Integración aproximada

Transcripción

1 1.- Para proceder a pintarlo, se necesita conocer las medidas del techo de cierto edificio singular. Dicho techo tiene forma geométrica de embudo invertido, similar a la de la superficie de revolución que se obtiene al girar la curva y 1 x alrededor del eje de ordenadas OY, < y < 1. Calcular de forma aproximada mediante el método de los trapecios, n = 5, el área de la mencionada y una estimación del error cometido..- Hallar de forma aproximada (Simpson, n = 14) la longitud del arco de la curva en polares r cos para. Acotar el error cometido en dicha aproximación. Hallar n para que el error fuera menor que una milésima..- a) Calcular de forma aproximada (trapecios, con n = ) la distancia recorrida, en la primera hora por un móvil que evoluciona en una superficie plana describiendo, a velocidad constante, la curva dada por las ecuaciones 1 x (t) t, y(t) t 1, donde t es el tiempo en horas. b) Acota el error cometido en la aproximación anterior y corrige el resultado del apartado a) dando sólo las cifras decimales exactas. c) Qué valor para n habría que tomar para que el error cometido fuera menor que una diezmilésima? 4.- Los economistas utilizan una distribución acumulativa denominada curva de Lorenz para medir la distribución de la renta entre las familias de un determinado país. Una de 5x estas curvas es por ejemplo la función h(x). 4 x a) Utilizar la regla de Simpson con n = 6 para estimar el coeficiente de desigualdad que viene dado por C 1 x hx dx b) Hallar una cota del error cometido en la aproximación anterior. 5.- Una ciudad desea drenar y rellenar el pequeño pantano mostrado en la figura: El pantano tiene una profundidad media de 5 metros. Cuántos metros cúbicos de basura se requerirán para llenar ese área después de drenar el pantano? (trapecios, n = 6) 6.- Se supone que el cociente intelectual (CI) calculado con los test de David Wechsler sigue una distribución normal N(1, 15). a) Hallar aproximadamente (Simpson, n = ) el porcentaje de superdotados (X>1) en la población española de 19 años que a fecha de octubre pasado era b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

2 7 c) Qué valor de n hay que tomar para que el error sea menor que 1 al hallar aproximadamente (Simpson, n = ) la probabilidad de que X tome valores entre y? 7.- Se quiere construir un techo ondulado comprimiendo una lámina de aluminio plana. Se pretende que cada onda tenga una altura de 5 cm sobre la línea central y un período de 6 cm. Calcular la longitud de la lámina de aluminio necesaria para un metro de tejado ondulado con un error menor que 1 cm. (Utilizar trapecios) 8.- Con el fin de averiguar el modelo de motor adecuado, una empresa desea conocer el trabajo necesario para mover linealmente 5m un objeto mediante una prensa. La fuerza F requerida es: F( x) 1x 15 x, donde F se mide en kilogramos y la posición x en metros. Se pide: a) Aproximar, utilizando la regla de Simpson con n = 1, el trabajo W (en kilogramosmetro) efectuado en un ciclo, que viene dado por W F( x) dx. b) Estudiar si se puede hallar una cota del error con la fórmula dada en teoría para ello La anchura, en pies, en puntos igualmente espaciados a lo largo de la calle de un hoyo de un campo de golf viene dada en la figura. La dirección desea estimar el número de yardas cuadradas de la calle como base para decidir cuánto tiempo le costaría cortar el césped a un encargado del mantenimiento del campo. Usar la regla de Simpson para hallar dicha estimación. (1 yarda = pies) El diseño de un nuevo tipo de aeroplano requiere un tanque de gasolina de sección transversal constante en cada ala. En la figura 1 se muestra un dibujo a escala de una sección transversal. El tanque debe cargar, aproximadamente, kg. de gasolina cuya densidad es,68kg/dm. Estimar la longitud del tanque usando la regla de Simpson. y y 1 y y y 4 y 5 Figura 1 y 6 y = 4,6 dm y 1 = 4,9 dm y = 5,5 dm y = 5,8 dm y 4 = 6,1 dm y 5 = 6,1 dm y 6 = 6,4 dm U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

3 El espaciamiento horizontal es h = dm. Recuérdese que M d V 11.- a) Hallar de forma aproximada, usando la regla de Simpson con n =, la longitud de la órbita de Marte (a =7,94x1 6 km, e =,94) y acotar el error cometido en dicha aproximación Es muy grande? b) Hallar el error relativo y expresarlo en ppm (partes por millón) Calcular aproximadamente la integral dx mediante el método de ln x Simpson, tomando 5 subintervalos; acotar el error cometido en dicha aproximación; dar el valor de la integral con las cifras decimales exactas. Cuántos subintervalos habría que tomar si se quiere que el error sea menor que una diezmilésima? 1.- Sea L la longitud del arco de la curva y =senx desde x= hasta x=. a) Obtener una aproximación L T de L usando la fórmula de los trapecios con un error menor que.15 u. b) Obtener la aproximación L S de L que proporciona la fórmula de Simpson con un número de subintervalos igual que los necesitados en el apartado anterior. Acotar el error cometido a) Calcular de forma aproximada, utilizando la regla de Simpson para n =, el área barrida por un radio vector con origen en el Sol y extremo en el asteroide Apolo, 9 cuya ecuación es r, desde = hasta donde = π/ 9 5cos b) Estimar el error cometido en la aproximación anterior En el diseño de un parque se ha previsto aprovechar una hondonada con una profundidad media de m para construir un lago como el de la figura. Tomadas las medidas perpendiculares a un eje horizontal, con un espaciamiento horizontal de m, se ha obtenido la siguiente tabla: y x Usando la regla de Simpson, calcular el volumen aproximado de agua necesario para llenarlo, 16.- Los hilos de un tendido eléctrico, suspendidos cada dos postes, adoptan la forma de una catenaria de ecuación U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

4 x y = cosh donde - x dónde x e y se miden en metros. Calcular, de forma aproximada y con un error menor que 1mm, la longitud del cable suspendido entre dos postes utilizando la regla de Simpson. 17.-a) Calcular, utilizando el método de Simpson para n =, la longitud del menor arco de la circunferencia x y 9 determinado por los puntos (,) y (, 5 ). b) Acotar el error cometido en el cálculo de a) a) Hallar de forma aproximada (Simpson con subintervalos) la longitud de la curva cuya ecuación en coordenadas polares es r sen. b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior Una variable aleatoria X sigue una distribución normal N de media y varianza. Hallar aproximadamente (Simpson, n = ) la probabilidad de que X tome valores entre y. a) Acotar el error cometido en dicha aproximación y dar la probabilidad pedida con las cifras decimales exactas que permita el cálculo anterior. b) Qué valor de n hay que tomar para que el error sea menor que 8 1? sen x.- Dada la función f(x) =, hallar: x a) Un valor aproximado del área encerrada por la función y el eje de abscisas en el intervalo [1,], usando el método de los trapecios con n =. b) Una cota del error cometido. Dar el valor del área con las cifras decimales exactas que permite la aproximación anterior. 1.- Calcular de forma aproximada (método de Simpson con n=) la longitud del arco x x e e correspondiente al intervalo <x<ln(1) de la función f(x) y acotar el error cometido en dicha aproximación.- Dentro de un parque municipal existe una zona adoquinada cuyo contorno se corresponde con la gráfica de la función en coordenadas polares r 4 cos6. a) Calcular de forma aproximada, utilizando el método de Simpson con n = 6, el área de dicha zona adoquinada. b) Acotar el error cometido en el cálculo de a). c) Si se quisiera obtener un resultado con un error menor que una milésima, cuántos subintervalos habría que tomar?.- a) Calcular de forma aproximada (trapecios, con n = ) la longitud de arco, correspondiente al intervalo 1 t, de la curva con ecuaciones paramétricas U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

5 1 x(t) t, y(t) t 1 b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior. c) En cuántos subintervalos habría que dividir el intervalo [1, ] para que el error cometido fuera menor que una diezmilésima? 4.- La planta de un edificio singular tiene aproximadamente la forma de la siguiente x cos t curva dada por sus ecuaciones paramétricas:. y sen t a) Calcular de forma aproximada, utilizando el método de Simpson con n = 4, el área de la planta de dicho edificio. b) Acotar el error cometido en el cálculo de a). 1 c) Si se quisiera obtener un resultado con un error menor que, cuántos 1 subintervalos habría que tomar? U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

6 1.- Para proceder a pintarlo, se necesita conocer las medidas del techo de cierto edificio singular. Dicho techo tiene forma geométrica de embudo invertido, similar a la de la superficie de revolución que se obtiene al girar la curva y 1 x alrededor del eje de ordenadas OY, < y < 1. Calcular de forma aproximada mediante el método de los trapecios, n = 5, el área de la mencionada y una estimación del error cometido. Solución: 1/ #1: y = 1 - x 1/ #: IF( < x < 1, 1 - x ) Como la curva gira alrededor del eje de ordenadas, despejamos x en función de y 1/ #4: SOLVE(y = 1 - x, x) #5: x = (1 - y) d #6: (1 - y) = - (y - 1) dy Luego el área de la superficie de revolución generada viene dada por la integral: 1 #7: S = π (1 - y) (1 + (- (y - 1) ) ) dy Calculando su valor con de Derive se obtiene u Vamos a obtener el valor aproximado con la fórmula de los trapecios para n =5. La función que necesitamos es la función integrando que denominamos f(y): #9: f(y) (1 - y) (1 + (- (y - 1) ) ) 1 1 El espaciamiento horizontal para n = 5 es h Los puntos de la partición son de la forma +k, y los valores de la función integrando f 5 para estos puntos (que son los y, y 1, y,,y 5, que necesitamos en la fórmula de los trapecios) son: fk 1k 1 k Por comodidad definimos en Derive la función: 1 y(k):= (1 - k ) 1 (1 + (- ( k - 1) ) ) y aplicamos la fórmula de 5 5 los trapecios para aproximar el valor de la integral: 1 π #1: 5 4 y() + y(5) + y(k) = u k=1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

7 Estimación del error: Buscamos el valor máximo, en [,1] de la segunda derivada (en valor absoluto) de la función integrando. Para ello derivamos dos veces, tomamos valor absoluto y representamos en [,1]: Observamos que la función derivada segunda en valor absoluto es estrictamente decreciente en [,1], luego el máximo se alcanza en (el valor es aproximadamente < 6). h 1 1 E (ba)m U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

8 .- Hallar de forma aproximada (Simpson, n = 14) la longitud del arco de la curva en polares r cos para. Acotar el error cometido en dicha aproximación. Hallar n para que el error fuera menor que una milésima. Solución: α 1 α #1: f(α) COS + SIN 4 π 6 k π 6 ( k + 1) π #: f() + f(π) + f + 4 f 4 k=1 14 k= 14 #: Acotación del error d 4 α 1 α #4: f(α) COS + SIN dα 4 4 (7 COS(α) + 18 COS(α) + 8 COS(α) + 15 ( SIN(α) + 51)) #5: 7/ 64 ( COS(α) + 5) #6: IF < α < π, 4 ~ (7 COS(α) + 18 COS(α) + 8 COS(α) + 15 ( SIN(α) + ~ ~ 7/ ~ 64 ( COS(α) + 5) ~ 51)) 4 (7 COS(π) + 18 COS(π) + 8 COS(π) + 15 ( SIN(π) + 51)) 7/ 64 ( COS(π) + 5) #8: Cota del valor absoluto de la derivada cuarta de f en [,¹]: d 4 α 1 α U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 7

9 #9: f(α) COS + SIN < 1. dα 4 π 4 #1: 14 e < π #11: e < π -5 α 1 α #1: < COS + SIN 4-5 dα < π α 1 α #1: < COS + SIN dα < Una aproximación de la longitud buscada con cifras ex actas es: #14:.4 Valor aproximado que se obtiene con DERIVE: π α 1 α #15: COS + SIN dα 4 #16: Hallar el valor de n para que el error sea menor que una milésima. π 4 #17: n - e < π 1. < 1 18 π 4 #18: n - π 1. < 1 18 π 4 #19: n - SOLVE π 1. < 1, n, Real 18 1/4 5/4 1/4 5/4 585 π 585 π #: n < - n > #1: n < n > Luego, basta tomar n = 8. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 8

10 .- a) Calcular de forma aproximada (trapecios, con n = ) la distancia recorrida, en la primera hora por un móvil que evoluciona en una superficie plana describiendo, a velocidad constante, la curva dada por las ecuaciones 1 x (t) t, y(t) t 1, donde t es el tiempo en horas. b) Acota el error cometido en la aproximación anterior y corrige el resultado del apartado a) dando sólo las cifras decimales exactas. c) Qué valor para n habría que tomar para que el error cometido fuera menor que una diezmilésima? Solución: a) La distancia recorrida por el móvil en la primera hora es igual a la longitud del arco de la curva descrito para t 1, luego: 1 #: t, t + 1 Las derivadas de las funciones x e y son: d 1 #4: t, t + 1 = [t, 1] dt Luego la longitud del arco de curva entre y 1 viene dada por la integral: 1 4 L= (t + 1) dt 1, u. de longitud Para aplicar la fórmula de los trapecios para n=, la función f es la función integrando f(t) = t 4 1 y el espaciamiento horizontal es h = 1 1. Los puntos (abscisas) de la partición son de la forma t = 1 1 k k y los valores de la función f que interesan (los y,y1,y,,y, que necesitamos en la fórmula de los trapecios) son: fk = k 1. Por comodidad definimos en Derive la función 1 4 #9: y(k) k + 1 y el valor aproximado de la integral por el método de los trapecios es: 1 19 #1: y() + y() + y(k) u. de longitud. 4 k=1 b) Buscamos el valor máximo, en [,1] de la segunda derivada (en valor absoluto) de la función integrando t 4 1 : d 4 #17: (t + 1) dt U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 9

11 4 t (t + ) #19: IF < t < 1, 4 / (t + 1) Observamos que la función es estrictamente creciente en [,1], luego el máximo se alcanza en t=1 Sustituyendo t = 1 en la expresión # 18 en valor absoluto se obtiene: #1:, < Por comodidad hemos tomado como cota, en consecuencia una estimación del error cometida en la aproximación del valor de la integral mediante la fórmula de los trapecios es 1 #: 1 =,65 1 Luego, < L< , es decir, < L < 1.95, luego cifras comunes en ambos extremos solo hay dos L 1, aunque realmente podemos aventurar que L 1,89. c) 1 - #1: n Hemos de plantear la inecuación (1 - ) <.1 1 Simplificando se obtiene 1 1 < #: 1 4 n Podemos resolver la inecuación, o bien obtener una tabla de valores 1 1 SOLVE <, n, Real #6: 1 4 n #7: n < -5 n > 5 Como n ha de ser positivo necesitamos tomar al menos n=51 para obtener un resultado con un error menor que TABLE <, n, 47, 5 #4: 1 4 n 47 false 48 false 49 false #41: 5 false 51 true 5 true 5 true U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

12 4.- Los economistas utilizan una distribución acumulativa denominada curva de Lorenz para medir la distribución de la renta entre las familias de un determinado país. Una de 5x estas curvas es por ejemplo la función h(x) 4 x. a) Utilizar la regla de Simpson con n = 6 para estimar el coeficiente de desigualdad que viene dado por C x hxdx b) Hallar una cota del error cometido en la aproximación anterior. Solución: a) Utilizar la regla de Simpson, n = 6, para estimar el coeficiente de desigualdad: 1 5 x #: c = x - dx 4 + x 5 x #1: g(x) x x 1 #: h 6 h 9 k k - 1 #: g() + g(1) + g + 4 g k=1 6 k=1 6 #4: b) Acotación del error: d 4 #5: g(x) dx 4 96 x (x - 4 x + 8) #6: 5 (x + 4) 4 96 x (x - 4 x + 8) #7: IF < x < 1, 5 (x + 4) Una cota superior de la derivada cuarta en valor absoluto es M = 5. 4 h #8: (1 - ) #9: #: < c < Luego, el coeficiente de desigualdad se encuentra en el intervalo: #1: < c < U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 11

13 5.- Una ciudad desea drenar y rellenar el pequeño pantano mostrado en la figura: El pantano tiene una profundidad media de 5 metros. Cuántos metros cúbicos de basura se requerirán para llenar ese área después de drenar el pantano? (trapecios, n = 6) Integración aproximada Solución: h S y y6 ( y1 y y y4 y5) m V S profundidad m 1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

14 6.- Se supone que el cociente intelectual (CI) calculado con los test de David Wechsler sigue una distribución normal N(1, 15). a) Hallar aproximadamente (Simpson, n = ) el porcentaje de superdotados (X>1) en la población española de 19 años que a fecha de octubre pasado era b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior. 7 c) Qué valor de n hay que tomar para que el error sea menor que 1? Solución: X a) P(X>1)=1-P(X<1)=1-P x x =1- P Z donde Z es una N(,1) 1 P Z = e dx 1 e dx - = 1 e dx. Aproximamos la integral mediante Simpson n= 1 - x / #1: f(x) e ( π) - 1 #: h = = 1 Cambio de variable k #: x = + h k = 1 - k / #4: k e f = 1 π Definimos la función g(k) que nos da las ordenadas yk que necesitamos - k / #5: e g(k) π El valor aproximado de la integral aplicando la fórmula de Simpson es: g() + g() + g( k) + 4 g( k + 1) = k=1 k= Luego, la probabilidad P(x>1)=1/ = y el porcentaje.75%. El número aproximado de "superdotados" en la población de personas de 19 años es , es decir, unos 176 b) Una cota del error d x / #7: e dx ( π) x U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

15 4 - x / x - x / x x #8: e - + e - π π π π 4 - x / x - x / x x IF <x<, e - + e - π π π π El máximo de la segunda derivada se alcanza en x= y una cota es: M = 1.5, luego la cota de error con esta cota de la derivada es 1 4 #1: = <. 18 c) M = #9: n < 1 18 #1: n < n > Basta tomar n = 4. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 14

16 7.- Se quiere construir un techo ondulado comprimiendo una lámina de aluminio plana. Se pretende que cada onda tenga una altura de 5 cm sobre la línea central y un período de 6 cm. Calcular la longitud de la lámina de aluminio necesaria para un metro de tejado ondulado con un error menor que 1 cm. (Utilizar trapecios) Solución: Vamos a considerar la longitud en cm. La función que describe la onda es y 5sen x y su gráfica en dicho intervalo es la de la figura x #: IF < x < 1, 5 SIN La longitud de la lámina viene dada por 1 y' dx 1 La derivada de la función 5 x 1 x y sen es y' 5cos #5: Luego, la longitud de arco entre y 1 es 1 x 5 COS #6: 1 + dx La función que tendremos que usar para aproximar, por el método de los trapecios, la longitud pedida es la función integrando 1 x f ( x) 1 5cos. h El error, e, viene acotado por la inecuación e (1 ) M donde: 1 ( M= f ( x), x 1 máx y hemos de imponer la condición de que e< 1cm. Calcularemos, el máximo de la función segunda derivada en [,1] x 5 COS #8: d 1 + dx x x x 5 4 COS 5 COS SIN #9: - x / 18 5 COS + 9 La gráfica en [,1] es x x x 5 4 COS 5 COS SIN if(<x<1, - x / 18 5 COS + 9 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 15

17 Observamos perfectamente en la figura que M<,4 1 n luego 1,4 < Es decir: < 1 #1: n 1 SOLVE < 1, n, Real #15: n 1 1 #16: n < - n > #17: n < n > Como n ha de ser un número entero y positivo, entonces n 18 1 Por comodidad podemos tomar n =, por tanto h = Los puntos de la partición son x= +k 1 = k y los valores yk que necesitamos son: k k 5cos 4 k 1 y k = f 1 5cos = 6 Por comodidad definimos en Derive la función y(k):= k 5cos 4 6 La longitud aproximada pedida, según la fórmula de los trapecios, es 1 #5: 199 y() + y() + y(k) k=1 1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 16

18 8.- Con el fin de averiguar el modelo de motor adecuado, una empresa desea conocer el trabajo necesario para mover linealmente 5m un objeto mediante una prensa. La fuerza F requerida es: F( x) 1x 15 x, donde F se mide en kilogramos y la posición x en metros. Se pide: a) Aproximar, utilizando la regla de Simpson con n = 1, el trabajo W (en kilogramosmetro) efectuado en un ciclo, que viene dado por W F( x) dx. b) Estudiar si se puede hallar una cota del error con la fórmula dada en teoría para ello. Solución: a) Se trata de calcular, de forma aproximada con la regla de Simpson, la integral: 5 #1: W = 1 x (15 - x ) dx La función f(x) de la fórmula es, en este caso, la función integrando f(x) 1 x (15 x ) y el espaciamiento horizontal para n = 1 es: 5 5 #: h = = 1 1 Los puntos de la partición son los valores xk= k = 1 5 k y los valores que toma f en estos puntos (que son los y,y1,y,,y1, que necesitamos en la regla de Simpson) son: fk = 1 k (15 k ) Por comodidad definimos en Derive la función: 5 5 y(k):= 1 k (15 k ) y el valor aproximado de la integral 1 1 es: h 5 5 #: y() + y(1) + y(k) + 4 y(k+1) 1,58418 kg-m k=1 k= 5 b) No puede acotarse el error, pues la derivada cuarta de F no está acotada en el intervalo [, 5]. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 17

19 9.- La anchura, en pies, en puntos igualmente espaciados a lo largo de la calle de un hoyo de un campo de golf viene dada en la figura. La dirección desea estimar el número de yardas cuadradas de la calle como base para decidir cuánto tiempo le costaría cortar el césped a un encargado del mantenimiento del campo. Usar la regla de Simpson para hallar dicha estimación. (1 yarda = pies) Solución: En este ejercicio podemos aplicar directamente la regla de Simpson para aproximar el área pedida, siendo el espaciamiento horizontal h= 1, n =1 y los valores y i i= 1 1 los que muestra la figura. 1 #1: S (++( ) + 4( ) pies =,696 yardas U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 18

20 1.- El diseño de un nuevo tipo de aeroplano requiere un tanque de gasolina de sección transversal constante en cada ala. En la figura 1 se muestra un dibujo a escala de una sección transversal. El tanque debe cargar, aproximadamente, kg. de gasolina cuya densidad es,68kg/dm. Estimar la longitud del tanque usando la regla de Simpson. y y y 4 y 5 y y 1 Figura 1 y 6 El espaciamiento horizontal es h = dm. Recuérdese que Solución: M d V El volumen del tanque es el área de la sección transversal por la longitud (por tratarse de un sólido de Cavalieri). M Por otro lado, el volumen del tanque es V = = dm. d, 68 y = 4,6 dm y 1 = 4,9 dm y = 5,5 dm y = 5,8 dm y 4 = 6,1 dm y 5 = 6,1 dm y 6 = 6,4 dm Vamos a calcular de manera aproximada el área de la sección transversal con la regla de Simpson y para n=6, teniendo en cuenta que el espaciamiento horizontal es dato y vale h = dm S 4,6 6,4 (5,5 6,1) 4(4,9 5,8 6,1= 11,4 dm Como V= S l l = V S 4411, ,51 dm 11,4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 19

21 11.- a) Hallar de forma aproximada, usando la regla de Simpson con n =, la longitud de la órbita de Marte (a =7,94x1 6 km, e =,94) y acotar el error cometido en dicha aproximación Es muy grande? b) Hallar el error relativo y expresarlo en ppm (partes por millón) c) Hallar n para que el error sea menor que 1 km. Solución: a) Una ecuación polar de Marte es: r =, para calcular la longitud de la órbita se halla COS(α) 1 d dα COS(α) SIN(α) - (467 COS(α) - 5) la longitud de la órbita viene dada por la integral: π SIN(α) L= + - dα COS(α) (467 COS(α) - 5) (con el comando Derive da L km) Para aproximar esta integral con el método de Simpson tenemos en cuenta que la función f es la función integrando: sin f cos 467 cos 5, el espaciamiento horizontal para n= es h= y los puntos de la partición son =+ k. Para dichos puntos los valores la función f que interesan (los y,y 1,y,,y, que necesitamos en la fórmula de Simpson) son: sin k f k cosk 467 cosk 5 Por comodidad, definimos en Derive la función: sin k y(k):= cosk 467 cos k 5 y el valor aproximado de la integral aplicando la regla de Simpson es: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

22 14 14 y() y() y(k) 4y(k 1) ,6, luego la longitud de la órbita 1 mide aproximadamente L ,6 = km (compara este resultado con el obtenido con el comando de Derive). b) Cota de error 4 h Error ( b a) M 18 (4 donde M= máxf ( x), a x b Hallamos primero M o una cota superior de f (4 (x) próxima a M. La derivada cuarta de f() en [,] es una expresión enorme cuya representación gráfica, en coordenada polares es la sigue: El valor máximo de f en [,] se alcanza en = y vale ,96< , luego: 4 Error ( ) <54,5 km para la integral, luego para la longitud es < 54,5 = 19,6 es mucho o poco? 19,6 6 El error relativo sería,8 1, se diría que el error relativo es menor que ,8 ppm (partes por millón). Observa que en este caso es importante tener en cuenta el valor de los resultados, si las cifras que se van a obtener son muy grandes o pequeñas, por eso es siempre mejor usar el concepto de error relativo. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

23 1 1.- Calcular aproximadamente la integral dx mediante el método de ln x Simpson, tomando 5 subintervalos; acotar el error cometido en dicha aproximación; dar el valor de la integral con las cifras decimales exactas. Cuántos subintervalos habría que tomar si se quiere que el error sea menor que una diezmilésima? Solución: 1 #1: dx LN(x) 1 #: f(x) LN(x) #: h = (-)/5 = 1/5 La integral pedida vale aproximadamente: 1 #9: 5 4 k 4 k + 1 f() + f() + f f + k=1 5 k= 5 #1: Acotación del error: 4 h #1: e (b - a) m 18 Siendo m una cota superior del valor absoluto de: d 4 #14: f(x) dx #15: x LN(x) x LN(x) x LN(x) x LN(x) #16: x LN(x) x LN(x) x LN(x) x LN(x) Como esta derivada cuarta es decreciente en [,], su valor máximo lo U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

24 alcanzará en x=: #18: LN() 8 LN() 4 LN() LN() #19: Tomamos m = 5, y ya acotamos el error: 1 4 #1: 5 e ( - ) #: e. 1 Cifras decimales exactas en el cálculo aproximado: -8 #4: #5: #6: #7: #8: Podemos asegurar que son exactas las cifras Cuántos subintervalos habría que tomar si se quiere que el error sea menor que una diezmilésima? 1 4 #9: n -4 e ( - ) 5 < #: n -4 ( - ) 5 < #1: n -4 SOLVE ( - ) 5 < 1, n, Real 18 1/4 1/ #: n < - n > #: n < n > Bastaría tomar 8 subintervalos. º método: 1 4 #4: n -4 TABLE ( - ) 5 < 1, 6, 8, false 7 true 8 true U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

25 1.- Sea L la longitud del arco de la curva y =senx desde x= hasta x=. a) Obtener una aproximación L T de L usando la fórmula de los trapecios con un error menor que.15 u. b) Obtener la aproximación L S de L que proporciona la fórmula de Simpson con un número de subintervalos igual que los necesitados en el apartado anterior. Acotar el error cometido. Solución: a) Longitud del arco de la curva y = sen x, entre y π. Trapecios con un error menor que.15. La longitud del arco pedida viene dada por la integral π #: (1 + COS(x) ) dx 4 d COS(x) + COS(x) - 1 #: (1 + COS(x) )= - dx / (COS(x) + 1) 4 - (COS(x) + COS(x) - 1) #6: IF < x < π, / (COS(x) + 1) El máximo de la derivada en [,] es M = 1, luego: π - #7: n (π - ) <.15 1 π - #8: n SOLVE (π - ) <.15, n 1 / / 5 π 5 π #9: n < - n > #1: n < n > Como n ha de ser un número natural, tomamos n = 14 #11: f(x) (1 + COS(x) ) π #1: h 14 h 1 k π #1: f() + f(π) + f k=1 14 #14: LT =.8,15 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

26 b) Simpson con n = 14 (obsérvese que n está tomado correctamente pues es par): h 6 ( k) π 6 ( k + 1) π #15: f() + f(π) + f + 4 f k=1 14 k= 14 #16: LS = Acotación del error: d 4 #17: (1 + COS(x) ) dx COS(x) + 9 COS(x) - COS(x) (5 SIN(x) - 4 SIN(x) - 16) - SIN(x) - 6 7/ (COS(x) + 1) #19: IF < x < π, COS(x) + 9 COS(x) - COS(x) (5 SIN(x) - 4 SIN(x) - 16) - SIN(x) - 6 7/ (COS(x) + 1) Una cota superior de la derivada en [,] es M = 7, luego: 4 h #: (π - ) 7 18 #: error< <.4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

27 14.- a) Calcular de forma aproximada, utilizando la regla de Simpson para n =, el área barrida por un radio vector con origen en el Sol y extremo en el asteroide Apolo, 9 cuya ecuación es r, desde = hasta donde = π/ 9 5cos b) Estimar el error cometido en la aproximación anterior. Solución: a):aproximación por Simpson para n= h es (π/ - )/ = π/6 y los puntos de la partición son π - #8: π k α = + k = 6 Sustituimos x por estos valores en la función integrando 1/ (9/(9 + 5 COS(α)))^ y sus valores son los que necesitamos para la fórmula de Simpson, los designaremos g(k) 1 9 g(k) #9: π k COS 6 π #1: g() + g() + 4 g( k + 1) + g( k) = k= k= b): Cota de error d #11: = - dα COS(α) 4 ~ 45 (15 COS(α) COS(α) COS(α) - 7 COS(α) (1~ ~ 6 ~ (5 COS(α) + 9) ~ 4 SIN(α) + 7) - (15 SIN(α) + 7)) Observamos que una cota es,, luego una cota del error es: π 4 #1: 6 π -7.1 = <. 18 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

28 15.- En el diseño de un parque se ha previsto aprovechar una hondonada con una profundidad media de m para construir un lago como el de la figura. Tomadas las medidas perpendiculares a un eje horizontal, con un espaciamiento horizontal de m, se ha obtenido la siguiente tabla: y x Usando la regla de Simpson, calcular el volumen aproximado de agua necesario para llenarlo, Solución: El volumen del lago es aproximadamente igual al área aproximada de la sección por la profundidad media. El área aproximada de la sección, usando la regla de Simpson y teniendo en cuenta que las medidas se han tomado con un espaciamiento horizontal de m.,es: S (++( )+4( )) = 14 El valor aproximado del volumen es 14x= 48 metros cúbicos. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 7

29 16.- Los hilos de un tendido eléctrico, suspendidos cada dos postes, adoptan la forma de una catenaria de ecuación x y = cosh donde - x dónde x e y se miden en metros. Calcular, de forma aproximada y con un error menor que 1mm, la longitud del cable suspendido entre dos postes utilizando la regla de Simpson. Solución: La longitud del cable suspendido entre dos postes es: donde y = cosh x L 1 y' dx = 1 y ' dx Con el comando aproximar se obtiene La función f(x) que necesitamos es la función integrando: x x x x e e e e f ( x) 1 y' Una cota del error cometido viene dado por la expresión: 4 h (4 ( b a) M donde M máxf x, a x b. 18 Calculamos, en primer lugar, el máximo M o una cota de f (4 (x), en valor absoluto, en [,] x/ - x/ x/ - x/ d 4 e e e e #9: = + dx x/ - x/ e e #: IF < x <, e e El máximo se alcanza en x=, es decir, Luego una cota superior de f (4 (x) en [,] es 1-5 <,1 (como se observa en la gráfica) 4 #: n.1 < U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 8

30 /4 /4 1 1 #4: n < - n > n < n > El valor positivo y par más pequeño es n= 8, en consecuencia, h= y los valores x de la partición son x = +k/8=k/8 y los 8 8 valores de f(x) en estos puntos son: k k/8 - k/8 #6: f = e + e 8 Por comodidad definimos k/8 - k/8 #7: g(k) e + e #8: 8 g() + g(8) + g( k) + 4 g( k + 1) = k=1 k= Observa que nos quedamos con solo cifras decimales pues el error <.1, por lo tanto, no podemos dar información fiable desde la cuarta cifra decimal en adelante. Nota: Si tomamos como función f(x) el integrando sin el factor, el error queda dividido por, ahora bien como hemos tomado el intervalo [,], en lugar de[-,] quedaría compensado. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 9

31 17.-a) Calcular, utilizando el método de Simpson para n =, la longitud del menor arco de la circunferencia x y 9 determinado por los puntos (,) y (, 5 ). b) Acotar el error cometido en el cálculo de a). Solución: a) x + y = 9 Despejamos la variable y #: SOLVE(x + y = 9, y, Real) = (y = - (9 - x ) y = (9 - x )) El arco de circunferencia cuya longitud hemos de calcular corresponde a la función 9 x. Aplicamos la fórmula de cálculo de la longitud para una función dada en forma explícita: d x (9 - x ) = - #: dx (9 - x ) x dx #4: (9 - x ) El valor dado por Derive con el comando aproximar es Los valores xk que necesitamos para la fórmula de Simpson son #6: xk = k, sustituyendo en la función integrando 1 función con variable independiente k: k #7: k La designamos g(k) k #8: g(k) k 9 #9: g( k + 1) k= 9 #1: g( k) k=1 x 9 x obtenemos una U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

32 9 9 #11: g() + g() + g( k) + 4 g( k + 1) = k=1 k= El valor aproximado de la integral con la fórmla de Simpson es: g() + g() + g( k) + 4 g( k + 1) = k=1 k= b) Hallamos ahora una cota del error cometido en a) 5 ( b a) ( 4 error máx f ( x) 4 18 n [,] d 4 x #1: = dx (9 - x ) 4 9 (8 x + 16 x + 4) SIGN(x - 9) - 9/ (9 - x ) 4 9 (8 x + 16 x + 4) SIGN(x - 9) #14: IF < x <, - 9/ (9 - x ) La función es estrictamente creciente por lo que el máximo se obtiene (4 sustituyendo x= en f ( x) y se obtiene También se puede observar en la gráfica que máx f ( x) < 8 [,] Luego 5-6 Error 8 = < < (4 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 1

33 17.- La función de error errx Integración aproximada t existe una expresión elemental para la primitiva de e. a) Utilizar la regla de Simpson con n = 1 para estimar err(1) d 4 x e t dt debe evaluarse numéricamente pues no t b) En [, 1], e 1. Dar una cota superior para el valor absoluto del error 4 dt cometido en el resultado del apartado anterior. Solución: a) h = 1/1 err 1 1 e t dt, f(t) = e t err 1 k4 k5 1 t 1 k k 1 e dt f () f (1) f 4f k1 1 k h b) E 1 M, siendo M una cota superior 18 del valor absoluto de la derivada cuarta de f en [,1]; por el dibujo vemos que puede tomarse M = 1. h 4.6 E 1 M 18 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

34 18.- a) Hallar de forma aproximada (Simpson con subintervalos) la longitud de la curva cuya ecuación en coordenadas polares es r sen. b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior. Solución: a) #1: SIN( α) Los pétalos comienzan y acaban en el origen; resolvemos r = y nos quedamos con las soluciones entre y π/. sen(α)=; α =, π/. La longitud de la curva es tres veces la longitud del primer pétalo: / r( ) r'( ) d. d #: ( SIN( α)) dα #: 6 COS( α) #4: (( SIN( α)) + (6 COS( α)) ) π/ #5: (( SIN( α)) + (6 COS( α)) ) dα #7: f(α) (( SIN( α)) + (6 COS( α)) ) 6 #1: f f 9 k1 1 k k f 4f 6 k1 6 #1: #14: #15: U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos

35 b) Acotación del error: 4 h π #16: E - M, siendo M una cota superior de: 18 d 4 #17: f(α) en valor absoluto entre y /: dα Puede tomarse: #1: M = 4 π 4 #: 6 π #: E #4: #5: #6: #7: La longitud de la curva es aproximadamente: L = 1.6 con cifras decimales exactas. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

36 19.- Una variable aleatoria X sigue una distribución normal N de media y varianza. Hallar aproximadamente (Simpson, n = ) la probabilidad de que X tome valores entre y. a) Acotar el error cometido en dicha aproximación y dar la probabilidad pedida con las cifras decimales exactas que permita el cálculo anterior. 8 b) Qué valor de n hay que tomar para que el error sea menor que 1? Nota: Función de densidad de una N(, ): Solución: f (x) x /4 #1: f(x) e ( π) 1 - x /4 #: e dx ( π) #: e x a) Cálculo mediante la regla de Simpson: - 1 #4: h = 15 h 14 k 14 k + 1 #5: f() + f() + f + 4 f k=1 15 k= 15 #6: b) Acotación del error: d x /4 #7: e dx ( π) 4 - x /4 x - x /4 x x #8: e - + e - 8 π 16 π π 16 π 4 - x /4 x - x /4 x #9: IF < x <, e - + e - 8 π 16 π π x 16 π Puede tomarse como cota superior: M =.5. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 5

37 Una cota del error cometido es: 4 h #1: #11: #1: #1: #14: #15:.4159 Luego, 1 - x /4 #16: e dx =.415 ( π) expresada con cifras exactas. c) Cálculo de n para que el error sea menor que #17: n -8.5 < 1 18 #18: n < n > Basta tomar n = 56. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 6

38 sen x.- Dada la función f(x) =, hallar: x a) Un valor aproximado del área encerrada por la función y el eje de abscisas en el intervalo [1,], usando el método de los trapecios con n =. b) Una cota del error cometido. Dar el valor del área con las cifras decimales exactas que permite la aproximación anterior. Solución: SIN(x) #1: f(x) x a) El área viene dada por la integral: SIN(x) #: dx x 1 #: Cálculo del área mediante la regla de los trapecios: #4: h = 1 h 19 k #5: f(1) + f() + f 1 + k=1 1 #6: b) Cota del error cometido: d SIN(x) #7: dx x 1 COS(x) - SIN(x) - #8: x x x 1 COS(x) IF 1 < x <, - SIN(x) - #9: x x x Puede tomarse M =.5 h #1: ( - 1).5 =.8 1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 7

39 1.- Calcular de forma aproximada (método de Simpson con n=) la longitud del x x e e arco correspondiente al intervalo <x<ln(1) de la función f(x) y acotar el error cometido en dicha aproximación. Solución: Debemos plantear la integral que nos permite calcular la longitud: a b L 1 f '(x) dx x -x e + e #1: f(x) #: g(x) (1 + f'(x) ) x -x e e #: g(x) = + Obsérvese que puesto que f(x)=coshx (catenaria) entonces g(x)=f(x). Para resolver la integral utilizamos: Fórmula de Simpson o de las parábolas b I f h y a h xdx y 4y y y 4y y... y 4y y 1 y y... y 4y y... y n 4 n 1 y n1 4 Teniendo en cuenta que: h b -a n LN(1) - #4: h Debemos especificar las abscisas de la forma x=a+kh que nos permitan calcular las ordenadas y(k)=f(a+kh) Los valores de la ordenada (en este caso la catenaria) para las abscisas: x=,ln(1)/,ln(1)/,...,19ln(1)/.ln(1)/. Basta con sustituir k desde hasta. n n1 n U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 8

40 h 9 1 #5: f() + f(ln(1)) + f( k h) + 4 f(( k - 1) h) k=1 k=1 #6: Acotación del error: Si f ) x 4 es una función acotada en,b a y llamamos M máx 4 4) h f x / a x b, se tiene entonces que: R n b am 18 x -x d 4 e + e #7: dx x -x e e #8: + x -x e e #9: IF < x < LN(1), + Una cota superior de la derivada cuarta en valor absoluto puede ser M= 6. 4 h #1: (LN(1) - ) #11: LN(1) -5 #1: < f(x) dx < LN(1) #1: < f(x) dx < Por tanto, la longitud y el área de la catenaria entre y LN1 es aproximadamente 4,9 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 9

41 .- Dentro de un parque municipal existe una zona adoquinada cuyo contorno se corresponde con la gráfica de la función en coordenadas polares r 4 cos6. a) Calcular de forma aproximada, utilizando el método de Simpson con n = 6, el área de dicha zona adoquinada. b) Acotar el error cometido en el cálculo de a). c) Si se quisiera obtener un resultado con un error menor que una milésima, cuántos subintervalos habría que tomar? Nota: La fórmula del área de un sector curvilíneo limitado por una curva r r en 1 coordenadas polares es A = r d Solución: a) 1 #1: 4 + COS(6 α) 1 #: f(α) (4 + COS(6 α)) π π #: h = = 6 π #9: 9 π f() + f( π) + f k + k=1 9 π + 4 f ( k + 1) k= #1: u 4 h 18 intervalo (, π). b) E M, siendo M una cota de la derivada cuarta de f en valor absoluto en el d 4 1 #11: (4 + COS(6 α)) = 5184 COS(1 α) COS(6 α) dα #15: IF( < α < π, 5184 COS(1 α) COS(6 α) ) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

42 Luego, puede tomarse M = 11 π 4 #16: ( π) #17: c) π 4 #: n 1 SOLVE ( π) 11 <, n 18 1 #5: n < n > Basta tomar, n = 158. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 41

43 .- a) Calcular de forma aproximada (trapecios, con n = ) la longitud de arco, correspondiente al intervalo 1 t, de la curva con ecuaciones paramétricas 1 x(t) t, y(t) t 1 b) Acotar el error cometido en la aproximación anterior. c) En cuántos subintervalos habría que dividir el intervalo [1, ] para que el error cometido fuera menor que una diezmilésima? Solución a) 1 #: t, t + 1 Las derivadas de las funciones x e y son d 1 #4: t, t + 1 dt #5: t, 1 Luego la longitud del arco de curva entre 1 y viene dada por la integral: 4 L= (t + 1) dt 1 4 La función integrando es f(t):= (t + 1) h = ( 1)/ = 1/. El valor aproximado de la integral es 1 19 #1: f(1) + f() + f(1+k/) 4 k= unidades lineales b) Máximo, en [1,] de la segunda derivada (en valor absoluto)de la función integrando: 4 #16: (t + 1) d 4 #17: (t + 1) dt 4 t (t + ) #18: 4 / (t + 1) 4 t (t + ) #19: IF 1 < t <, 4 / (t + 1) Observamos que la función es estrictamente decreciente en [1,] luego el máximo se alcanza en t = 1 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 4

44 4 1 (1 + ) #1: 4 / (1 + 1) Integración aproximada #: Por comodidad tomamos como cota, en consecuencia una estimación del error cometida en la aproximación del valor de la integral mediante la fórmula de los trapecios es 1 #4: 1 1 #5:.65 Luego < L < Es decir < L < Por tanto, L =.56 u, cifras decimales exactas. c) - 1 #1: n Nos planteamos la inecuación (1 - ) <.1 1 #: Simplificando se obtiene 1 1 < #: 1 4 n Podemos resolver la inecuación, o bien obtener una tabla de valores Con RESOLVER 1 1 SOLVE <, n, Real #6: 1 4 n #7: n < -5 n > 5 Luego necesitamos tomar al menos n=51 para obtener un resultado con un error menor que.1 #9: Con TABLE 1 1 TABLE <, n, 45, 5 #4: 1 4 n 45 false 46 false 47 false 48 false 49 false #41: 5 false 51 true 5 true 5 true U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 44

45 4.- La planta de un edificio singular tiene aproximadamente la forma de la siguiente x cos t curva dada por sus ecuaciones paramétricas:. y sen t a) Calcular de forma aproximada, utilizando el método de Simpson con n = 4, el área de la planta de dicho edificio. b) Acotar el error cometido en el cálculo de a). 1 c) Si se quisiera obtener un resultado con un error menor que, cuántos 1 subintervalos habría que tomar? Nota: La fórmula del área encerrada por una curva dada x x(t) por sus ecuaciones paramétricas y el eje OX es y y(t) t A = y t x' dt t t1 Solución: a) #1: COS(t), SIN(t) d #: COS(t), SIN(t) dt #: - SIN(t) COS(t), SIN(t) COS(t) #4: SIN(t) (- SIN(t) COS(t) ) 4 #5: - SIN(t) COS(t) 4 área = 4 - SIN(t) COS(t) dt π/ π/ 4 #7: 1 SIN(t) COS(t) dt 4 #8: f(t) SIN(t) COS(t) π - #9: h 4 π #1: h 8 h π 19 k π 19 ( k + 1) π #11: f() + f + f + 4 f k=1 8 k= 8 #1: #1: = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 45

46 b) d 4 4 #15: (SIN(t) COS(t) ) dt 6 4 #16: 196 COS(t) - 7 COS(t) COS(t) #17: 196 COS(t) - 7 COS(t) COS(t) - 56 π 6 4 #18: IF < t <, 196 COS(t) - 7 COS(t) COS(t) - 56 #19: M = 6 4 h π #: 6 = c) π 4 - #: n π 1 6 < 18 1 #: n < n > Luego, ha de ser n 14. U. D. de Matemáticas de la ETSITGC Asignatura: Métodos Matemáticos 46

47 Longitud de un arco de curva Sea y=f(x) una función continua en a,b y con derivada continua en (a,b). b a La longitud de la curva y=f(x) entre x=a y x=b, es : L 1y' dx. Si la curva viene dada en paramétricas x x(t), y y(t) t 1 L x' (t) y' (t)dt t Si la curva viene dada en coordenadas polares r f( ), entonces: 1 L r r' d r(t) Para una curva en el espacio definida por x(t),y(t),z(t) t 1 arco de curva es: s x' (t) y' (t) z'(t) dt t, la longitud de una

48 Fórmula de los trapecios Sustituiremos en este caso la función f por una poligonal con vértices en la gráfica de f. Para la misma partición anterior P n, llamemos A i, al punto x i, y i y consideremos los trapecios de bases yi 1 e y i, y lados x i x i 1 y A i 1A i, parai 1,,..., n. Imagen La suma de las áreas de estos trapecios constituye una aproximación de I mejor que la dada por las fórmulas (1) y (): b y y1 y1 y y n1 y n h I = f ( x) dx h h... h y a y n y1... y n1 () Error en la fórmula de los trapecios: Puede demostrarse que existe un número a, b aproximación anterior es de la forma: h R n 1 Si '' x, b c tal que el error cometido en la b af '' c f es una función acotada en a y llamamos M máx f '' x se tiene entonces que: R n h 1 b am / a x b, La estimación por el método de los trapecios es exacta para polinomios de primer grado (tienen nula la segunda derivada). El factor clave como indicador del error es h. Si reducimos h a la mitad, el error se reduce en un factor 4.

49 Fórmula de Simpson o de las parábolas En esta ocasión, imponemos que la partición P n dé lugar a un número par de subintervalos en a, b, haciendo n = m. Se trata de sustituir el área limitada por la función f, el eje OX y las rectas x x i1, x x i1 ( i 1,, 5... ) por el área limitada por la parábola que pasa por los puntos A i 1, A i, A i1, el eje OX y las rectas x x i1, x x i1. Imagen La parábola que pasa por x, y, A x, y y A x, A tiene de ecuación y x, x1 h y x y Ax Bx C, pudiendo considerar h. Por tanto, una aproximación del área total es: b I f a h xdx y 4y y y 4y y... y 4y y 1 4 n h y y y y... y 4 y y... y n 4 n 1 n1 (4) n1 n Error en la fórmula de Simpson: Puede demostrarse que existe un número c a, b tal que el error cometido en la aproximación anterior es de la forma: 4 h 4) R n b af c 18 Si f 4) x es una función acotada en a, b 4) y llamamos M máx f x / a x b, se tiene entonces que: 4 h R n b am 18 El método de Simpson es exacto para todo polinomio de grado tres (tiene nula la derivada cuarta).

50 Coordenadas polares Sea O un punto fijo del plano, denominado polo y sea la semirrecta de origen O, denominada eje polar. Entonces cualquier punto del plano P, queda determinado por el par (r, θ) siendo r la distancia euclídea del punto P al polo (r > ) y θ el argumento, el ángulo formado por el eje xrcos polar y el segmento OP en el sentido positivo (contrario a las agujas del reloj). y rsen y r P (x,y) θ Argumento O Polo x Eje

51 Distribución Normal. Una variable aleatoria continua X se dice que tiene una distribución normal o de 1(x ) 1 Laplace-Gauss de media y desviación típica : f(x) e es su función de densidad. es la llamada campana de Gauss. La función de distribución es: 1(x ) x 1 F(x) P(X x) e dx La esperanza matemática o media es y la varianza es. Se denota N(, ). La Normal tipificada o estándar X Z N(,1) U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 55

52 Fórmula de los rectángulos En este método sustituiremos la función f por una función escalonada que la aproxime en el intervalo [a, b]. Sea { } Pn = a = x, x1,..., x n = b una partición del intervalo [a, b]. Sea h la amplitud de b - a cada subintervalo de la partición, h x i x i 1, i 1,..., n, es decir, h. n Imagen 1 Si consideramos los rectángulos de base x i-1, x i y altura yi 1, para de sus áreas constituye una aproximación del valor de I: b a I = f ( x) dx h y h... y h hy y... 1 n1 1 y n1 b - a n i = 1,..., n, la suma y y... (1) y n-1 Teniendo en cuenta que la función f de la Imagen 1 es creciente, la expresión anterior nos daría una aproximación por defecto del valor exacto de la integral I. También pueden considerarse los rectángulos de base x i-1, x i y altura y i, para i = 1,..., n, obteniéndose otra aproximación de I (en este caso, para la función de la Imagen 1, por exceso): b a I = f ( x) dx y h + y h y h = h( y y ) = b - a n 1 n 1 n y1... y n () Las expresiones (1) y () se llaman fórmulas de los rectángulos. El error cometido al aplicarlas disminuye a medida que aumenta n.

53 Área de una curva en coordenadas polares Sea r f( ) la ecuación de una curva en coordenadas polares, siendo f( ) continua en 1,. El área del sector limitado por la curva r f( ) y los radios vectores 1 y es: 1 S r d 1 Área de una figura plana Sea f: a,br una función integrable en a,b. El área de la región del plano determinada por f(x), el eje OX, y las abscisas x=a, x=b es b a f (x) dx Si la curva viene dada en paramétricas x x(t) t1, A y y(t) y(t)x'(t) dt t Si f y g son funciones integrables en a,b, el área de la región del plano comprendida entre sus gráficas es a b f (x) g(x) dx U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 9

54 Área de una curva en coordenadas polares Sea r f( ) la ecuación de una curva en coordenadas polares, siendo f( ) continua en 1,. El área del sector limitado por la curva r f( ) y los radios vectores 1 y es: 1 S r d 1 Área de una figura plana Sea f: a,br una función integrable en a,b. El área de la región del plano determinada por f(x), el eje OX, y las abscisas x=a, x=b es b a f (x) dx Si la curva viene dada en paramétricas x x(t) t1, A y y(t) y(t)x'(t) dt t Si f y g son funciones integrables en a,b, el área de la región del plano comprendida entre sus gráficas es a b f (x) g(x) dx U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 9

55 Ecuaciones paramétricas Ecuaciones en las que intervienen parámetros. Ecuaciones paramétricas de una curva plana son ecuaciones de la forma x=x(t), y=(t) donde el parámetro t recorre los valores del campo de existencia. Ecuaciones paramétricas de un subespacio vectorial son las coordenadas de un vector del subespacio vectorial como combinación lineal de los vectores de una base. Ecuaciones paramétricas de una recta: En el plano: siendo P(x,y ) un punto cualquiera y v v,v un vector director. Ecuaciones paramétricas de la recta: 1 x x tv y y tv (v, v 1 En el espacio: Siendo P=(p 1,p,p ) un punto cualquiera y v 1, v ) director de la recta. x1 p1 tv1 Ecuaciones paramétricas: x p tv. x p tv un vector U.D. de Matemáticas de la E.T.S.I. en Topografía, Geodesia y Cartografía 64