Fundamentos de Matemáticas

Transcripción

1 Fundamentos de Matemáticas Ecuaciones diferenciales Solución: Tarea 4 (Total: 18 puntos) II.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden La ecuación de Ricatti es una ecuación no-lineal = P (x) + Q(x)y + R(x)y2 (II.1) llamada así en honor del matemático y filósofo italiano, conde Jacobo Francesco Ricatti ( ). En muchos casos, dependiendo de lo que sean P (x), Q(x) y R(x) la solución de II.1 no puede ser expresada en términos de funciones elementales. 1. Si y 1 es una solución particular conocida de la ecuación de Ricatti, demuestre que y = y 1 + u es una familia de soluciones de II.1, en donde u es la solución de du (Q + 2y 1R)u = Ru 2. Si y = y 1 + u, entonces y = y 1 + u, y por lo tanto / = P (x) + Q(x)y + R(x)y 2 se transforma en y 1 + u = P + Q(y 1 + u) + R(y 1 + u) 2 y 1 + u = P + Qy 1 + Ry Qu + 2y 1 Ru + Ru 2. Puesto que y 1 es solución de la ecuación de Ricatti, obtenemos 2. Encuentre la solución del problema con valor inicial Por separación de variable se obtiene u (Q + 2y 1 R)u = Ru 2. dt = (y 2 + 1)t y() = 1. 1 y = La condición inicial implica la solución al problema 3. Determine la solución de la ecuación diferencial tdt + c (II.2) tan 1 y = t 2 /2 + c (II.3) y(t) = tan(t 2 /2 + c). (II.4) y(t) = tan(t 2 /2 + π/4). dt + 2 t y = t 1.

2 Esta ecuación es lineal con a(t) = 2/t y r(t) = t 1. Primero calculamos el factor de integración µ(t) = e a(t)dt = e 2/tdt = e 2 ln t = e ln(t2) = t 2. Recordamos que la idea detrás de este método es multiplicar ambos lados por µ(t), de manera que el lado izquierdo de la nueva ecuación sea el resultado de la regla del producto. En este caso, al multiplicar por µ(t) = t 2, resulta t 2 dt + 2ty = t2 (t 1). Observe que el lado izquierdo es la derivada del producto de t 2 y y(t). Entonces, esta ecuación es la misma que d dt (t2 y) = t 2 (t 1) = t 3 t 2. Integrando ambos lados con respecto a t, obtenemos t 2 y = t4 4 t3 3 + c, donde c es una constante arbitraria. La solución general es y(t) = t2 4 t 3 + c t 2. Por supuesto, podemos verificar que esas funciones satisfacen la ecuación diferencial sustituyéndolas de nuevo en la ecuación. 4. Decaimiento radioactivo. El isótopo radioactivo torio 234 se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente del mismo. Sea Q(t) la cantidad de torio 234 presente en cualquier instante t, en donde Q se mide en miligramos y t en días. La observación física de que el torio 234 se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente significa que la razón de cambio con el tiempo dq/dt es proporcional a Q; por lo tanto satisface la ecuación diferencial dq dt = rq en donde la constante r > se conoce como la razón de decaimiento. Se busca la solución de II.2 que también satisfaga la condición que 1 mg de este material se reduce a 82.4 mg en una semana. Halle el intervalo de tiempo que debe transcurrir para que la masa decaiga hasta la mitad de su valor original. Se busca la solución al problema II.2 que también satisfaga la condición inicial así como la condición de la frontera Q() = 1 Q(7) = 82,4. La ecuación II.2 es lineal y también separable; su solución general es Q(t) = ce rt, donde c es una constante arbitraria. La condición inicial requiere que c = 1, por lo tanto A fin de satisfacer la condición de la frontera se da Q(t) = 1e rt. 82,4 = 1e 7r, entonces ln,824 r = =,2828 días 1. 7 Por lo tanto, se ha determinado la razón de decaimiento r. Con este valor se obtiene que Q(t) = 1e,2828t mg. (II.5) (4 puntos)

3 El lapso durante el que la masa se reduce a la mitad de su valor original se domina vida media del material. Sea τ el tiempo en que Q(t) es igual a 5 mg. Entonces, por o bien 5 = 1e rt rτ = ln 2. Usando el valor de r se encuentra que, para el torio 234, 5. Resuelve la ecuación diferencial τ = ln 2 24,5 días.,2828 (y cos x + 2xe y ) + (senx + x 2 e y 1)y =. Es fácil ver que M y (x, y) = cos x + 2xe y = N x (x, y) de modo que la ecuación dada es exacta. Por lo tanto existe una función f(x, y) tal que f x (x, y) = y cos x + 2xe y Al integrar la primera de estas ecuaciones se obtiene f y (x, y) = senx + x 2 e y 1. f(x, y) = ysen + x 2 e y + h(y). (II.6) Si se hace f y = N da f y (x, y) = senx + x 2 e y + h (y) = senx + x 2 e y 1. Por lo tanto, h (y) = 1 y h(y) = y. Puede omitirse la constante de integración ya que cualquier solución de la ecuación precedente es satisfactoria; no se requiere la más general. Al sustituir h(y) en la ecuación II.3 da f(x, y) = ysenx + x 2 e y y. De donde la solución al problema queda dada implícitamente por 6. Resuelve la ecuación diferencial ysenx + x 2 e y y = c. = y2 + 2xy x 2. Al escribir esta ecuación como = ( y x )2 + 2 y x se demuestra que es homogénea. Las variables no pueden separarse, la ecuación no es exacta ni tiene factor integrante obvio. Por tanto, se ve uno conducido a la sustitución y = xv, que transforma la educación dada en x dv + v = v2 + 2v. De donde, x dv = v2 + v o bien, al separar las variables, x = dv v(v + 1).

4 Si se desarrolla el segundo miembro por fracciones parciales, se obtiene Al integrar los dos miembros, se llega a x = ( 1 v 1 v + 1 )dv. ln x + ln c = ln v ln v + 1, en donde c es una constante arbitraria. Así, al combinar los logaritmos y tomar la exponencial de ambos miembros, se obtiene cx = v v + 1. Por último, al sustituir v en términos de y de la solución del problema en la forma Al despejar y se obtiene 7. Resuelve la ecuación diferencial cx = y/x (y/x) + 1 = y y + x. y = cx2 1 cx. y x = 5 2 x2 y 3. (II.7) Aquí n = 3, así que hacemos z = y 2, z = 2y 3 y y multiplicamos la ecuación II.4 por 2y para obtener una ecuación lineal de primer orden z + a(x)z = f(x) z + 2 x z = 5x2, (II.8) con a(x) = 2/x, y así a(x) = 2 1/x = 2 ln x = ln x 2. Multiplicando ambos lados de la ecuación por ln x2 e = x 2 e integrando se llega a x 2 y = 5x 2 x 2 + c = x 5 + c. Entonces, la solución al problema II.5 es y por lo tanto la solución al problema original vale 8. Considere el problema de valor inicial y 2 = z = x 3 + cx 2, y = (x 3 + cx 2 ) 1/2. x (t) = x(t) x() = 1. Emplee el método de Picard para encontrar las aproximaciones x 1, x 2, x 3 y x n. Como sabemos, la ecuación arriba tiene la solución única x(t) = e t. En este caso, la función f(t, x) de la forma general x (t) = f(t, x(t)), x(t ) = x está dada por f(t, x(t)) = x(t), así que las iteradas de Picard dan sucesivamente x (t) = x = 1, x 1 (t) = 1 + x 2 (t) = 1 + x 3 (t) = 1 + 1ds = 1 + t, 1 + sds = 1 + t + t2 2, 1 + s + s2 t2 ds = 1 + t + 2 2! + t3 3!,

5 y claramente, Luego x n (t) = 1 + t + t2 tn n ! n! = t k k!. k= lím x n(t) = n k= t k k! = et.