Boletín III. Integración de funciones de una variable. Ejercicios básicos

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1 CÁLCULO Boletín III. Integración de funciones de una variable Ejercicios básicos. Demuestra que 8 4 4x es una primitiva de afirmativo justifica por qué; en caso negativo encuentra otra. x. Es su única primitiva? En caso 4x. Calcula: a) x 3 cos ( x 4 + ) dx b) ln(x) dx c) cos(x) cos (sin(x)) dx d) x (4x 3 + 7) 9 dx e) e x sin(x + 5) dx f) x + x 4 dx 3. Sea f una función continua en x [, 4], de la que sabemos que mín f(x) = 3 y máx f(x) = 6. x [,4] x [,4] a) Puede valer 5 unidades de superficie el área de la figura limitada por el eje OX, la gráfica de y = f(x), y las rectas x = y x = 4? b) Entre qué valores puede oscilar el área anterior? Respuesta: No Respuesta: 6 A 4. Si f y g son funciones continuas, halla: a) f(4) si b) g() si x x 3 x f(t) dt = x cos(πx), g(t) dt = x cos(πx). 5. Halla los extremos relativos de la función F (x) = x sin(t) t 6. (Ex. julio ) Halla una función f y un número real a tales que: dt, con x >. Respuesta: Respuesta: 6 + x a f(t) t dt = x, x >

2 Respuesta: f(x) = x 3, a = 9 7. Halla el área de la figura limitada por las rectas y = x, y = x e y = Sea la función dada por: sin (x) si x [, π] f(x) = x π x si x (π, π] a) Es f integrable en [, π]? Razona la respuesta. b) Calcula el área limitada por el grafo de f, x =, x = π e y =. ( π ) 9. Maruja conduce a una velocidad v M (t) = cos t Respuesta: Respuesta: 4 u π ln 4π π km/h y Pepe lo hace a una velocidad v P (t) = 85 + t km/h, donde t mide el tiempo en minutos. Supongamos que Maruja y Pepe están en el mismo lugar cuando t =. Calcula 5 (v M (t) v P (t)) dt y integrales anteriores en términos de una carrera entre Maruja y Pepe. (v M (t) v P (t)) dt. Interpreta las Respuesta: 5 (v M (t) v P (t)) dt = 5 3 π, (v M (t) v P (t)) dt = 5. En un circuito eléctrico se ha medido la corriente en distintos instantes de tiempo, obteniendo el cuadro siguiente: Aproxima la carga eléctrica del circuito, q = t k 4 6 i(t k ) i(t) dt, mediante las fórmulas del punto medio, trapecio, Simpson y la fórmula del trapecio compuesta. Respuesta: q P medio =, q T rap = 4, q Simps = 64/3, q T rapcomp =. Halla el área limitada por la gráfica de f(x) = x e x y el eje OX en el intervalo [, ).. Halla el valor de la integral impropia x ln(x) dx. Respuesta: /4 u Respuesta: /9

3 dx 3. Calcula. x(x + ) Respuesta: π 4. Una esfera de madera de radio R = cm se recubre de una capa de acero de cm de espesor. Calcula, mediante integración, el volumen de acero necesario. Respuesta: 34π/3 cm 3 5. En procedimientos de diagnosis médica por imagen como la resonancia magnética, se toman numerosos datos para obtener mediante cálculos computacionales una imagen tridimensional que permita visualizar la parte del cuerpo a estudio. El proceso es similar al empleado para calcular el volumen de un sólido usando áreas de secciones perpendiculares a un eje. Supongamos que el siguiente cuadro indica el valor del área de unas cuantas secciones de un tumor, tomadas a una distancia de un milímetro entre cada dos imágenes: x (cm) A(x) (cm ) a) Estima el volumen del tumor usando la fórmula del punto medio compuesta. b) Estima el volumen del tumor usando la fórmula del trapecio compuesta. Respuesta: vol P mediocomp = 46 cm 3, vol T rapcomp = 57 cm 3 6. Sea la función f(x) = x ln(x) definida en los puntos x para los cuales x ln(x). Calcula el volumen del sólido generado al rotar todo su dominio alrededor del eje OX. 7. Comprueba que f(x) = 3 ex + e x es una solución de la ecuación diferencial y + y = e x. 8. Halla la solución general de la ecuación diferencial: y x = y ln(y). 9. (Ex. enero 4) Resuelve el siguiente problema de valor inicial: cos(y) dy dt = t sin(y) + t Respuesta: π/4 u 3 Respuesta: y(x) = e Cx y() = π Respuesta: y(t) = arcsin ( ) + t 3

4 . Resuelve la ecuación diferencial: y y x = (x ). Respuesta: y(x) = C(x ) + (x ) 3. (Ex. julio 3) Resuelve la ecuación diferencial: y + y = sin(x) con la condición inicial y(π) =. Respuesta: y(x) = ( sin(x) cos(x) + e π x ). Un célebre actor de cine contrae fiebres virulentas mientras rueda una película en África. A consecuencia de ello, el actor fallece a las 8: a.m. en la habitación del hotel donde se aloja, con una temperatura corporal en el momento de la muerte de 4 o C. El jefe de seguridad del hotel descubre el cuerpo sin vida dos horas después de su muerte (a las : a.m.) y avisa a la policía y al forense, que se personan a mediodía (: a.m.). Sabemos que la ley de Newton de enfriamiento de los cuerpos establece que: T (t) = k (T (t) T amb ) donde T (t) denota la temperatura del cuerpo (en grados centígrados) transcurrido un tiempo t (medido en horas), T amb es la temperatura ambiente y k es una constante. Supondremos que la habitación del hotel estaba a una temperatura constante de o C y tomaremos k =. a) Determina la temperatura del cadáver cuando lo descubre el jefe de seguridad. b) Determina la temperatura del cadáver cuando llega el forense. Nota: Quizá te resulte útil saber que e /5 8 y e /5 67. Respuesta: T () 36 4 o C, T () 33 4 o C 3. Razona la veracidad o falsedad de: 4 3 x dx = ln x 3 ]4 = ln(4 3) + ln 3 = ln() + ln() = ln(). Ejercicios complementarios. Sea la función f dada por: f(x) = { si x [, ] + x si x (, ]. Se define S(x ) como el área limitada por la gráfica de f, el eje OX y la recta x = x (x [, ]). 4

5 a) Razona, sin construir la función, la continuidad de S. b) Obtén S(x ) para cada x perteneciente al intervalo [, ]. c) Supón que se repite el procedimiento con la función S en lugar de f, construyéndose de esta forma la función A, donde A(x ) es el área limitada por la gráfica de S, el eje OX y la recta x = x. Razona, sin construir la función, la derivabilidad de A y obtén, además, A(x ) para todo x perteneciente al intervalo [, ].. Sea f : R R una función derivable que verifica: f (t) >, t R y f(t) = t =. Calcula los extremos relativos de la función F dada por: F (x) = x 5x+6 f(t) dt. Respuesta: mínimos relativos en x = y x = 3, máximo relativo en x 3 = Sea f(x) = x(x a), a >, y V f el volumen engendrado al girar en torno al eje OX la región del plano limitada por dicha función y las rectas y = y x = c, c a >. Halla c para que V f sea igual al volumen del cono engendrado por el triángulo de vértices (, ), (c, ) y (c, f(c)) al girar en torno al eje OX. 4. Calcula el volumen que genera la curva g(x) = x Respuesta: c = 5a al girar alrededor del eje OX, para x. Respuesta: 5. Calcula el volumen del cuerpo de revolución que se obtiene al girar, en torno al eje OX, la intersección de los círculos x + y 6 y (x 3) + y 5. Respuesta: 6 πu 3 6. Halla el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por los semiejes positivos, la parábola y = x + x + 3 y la recta y = x/3. Respuesta: 33π 5 u3 7. Sea la función F dada por: F (x) = donde f(t) = ( sin 3 (t)) e t y g(x) = π + ex. g(x) π/ f(t) dt a) Determina los puntos críticos de F en el intervalo [, ln(5π)]. 5

6 Respuesta: x = ln(π); x = ln(4π) b) Sin calcular F, clasifica los puntos críticos y determina los extremos absolutos de F en [, ln(5π)]. 8. La transformada de Laplace de una función continua f es otra función, f, dada por: f(x) := f(t) e xt dt x >. Demuestra que la transformada de f(t) = t es f(x) = x. 9. (Responder usando MatLab) En una pista de pruebas, un automóvil de kg de masa viaja a una velocidad de 3 m/s. En ese instante, se desactiva la transmisión, la velocidad empieza a disminuir y la distancia recorrida hasta alcanzar la velocidad a está dada por la integral: x(a) = 3 a u u + du. Aproxima, mediante las fórmulas de trapecio compuesta y punto medio compuesta, la distancia recorrida hasta que el coche se detiene, utilizando h = 5 m/s como paso de integración. Respuesta: d T rap = 4 m, d P.Medio = 5 97 m. Sea Q(t) = cos(πt) la carga eléctrica de un circuito en un instante de tiempo t. a) Aproxima el valor de la carga en t = 5 mediante el polinomio de Lagrange, P, relativo a Q y a los instantes de tiempo {, 5}. b) Calcula el polinomio de Lagrange, P, relativo a Q y a los instantes { 5, } c) Aproxima la integral definida: Q(t) dt empleando los polinomios anteriores. Aproxímala también mediante la fórmula del trapecio compuesta con h = 5.. El crecimiento de tumores en los animales se modela mediante la ecuación de Gompertz: dy ( y ) dt = ay ln, b siendo y el tamaño del tumor, t el tiempo y a y b constantes positivas que dependen del tipo de tumor y de las unidades de medición. Calcula la solución general para las constantes a = y b =.. Un circuito RL tiene una f.e.m. e(t) = 4 sin(t) voltios, una resistencia de Ω y una bobina de 4 Henrios. Halla la expresión de la intensidad de corriente en cada instante. Respuesta: i(t) = Ce 5 t + 66 (5 sin(t) cos(t)) amperios 6

7 3. (Ex. julio ) Consideramos la función f dada por f(x) = cos(x). a) Calcula una primitiva de f, F, tal que F () =. Comprueba que F = f. b) Halla razonadamente los extremos absolutos y relativos de F en [, π] 4. Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) Si f es integrable en I = [7, 9] y 3 f(x) 9, x I entonces 6 b) El área bajo el grafo de f(x) = en [, ] es finita. x c) (Ex. febrero ) La función es integrable en todo intervalo cerrado de R. d) Sea g(x) = x e) ( Ex. diciembre 3) Si F (x) = x si x < f(x) = x 3 si x [, ] sin(x) si x > f(t) dt. Entonces g (x) = x f(x ). x x Respuesta: F (x) = + 3(x + sin(x)) 9 7 f(x) dx 8. t + dt, entonces F (x) = x x 4 +. f ) (Ex. febrero 4) El área bajo el grafo de la función f(x) = infinita. e ln(x) x en el intervalo [, ) es 7