)dx + C Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 6/16

7 aso IV: Despejar y Opcional Debido a que y representa la función incógnita a determinar, lo ideal es determinarla por completo, es decir tener como solución una expresión de la forma: y = Expresión en x En caso que este despeje sea posible, se dice que la solcuón está dada en forma explícita, en caso contrario (cuando no fué posible despejar y) se dice que la solucón está dada en forma implícita. Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 7/16

8 Resuelve la ED: dx = 2x y Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 8/16

9 Resuelve la ED: dx = 2x y Primero revisamos si la ED es de variables separables: ( ) 1 dx = 2x y = ( 2x) = f(x)g(y) y Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 8/16

10 Resuelve la ED: dx = 2x y Primero revisamos si la ED es de variables separables: ( ) 1 dx = 2x y = ( 2x) = f(x)g(y) y Separando las variables: y = 2xdx Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 8/16

11 Resuelve la ED: dx = 2x y Primero revisamos si la ED es de variables separables: ( ) 1 dx = 2x y = ( 2x) = f(x)g(y) y Separando las variables: Integrando tenemos: y = 2xdx 1 2 y2 = x 2 + C Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 8/16

12 La expresión 1 2 y2 = x 2 + C representa una familia de soluciones: una solución para cada valor de la constante C. Si graficamos las funciones para diferentes valores de C tenemos: Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 9/16

13 Problema con Condiciones Iniciales Un problema con valores (condiciones) iniciales consiste de una ecuación diferenciales y de un punto del plano x y: dx = f(x,y) sujeto a y(x o) = y o El problema consiste en encontrar una función y = y(x) solución a la ecuación diferencial y que además cumpla y(x o ) = y o (es decir, que al evaluar dicha función en x = x o el valor resultante sea y o ). Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 10/16

14 Problema con Condiciones Iniciales Un problema con valores (condiciones) iniciales consiste de una ecuación diferenciales y de un punto del plano x y: dx = f(x,y) sujeto a y(x o) = y o El problema consiste en encontrar una función y = y(x) solución a la ecuación diferencial y que además cumpla y(x o ) = y o (es decir, que al evaluar dicha función en x = x o el valor resultante sea y o ). Generalmente este problema se resuelve primero encontrando la solución general (aparece C arbitraria) y posteriormente se sustituten los datos del punto (x o,y o ) para determinar el valor de C. Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 10/16

15 Resuelve el problema con condiciones iniciales: dx = 2x y sujeto a y(1) = 1 Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 11/16

16 Resuelve el problema con condiciones iniciales: dx = 2x y sujeto a y(1) = 1 Por el ejemplo anterior la solución general es 1 2 y2 = x 2 + C Como el punto (x o = 1,y o = 1) debe cumplir: = C Por tanto, C = 3/2 y la solución buscada es: 1 2 y2 = x ó y2 = 3 2x 2 Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 11/16

17 Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 12/16

18 Determine el valor de y(1) siendo y(x) la solución que satisface y(0) = 0 a la ED: 4 x y + y = 0 Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 13/16

19 Determine el valor de y(1) siendo y(x) la solución que satisface y(0) = 0 a la ED: Tenemos que: 4 x y + y = 0 dx = y = 4 x y = 4 x 4 y Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 13/16

20 Determine el valor de y(1) siendo y(x) la solución que satisface y(0) = 0 a la ED: Tenemos que: Separando variables: 4 x y + y = 0 dx = y = 4 x y = 4 x 4 y y 1/4 = x 1/4 dx Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 13/16

21 Determine el valor de y(1) siendo y(x) la solución que satisface y(0) = 0 a la ED: Tenemos que: Separando variables: 4 x y + y = 0 dx = y = 4 x y = 4 x 4 y y 1/4 = x 1/4 dx Integrando tenemos: 4 3 y3/4 = 4 5 x5/4 + C Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 13/16

22 Sustituyendo (x o = 0,y o = 0) tenemos C = 0 y por tanto la solución particular es: 4 3 y3/4 = 4 ( ) 4/3 3 5 x5/4 ó y = x 5/3 5 Por tanto, el valor para x = 1 es y(1) = ( 3 5 ) 4/3 Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 14/16

23 En un cultivo de bacterias el número inicial estimado es de 200. Al cabo de 10 minutos es de 300. Indicar cual será el número estimado al cabo de 20 minutos. Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 15/16

24 En un cultivo de bacterias el número inicial estimado es de 200. Al cabo de 10 minutos es de 300. Indicar cual será el número estimado al cabo de 20 minutos. Recuerde que el modelo utilizado en estos problemas es dp dt = k P Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 15/16

25 En un cultivo de bacterias el número inicial estimado es de 200. Al cabo de 10 minutos es de 300. Indicar cual será el número estimado al cabo de 20 minutos. Recuerde que el modelo utilizado en estos problemas es dp dt = k P Separando variables e integrando 1 P dp = k dt ln(p) = k t + C Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 15/16

26 En un cultivo de bacterias el número inicial estimado es de 200. Al cabo de 10 minutos es de 300. Indicar cual será el número estimado al cabo de 20 minutos. Recuerde que el modelo utilizado en estos problemas es dp dt = k P Separando variables e integrando 1 P Despejando P : dp = k dt ln(p) = k t + C P = e k t+c = e C e k t = C e k t = C e k t Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 15/16

27 Puesto que para t = 0 el número inicial es de P = 200: 200 = C e k 0 = C e 0 = C 1 = C Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 16/16

28 Puesto que para t = 0 el número inicial es de P = 200: 200 = C e k 0 = C e 0 = C 1 = C Y para t = 10, el número es de 300: 300 = C e k 10 = 200e 10 k k = 1 10 ln(3/2) Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 16/16

29 Puesto que para t = 0 el número inicial es de P = 200: 200 = C e k 0 = C e 0 = C 1 = C Y para t = 10, el número es de 300: 300 = C e k 10 = 200e 10 k k = 1 10 ln(3/2) Por tanto, para t = 20 tendremos: P(t = 20) = 200e k e = 450 Ecuaciones de Ecuaciones Diferenciales - p. 16/16