SESIÓN 2 Splines e integración numérica

Transcripción

1 SESIÓN Splines e integración numérica ) Sea f x = x 4 para x [,] y sea s: [,] R el spline cúbico que aproxima a f definido a partir de los puntos de abscisas, y. Razona cual de las siguientes expresiones corresponde a s: (a) s x = x 4, x, (b) s x = x x x, x + x x, Solución Por definición, un spline cúbico es un polinomio de grado menor ó igual que tres en, y en,, por lo que la solución (a) es falsa. Como debe tener segunda derivada continua en, la función del apartado (b) será un spline si cumple con: lim s x = x lim s x = x lim s x = x lim x + s(x) lim x + s(x) lim x + s(x) Como f x = x 4 si: x = y = f = 4 = x = y = f = 4 = x = y = f = 4 = El spline que aproxima a f x = x 4 debe pasar por los puntos,,,,,

2 s(x) lim s x = lim s(x) x x + lim x x x = lim x + x + x = OK lim x lim s x x = lim x = lim s = = s = s = + = lim s x = lim s(x) x x + lim x x 6x = lim x + x + 6x = OK s(x) x + + x x + = Luego s(x) es un spline. Para saber si s(x) es el spline que aproxima a f x,,,,, Como el spline es unico, la respuesta (b) es correcta. OK = x 4, debe pasar por los puntos x

3 ) Se construye un spline por tres puntos de abscisas, y. Se sabe que el polinomio correspondiente al intervalo [, ] es de la forma s x = ax x 4x + y el que corresponde con [, ] es s x = x + bx + 6. Calcular los valores de a y b. Qué vale el spline en x =.5? Solución Se han de cumplir las condiciones: s = s s = s Así que calculamos e igualamos las expresiones s = s : s = a 4 + = 8a 8 + = 8a 8 s = + b + 6 = b + Igualando las expresiones: 8a 8 = b + 8a b = 4 4a b = ( ) Ahora calculamos e igualamos las expresiones s = s : s x = ax 6x 4 s = a 6 s x = 6x + b s = 4 + b Igualando las expresiones: a 6 = b + 4 a b = 4 ( )

4 s(x) Resolviendo (*) y (**): 4a b = a b = 4 8a = restando las ecuaciones a = 5 b = 4 5 = a = 5, b = Para calcular que vale el spline en x =.5 valoramos s.5 : s x = x x + 6 s.5 = = =.5 s. 5 = x

5 ) Sea S:, R un spline cúbico definido a partir de 4 puntos de abscisas (,,, ). Sabiendo que S x = x x + para x [,] y que S = = S obtener la expresión de S(x) para x,. Idem para x [,]. Solución Sean: s (x) el spline S(x) para, s (x) el spline S(x) para, s (x) el spline S(x) para lo, s () =? s () = s x = x x + s = s = s =? s (x) s (x) s (x) ) s = s = 4)s = ) s = s = s () =? ) s = s = Del enunciado del problema tenemos las siguientes condiciones: S x s x = x x + para x [,] = x x + S = s = s = S = s =

6 Supongamos que s x = ax + bx + cx + d. Necesitamos 4 condiciones para calcular los 4 parámetros a, b, c, d. Las tenemos: Condiciones para s x : s = s = s = s = s = s = s = s = s x = x x + s x = x s x = 6x s x = ax + bx + c s x = 6ax + b Como: s = a + b + c + d = d = s = a + b + c + = a + b + c = (*) s = a + b + c = c = Sustituyendo el valor de c = en la ecuación obtenemos que: a + b = (**) s = s = 6a + b = b = Sustituyendo el valor de b = en (**) a = s x = x x +

7 Tenemos que s x = x x + s x = x s = s = 6 s () = s () = s () = s x = x x + s = s = s =? s (x) s (x) s (x) s = s = s = s = s = s () = Supongamos de nuevo que: Como: s x = ex + fx + gx + h s x = ex + fx + g s x = 6ex + f s = s = e + f + g + h =.() s = s = e + f + g =.. () s = s = 6 6e + f = 6 e + f =. () s = e + 4f + g =..(4)

8 e + f + g + h =.() e + f + g =.. () e + f =. () e + 4f + g =..(4) De 4 : 9e + f =. 5 De 5 y : e = 7 e = 7 Sustituyendo el valor de e = 7 en la ecuación (5) obtenemos que f =. Sustituyendo en (4) los valores de e y de f obtenemos que g =. Sustituyendo en los valores de e, f, g obtenemos que h = s x = 7 x + x x + s (x) s (x) s (x)

9 x+ 4) Aproximar la integral I = dx utilizando los métodos de rectángulos y trapecios con 4 subintervalos y estimar el error cometido. Compararlo con el resultado exacto de la integral. Solución f x = x +, a =, b = ; n + = 5; h = b a n = 4 = ; m j = x j + x j+ x+ El valor exacto es I = dx = ln(x + ) = ln ln = ln =.98 m = 4 m = 4 m = 4 m = 4 x = x =.5 x = x =.5 x 4 = La integral por el método de los rectángulos es: 4 I = f m j h = f 4 + f 4 + f 4 + f 4 j= = =.795 =.89 Error absoluto R = Valor exacto valor aproximado = =.9

10 f x = f = ; f x = f.5 =, f x = f = ; f x = f.5 = 5 ; f x 4 = f = La integral por el método de los trapecios es: I = b a n f x + f x + f x + f x + f x 4 = = 67 6 =.6 Error absoluto T = Valor exacto valor aproximado =.98.6 =.8 La cota de error para el método de los rectángulos es: e R h 4 b a M, M = max f(x) : a x b f x = x+ f x = x+ f x = M x+ = (Decreciente, máximo en ) e R 4 = 4 =.47

11 La cota de error para el método de los Trapecios es: e T h b a M, M = max f(x) : a x b e R = =.8

12 5) Utilizando el método de Simpson compuesto con subintervalos aproximar la integral: Solución f x = sen(x) x I = π π h = sen x dx x b a n = π + π = π ; x = π, x = π 6, x = π 6, x = π I = h 6 j= f x j + 4f m j + f x j m = π m = m = π x = π x = π 6 x = π 6 x = π I = π 8 f x + 4f m + f x + f x + 4f m + f x + f x + 4f m + f x I = π 8 f π + 4f π + f π 6 + f π 6 + 4f + f π 6 + f π 6 + 4f π + f π I = π =. 74

13 6) Aplica la integración de Romberg con filas al cálculo aproximado de x dx con h =. Solución La solución exacta es x dx =.5

14 f x = x I = h n i= f x i + f(x i ) h = h = h = n = : I(h ) = f + f() = n = : I(h ) = 4 f + f + f() = = 5 6 n = : I(h ) = 8 f + f 4 + f + f 4 + f() I(h ) = = 7 64

15 Nivel Nivel Nivel Integral Trapecios I h j+ I(h j) I h j+ 5 I(h j) 4 =. 5

16 7) Dada la integral xdx calcular el número de subintervalos necesarios para que al aplicar el método de los rectángulos el error cometido sea menor que -6. Solución La cota de error en el método de los rectángulos es: e R h 4 b a M, M = max f(x) : a x b En nuestro caso M = max 4x : x = 4 = 4 =.5 Donde h = b a ; Entonces e n R b a n 4 b a M = b a 4n M n b a 4e R M n = b a 4e R M = =.6~ subintervalos

17 8) Sea f x = x x < ln x x > trapecios con 5 subintervalos.. Calcular la integral f x dx usando el método de los Solución Dividimos el intervalo, en 5 subintervalos: h = 5 = 5 =.4 f x = x g x = ln (x) x = x = 5 x = 4 5 x = 6 5 x 4 = 8 5 x 5 = I = b a n f x + f x + f x + f x + f x 4 + f(x 5 ) I = 5 f + f 5 + f g g g() I = = =. 48 5

18 9) Obtener una fórmula basada en el método de los trapecios para aproximar la integral: Aplicarla al cálculo de: I = I = a b d f x, y dxdy c x + y dxdy Usando tres subintervalos para la x y para la y. Repetir el problema para el método de Simpson. Solución b a d c La integral I = f(x, y) se puede calcular mediante los trapecios usando n subintervalos para a, b y m subintervalos para c, d mediante la aproximación: I T = h n i= k m j= f x i, y j + f x i, y j + k m j= f x i, y j + f x i, y j Ó: I T = hk 4 n i= m j= f x i, y j + f x i, y j + f x i, y j + f x i, y j Donde h = b a n d c ; k = ; en nuestro caso h = m = k y n =, por lo tanto: Ó: I T = 6 i= j= f x i, y j + f x i, y j + f x i, y j + f x i, y j

19 I T = 6 i= j= f x i, y j + f x i, y j + f x i, y j + f x i, y j Desarrollando la fórmula anterior: I T = 6 [f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y ] [f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y ] [f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y + f x, y ] El resultado final es I T =. 7794

20 ) Dada la tabla de valores de una cierta función: Calcular el valor aproximado de: x f(x) f x dx La fórmula que utilizaremos es la de los rectángulos para x j, y j : j=:4 un conjunto de puntos b a f x dx = n j= En nuestro caso: x = a =, x n = b =.6, y j = f x j y j h j ; donde h j = x j x j, con x = a y x n = b, j =,,,4. Ademas:. h = x x =., h = x x =., h = x x =., h 4 = x 4 x =.,.6 f x dx = =. 76