E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 7 Ecuaciones diferenciales de primer orden

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1 E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Ejercicios Tema 7 Ecuaciones diferenciales de primer orden Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña Curso 2006/07 Octubre 2006, Versión.3 Ejercicio Resuelve las siguientes EDO s separables. dx =sin5x 2. dx + e 3x =0 3. (x +) dx = x xy 0 =4y 5. dx = y3 x 2 6. dx = x2 y 2 +x 7. dx = e3x+2y 8. 4y + yx 2 2x + xy 2 dx =0 9. 2y (x +) = xdx 0. y ln x dx µ y + = x 2 Ejercicio 2 Resuelve las siguientes EDO s separables. ds dr = ks, k constante. 2. dp dt = P P 2 3. sec 2 x+cscydx=0

2 Ejercicios: EDO s de primer orden 2 4. e y sin 2xdx+cosx e 2y =0 5. (e y +) 2 e y dx +(e x +) 3 e x =0 6. y yx 2 =(y +)2 dx 7. dx =sinx cos 2y cos 2 y 8. x p y 2 dx = 9. (e x + e x ) dx = y2 Ejercicio 3 Determina una solución explícita para el siguiente problema de valor inicial ½ (e y +)sinxdx=(+cosx), y(0) = 0. Ejercicio 4 Determina una solución explícita para el siguiente problema de valor inicial ( y=4x y 2 + /2 dx, y(0) =. Ejercicio 5 Determina una solución explícita para el siguiente problema de valor inicial ½ x 2 y 0 = y xy, y( ) =. Ejercicio 6 Determina una solución explícita para el siguiente problema de valor inicial 2x + =, dx 2y y( 2) =. Ejercicio 7 Resuelve las siguientes EDO s homogéneas. (x y) dx + x =0. 2. xdx+(y 2x) =0. 3. y 2 + yx dx x 2 =0. 4. dx = y x y + x. 5. ydx+ x + xy =0.

3 Ejercicios: EDO s de primer orden 3 Ejercicio 8 Determina una solución explícita para el siguiente problema de valor inicial ( xy 2 dx = y3 x 3, y() = 2. Ejercicio 9 Determina una solución explícita para el siguiente problema de valor inicial ( ³ x + ye y x dx xe y x =0, y() = 0. Ejercicio 0 Estudia si las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias son exactas y resuelve aquellas que lo sean.. (2x ) dx +(3y +7) =0. 2. (5x +4y) dx + 4x 8y 3 = xy 2 3 dx + 2x 2 y +4 =0. 4. x 2 y 2 dx + x 2 2xy =0. 5. x y 3 + y 2 sin x dx = 3xy 2 +2ycos x. ³ 6. (y ln y e xy ) dx + y + x ln y =0. 7. x dx =2xex y +6x 2. µ 8. x 2 y 3 +9x 2 dx + x2 y 2 =0. 9. (tan x sin x sin y) dx +cosx cos y= t 3 y 5t 2 y dt + t 4 +3y 2 t =0. Ejercicio Resuelve el siguiente problema de valor inicial ½ (x + y) 2 dx + 2xy + x 2 =0, y() =. Ejercicio 2 Resuelve el siguiente problema de valor inicial ½ (4y +2t 5) dt +(6y +4t ) =0, y( ) = 2. Ejercicio 3 Resuelve el siguiente problema de valor inicial ½ y 2 cos x 3x 2 y 2x dx + 2y sin x x 3 +lny =0, y(0) = e.

4 Ejercicios: EDO s de primer orden 4 Ejercicio 4 Determina k para que la siguiente EDO sea exacta y 3 + kxy 4 2x dx + 3xy 2 +20x 2 y 3 =0, resuélvela. Ejercicio 5 Consideramos la ecuación diferencial ( xy sin x +2y cos x) dx +2x cos x =0.. Verifica que la EDO no es exacta. 2. Multiplica la ecuación por el factor integrante µ = xy yverifica que la EDO resultante es exacta. 3. Resuélvela. Ejercicio 6 Resuelve las siguientes EDO s lineales. Indica en cada caso un intervalo en el que la solución es válida.. dx =5y. 2. dx + y = e3x. 3. y 0 +3x 2 y = x x 2 y 0 + xy =. 5. x dx y = x2 sin x. 6. x dx +4y = x3 x. 7. x 2 y 0 + x (x +2)y = e x. 8. ydx 4 x + y 6 =0. 9. cos x + y sin x =. dx 0. (x +) dx +(x +2)y =2xe x.

5 Ejercicios: EDO s de primer orden 5 Ejercicio 7 Determina una solución explícita para el problema de valor inicial ½ xy 0 + y = e x, y() = 2. Indica un intervalo en el que esté definida la solución. Ejercicio 8 Determina una solución explícita para el problema de valor inicial (x +) dx + y =lnx, y() = 0, x>0. Ejercicio 9 Resuelve el problema de valor inicial +2y = f(x), dx y(0) = 0, donde f(x) = ½ si 0 x 3, 0 si x>3. Ejercicio 20 Resuelve el problema de valor inicial +2xy = f(x), dx y(0) = 2, donde f(x) = ½ x si 0 x, 0 si x. Ejercicio 2 La función integral seno Si(x) se define como Si(x) = Z x 0 sin t t y Si(0) = 0. Usando Si(x), resuelve el problema de valor inicial ½ x 3 y 0 +2x 2 y =0sinx, y() = 0. Ejercicio 22 Consideramos el problema de valor inicial ½ y 0 = x 2 y, y(0) =, 0 x. dt

6 Ejercicios: EDO s de primer orden 6. Calcula la solución exacta. 2. Aproxima la solución usando el método de Euler de 4 pasos, calcula los errores de truncamiento. 3. Aproxima la solución usando el método de Euler modificado de 4 pasos, calcula los errores de truncamiento. 4. Aproxima la solución usando el método de Taylor de orden 2 de 4 pasos, calcula los errores de truncamiento. Ejercicio 23 Consideramos el problema de valor inicial ½ y 0 =3y +3x, y(0) =, 0 x Calcula la solución exacta. 2. Aproxima la solución usando el método de Euler de 5 pasos, calcula los errores de truncamiento. 3. Aproxima la solución usando el método de Euler modificado de 5 pasos, calcula los errores de truncamiento. 4. Aproxima la solución usando el método de Taylor de orden 2 de 5 pasos, calcula los errores de truncamiento. Ejercicio 24 Consideramos el problema de valor inicial ½ y 0 = e 2x 2y, y(0) =, 0 x Calcula la solución exacta. 2. Aproxima la solución usando el método de Euler de 5 pasos, calcula los errores de truncamiento. 3. Aproxima la solución usando el método de Euler modificado de 5 pasos, calcula los errores de truncamiento. 4. Aproxima la solución usando el método de Taylor de orden 2 de 5 pasos, calcula los errores de truncamiento. Ejercicio 25 Se sabe que la población de una cierta comunidad aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento t. Si la población se duplicó en cinco años, en cuánto tiempo se triplicará y se cuadriplicará?

7 Ejercicios: EDO s de primer orden 7 Ejercicio 26 La población de una comunidad crece a razón proporcional a la población en cualquier momento t. Su población inicial es de 500 individuos y aumenta un 5% en 5 años. Cuál será la población en 30 años? Ejercicio 27 Cuando un haz vertical de luz pasa por una sustancia transparente, la rapidez con que decrece la intensidad I(x) es proporcional a I(x), donde x representa el espesor, en pies, del medio. En agua clara, la intensidad a 3 pies bajo la superficie es el 25% de la intensidad inicial I 0 del haz incidentes. Cuál será la intensidad del haz de luz a 5 pies bajo la superficie? Ejercicio 28 El Pb-209, isótopo radioactivo del plomo, se desintegra con una rapidez proporcional a la cantidad presente en cualquier instante t y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio había gramo de plomo, cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%? Nota. La vida media de una sustancia radioactiva es el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de la cantidad inicial. Ejercicio 29 Inicialmente, había 00 miligramos de una sustancia radioactiva y, al cabo de 6 horas, la cantidad ha disminuido en un 3%. Si la velocidad de desintegración, en el instante t, es proporcional a la cantidad de sustanciapresente,calculalavidamediadelasustancia. Ejercicio 30 Un termómetro se saca de un recinto donde la temperatura del aire es de 70 o y se lleva al exterior, donde la temperatura es de 0 o F. Después de medio minuto, el termómetro indica 50 o F. Cuálserálalectura cuando t = minuto? Cuántotiemposenecesitaparaqueeltermómetro llegue a 5 o F? Ejercicio 3 Un termómetro que indica 70 o F se coloca en un horno precalentado a temperatura constante. A través de una ventana del horno, un observador registra una temperatura de 0 o F después de /2 minuto y de 45 o F después de minuto. A qué temperatura está el horno? Ejercicio 32 Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30 gramos de sal. Entra al tanque un caudal de 4 litros por minuto de solución con gramo de sal por litro. Bien mezclado, sale del tanque un caudal de 4 litros por minuto. Calcula la cantidad A(t) de sal que hay en el tanque en cualquier instante t. Ejercicio 33 Un tanque tiene 500 galones de agua pura y le entra salmuera con 2 libras de sal por galón a razón de 5 gal/min. El tanque se mezcla bien por agitación y de él sale la mezcla con la misma rapidez. Determina la cantidad A(t) de libras de sal que hay en el tanque en cualquier instante t. Cuál es la concentración de la solución del tanque cuando t = 5min?

8 Ejercicios: EDO s de primer orden 8 Ejercicio 34 Un tanque está parcialmente lleno con 00 galones de salmuera, con 0 lb de sal disuelta. Le entra salmuera con /2 lb de sal por galón a razón de 6 gal/min. El contenido sale del tanque (bien mezclado) a razón de 4 gal/min. Calcula la cantidad de libras de sal que hay en el tanque a los 30 minutos. Ejercicio 35 La ecuación diferencial que describe la velocidad de una masa m en caída, cuando la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea es m dv = mg kv dt donde k>0es una constante y el sentido positivo se ha tomado hacia abajo.. Resuelve la ecuación diferencial con la condición inicial v (0) = v 0 2. Determina la velocidad terminal de la masa v T =lim t v (t) 3. Si s (t) es la distancia, medida desde el punto en que se suelta la masa, tenemos ds dt = v Determinalaecuacióndes(t) con la condición inicial s(0) = 0. Soluciones (.) y = /5cos5x + c. (.2) y =/3e 3x + c. (.3) y = x +5ln x + + c. (.4) y = cx 4. (.5) y 2 = x/ (2 + cx). (.6) y = q3ln x 3 3 x + c. (.7) 3e 2y =2e 3x + c. (.8) 2 + y 2 = c 4+x 2. (.9) y 2 = x ln x + + c. (.0) 3 x3 ln x 9 x3 = 2 y2 +2y +ln y + c. (2.) s = ce kr. (2.2) p = ce t /( + ce t ). (2.3) 4 cos y =2x +sin2x + c. (2.4) e y + e y =2cosx + c. (2.5) e y + = 2 + c. (e x +) 2

9 Ejercicios: EDO s de primer orden 9 (2.6) ln (y +) (2.7) cos y sin y = cos x + c. ³ c (2.8) y =sin x (2.9) y = ³ arctan e x +c. 4 (3) y =ln +cos x y+ =ln +x x + c. q 2x (4) y = (5) y = x e (+/x). (6) y = x 2 + x. (7.) y = x ln x + cx. (7.2) (y x)ln y x + x + c (y x) =0. (7.3) y = x ln x +c. (7.4) ln x 2 + y arctan y x = c. (7.5) ln y 2q x y = c. (8) y = x 3 8 3lnx (9) y = x ln ( + ln x). (0.) x 2 x y2 +7y = c. (0.2) 5 3 x2 +4xy 2y 4 = c. (0.3) x 2 y 2 3x +4y = c. (0.4) No es exacta. (0.5) x2 2 xy3 y 2 cos x = c. (0.6) No es exacta. (0.7) 2 (x ) e x xy +2x 3 = c. (0.8) No es exacta. (0.9) cos x sin y ln (cos x) =c. (0.0) t 4 y 5t 3 yt + y 3 = c. () x 3 +3x 2 y +3xy 2 3y =4. (2) 4yt + t 2 5t +3y 2 y =8. (3) y 2 sin x x 3 y x 2 + y ln y y =0. (4) k =0,y 3 x +5x 2 y 4 x 2 =0. (5.3) x 2 y 2 cos x = c. (6.) y = ke 5x, definida en todo R. (6.2) y = ke x + 4 e3x, definida en todo R. (6.3) y = ke x3 + 3, definida en todo R. (6.4) y = x k + ln x x, válida para x>0. (6.5) y = kx x cos x, válida para x>0. (6.6) y = k + x3 x 4 7 x 5, válida en todo intervalo que no contenga a 0. (6.7) y = ke x + ex, válida para x>0. x 2 2x 2 (6.8) x = ky 4 +2y 6, válida en todo intervalo que no contenga y =0. (6.9) y = k cos x +sinx, k R, válida para x ( π/2, π/2).

10 Ejercicios: EDO s de primer orden 0 (6.0) y = ke x x+, k R. Válidas para x>. (7) y = ex x + 2 e x, solución válida para x>0. x ln x x+2 (8) y = x+, solución válida para x>. (9) 2 2 e 2x, si 0 x 3, y = e 6 e 2x, si x>3. (20) x+ + x2 e x y = 2 (2) y = 0 x 2 (Si (x) Si()). (22.) Solución exacta e x2, si 0 x, 2 e x e x2, si x>. y(t) =x 2 2x +2 e x. (22.2) Aproximación por el método de Euler de 4 pasos (22.3) Aproximación por el método de Euler modificado de 4 pasos (22.4) AproximaciónporelmétododeTaylorde2 o orden con 4 pasos

11 Ejercicios: EDO s de primer orden (23.) Solución exacta y(t) = 4 3 e3x x 3 (23.2) Aproximación por el método de Euler de 5 pasos (23.3) Aproximación por el método de Euler modificado de 5 pasos (23.4) En este caso particular, al aplicar el método de Taylor de 2 o orden con 5 pasos se obtienen los mismos resultados que con el método de Euler modificado. (24.) Solución exacta y(t) =(x +)e 2x (23.2) Aproximación por el método de Euler de 5 pasos (23.3) Aproximación por el método de Euler modificado de 5 pasos

12 Ejercicios: EDO s de primer orden 2 (23.4) AproximaciónporelmétododeTaylorde2 o orden de 5 pasos (25) Modelo y = y 0 e ln 2 5 t. La población se triplica en 7.92 años; se cuadriplica en 0 años. (26) Modelo y = 500e t. Después de 30 años tendremos 760 individuos. (27) Modelo I = I 0 e 0.462x. La intensidad a 5 pies bajo la superficie es el 0.098% de la intensidad en superficie. (28) Modelo y = y 0 e t. Se tarda horas en desintegrarse el 90%. (29) Modelo y = y 0 e t. La vida media es de horas. (30) Modelo y =0+60e 0809 t La lectura después de minuto es o F; se necesitan 3.06 minutos para que el termómetro alcance los 5 o F. (3) Modelo µ 45 t Th y = T h +(70 T h ). 70 T h donde T h es la temperatura del horno. La temperatura del horno es de 390 o F. (32) Modelo A = e t/50. (33) Modelo y = 000 ( e t/00 ). La concentración de sal después de 5 minutos es lb/gal.

13 Ejercicios: EDO s de primer orden 3 (34) Modelo y =50+t 4 05 (00 + 2t) 2 la cantidad de sal después de 30 minutos es lb. (35.) v (t) = mg ³ t e c m. c (35.2) Velocidad terminal v T = mg/c. (35.3) s (t) = mg ³ t + m c c e k m t m. c