Ecuaciones diferenciales lineales: definición y método general de solución. Modelos de un compartimento.

Transcripción

1 : definición y método general de solución. Modelos de un compartimento. 1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares.

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4 Introducción En temas anteriores hemos estudiado técnicas para encontrar solucines expĺıcitas de ecuaciones diferenciales de variables separadas. Aunque muchos problemas interesantes conducen a ecuaciones de tipo diferencial, la mayor parte de ellas no pueden separarse. En este tema estudiaremos uno de los procedimientos usuales para resolver ecuaciones diferenciales lineales. De forma general, estas ecuaciones serán del tipo: dy = g(t) y +r(t)

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6 Una ecuación diferencial de primer orden es lineal si puede escribirse en la forma, dy = g(t) y +r(t) donde g(t) y r(t) son funciones arbitrarias de t. Un ejemplo puede ser, Donde g(t) = t 2 y r(t) = cos(t). dy = t2 y +cos(t)

7 A veces es necesario alguna operación previa para determinar si una ecuación es de tipo lineal. Por ejemplo, ty +2 = dy 3y puede reescribirse como, dy = (t +3)y +2. Algunas ecuaciones caen en varias categorías simultaneamente. Por ejemplo, dy = 2y +8 es lineal con g(t) = 2, r(t) = 8. La ecuación también es separable por ser una ecuación autónoma.

8 La palabra lineal en el nombre de la ecuación se refiere al hecho de que la variable dependiente y aparece en la ecuación elevada solo a la primera potencia. La ecuación dy = y2 No es lineal ya que no puede ser reescrita en la forma dy = g(t) y +r(t). Otros ejemplos de ecuaciones lineales son, dp = e2t P sin(t) dw = sin(t) w

9 Un ejemplo de ecuación no lineal es, dz = tsin(z)

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11 Factor integrante Para resolver una ecuación diferencial lineal, la reescribimos primero como dy +a(t) y = r(t) Donde a(t) = g(t). Esto se parece a la derivada de un producto. Para tener la derivada de un producto, podemos multiplicar toda la ecuación por µ(t), µ(t) dy +µ(t)a(t)y = µ(t)r(t) La regla del producto para la derivada dice que, d(µ(t) y(t)) = dµ(t) y(t)+µ(t) dy(t)

12 Factor integrante Cómo encontrar µ(t)?. Para encontrarlo disponemos de dos condiciones: d(µ(t) y(t)) = dµ(t) y(t)+µ(t) dy(t) d(µ(t) y(t)) = µ(t) dy +µ(t)y(t)a(t) Puesto que queremos que µ(t) satisfaga ambas condiciones, hacemos µ(t) dy + dµ(t) y(t) = µ(t) dy +µ(t)y(t)a(t)

13 Factor integrante Cancelando el primer término, obtenemos: dµ(t) y(t) = µ(t)y(t)a(t), que es otra ecuación diferencial de variables separadas y cuya solución es, µ(t) = e a Donde hemos elegido como constante de integración 0.

14 Factor integrante Una vez que conocemos µ(t), podemos reescribir la ecuación inicial como, µ(t) dy +µ(t)a(t)y = µ(t)r(t) d(µ(t) y(t)) = µ(t)r(t). Integrando ahora ambos miembros de la ecuación, obtemos que µ(t) y(t) = µ(t)r(t) y, por tanto y(t) = 1 µ(t) µ(t)r(t).

15 Factor integrante Siguiendo esta estrategia hemos encontrado una funciń µ(t), denominada factor de integración o factor integrante. El motivo es que si multiplicamos la ecuación original por este factor, podemos resolverla por integración.

16 Factor integrante Resolución de una ecuación lineal por pasos: Para calcular la solución expĺıcita de una ecuación lineal del tipo, dy +a(t)y = r(t), Procedemos según los siguientes pasos: 1 Calculamos el factor de integración µ(t) = e a(t). 2 Multiplicamos ambos miembros de la ecuación diferencial lineal por dicho factor de integración. 3 Procedemos a su integración.

17 Ejemplo dy + 2 t y = t 1

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19 Modelo de un compartimento: Ejemplo Supongamos un estanque que inicialmente tiene un volumen inicial v 0. En el instante inicial t = 0 el agua del estanque está limpia. El estanque tiene 2 corrientes de entrada que fluyen hacia él, la A y la B. Una tercera corriente C, fluye fuera del estanque. Supongamos que de la corriente A fluye un volumen V A por día hacia el estanque. De la corriente B fluye un volumen V B por día hacia el estanque. A través de la corriente C se desaloja el agua que entra traves de A y B, de forma que el volumen de agua que hay en el estanque es siempre constante. El agua aportada por la corriente A está contaminada. El contaminante tiene una concentración en el agua de C A. Asumimos que la concentración de contaminante en cada instante de tiempo es constante dentro del estanque (el agua está bien mezclada con el contaminante).

20 Modelo de un compartimento: Ejemplo Aparte de esto, un día empieza a arrojarse al estanque un volumen V t de tierra, que va reduciendo el volumen del estanque día a día. Para que el estanque no se desborde, se ajusta el volumen que sale por C a V C. Cual es la cantidad de contaminante que hay en el interior del estanque en un instante t?

21 Claudia Neuhaser. Matemáticas para ciencias. Ed. Pearson- Prentice Hall. Paul Blanchard. Ecuaciones Diferencials. Ed. Thomson.